MÉTODOS NUMÉRICOS. ENGENHARIA e GESTÃO INDUSTRIAL

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1 UNIVERSIDADE DO MINHO MÉTODOS NUMÉRICOS ENGENHARIA e GESTÃO INDUSTRIAL EXERCÍCIOS PRÁTICOS Ano lectivo de 2005/2006

2 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - CONUM Solução de uma equação não linear Folha 1 1. Calcule um zero da função f (x) =e x x 2 2x 2 com o método da secante. Considere ε 1 = ε 2 = usando (a) x 1 = 1, x 2 =0.25 e n máx =10. Comente: (b) x 1 = 1, x 2 =0.25 e n máx =30. Comente: (c) x 1 =2,x 2 =3en máx =10. N o de iterações= ; solução: x = ; f (x) = (d) x 1 =2,x 2 =3en máx =10e alterando os valores de ε 1 e ε 2 para N o de iterações= ; solução: x = ; f (x) = 2. Resolva a equação f (x) =0, com f (x) dada na pergunta 1, mas agora com o método de Newton e usando no critério de paragem ε 1 = ε 2 = , para as seguintes condições: (a) x 1 =0.25 e n máx =30. N o de iterações= ; solução: x = ; f (x) = (b) x 1 = 1 e n máx =30. Comente: (c) x 1 =2.5 e n máx =10. N o de iterações= ; solução: x = ; f (x) = 3. Resolva a seguinte equação não linear recorrendo ao método de Newton: Considere as seguintes condições: cos (x) cos (3.1x) =0. (a) x 1 = 1, ε 1 = ε 2 = e n máx =5. Comente: (b) x 1 =1,ε 1 = ε 2 = e n máx =5. Comente: (c) x 1 =1,ε 1 = ε 2 = e n máx =30. N o de iterações= ; solução: x = ; f (x) = 2

3 (d) x 1 =0,ε 1 = ε 2 = n máx =10. Comente: 4. Determine uma solução da seguinte equação não linear: x 4 +8x 3 8x 2 200x 425 = 0 (a) pelo método de Newton, com o seguinte valor inicial x 1 = N o de iterações= ; solução: x = ; f (x) = (b) pelo método da secante, com o seguinte valor inicial x 0 =9 10,x 1 = N o de iterações= ; solução: x = ; f (x) = 3

4 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - MATLAB Solução de uma equação não linear Folha 1 1. Utilize os comandos plot e fplot do MATLAB, para resolver a seguinte questão: (a) Localize o zero da função no intervalo [0, 4]. f (x) =e x x 2 2x 2 (b) Descubraasdiferençasentreosdoiscomandosutilizados: 2. Com o comando fzero, calcule o zero da função usando os seguintes valores iniciais: f (x) =e x x 2 2x 2 (a) x 1 =0.25 solução: x = ; f (x) = 4

5 (b) x 1 =2.5 solução: x = ; f (x) =. 3. Encontre os zeros do seguinte polinómio x 4 +8x 3 8x 2 200x 425 = 0 (a) solução: x 1 = ; x 2 = ; x 3 = ;.x 4 =. 5

6 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - CONUM Sistemas de equações lineares Folha 2 1. Resolva os seguintes sistemas através de um método directo e estável. (a) (b) (c) 4x 1 +13x 2 +2x 3 = 15 8x 1 +10x 2 +8x 3 = 6 2x x x 3 = 3 x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = 20 6x 1 6x 2 20x 3 = 10 x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = x 1 6x 2 20x 3 = 10 x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 2. Calcule o determinante e a inversa das seguintes matrizes: (a) A = (b) B = B 1 = A 1 = , det (A) =,det(b) = 6

7 3. Resolva o sistema seguinte pelo método iterativo de Gauss-Seidel, com =10 6, x 1 =(0, 0, 0, 0) T e n max =30. 6x 1 + x 2 +2x 3 + x 5 = 10 2x 1 +8x 2 + x 3 +2x 4 +2x 5 = 15 x 1 2x 2 +8x 3 + x 4 = 8 x 3 +9x 4 +2x 5 10 x 1 + x 2 + x 4 +7x 5 8 (a) x 1 = ;x 2 = ;x 3 = ; x 4 = ;x 5 =. 4. Resolva os seguintes sistemas pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Considere =0.0001, x 1 =(0, 0, 0) T e n max =200. (a) (b) 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = 20 6x 1 6x 2 20x 3 = 10 N o iterações: x 1 = ;x 2 = ; x 3 =. 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = x 1 6x 2 20x 3 = 10 N o iterações: x 1 = ;x 2 = ; x 3 =. (c) Compare com a alínea c. da pergunta 1. e comente os resultados. 5. Resolva novamente os exercícios 3. e 4. recorrendo ao método de Jacobi. 7

8 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - MATLAB Sistemas de equações lineares Folha 2 1. Utilize as funções do MATLAB para resolver as seguintes questões: Resolva os seguintes sistemas de equações algébricas lineares, através de um método directo e estável: (a) (b) 4x 1 +13x 2 +2x 3 = 15 8x 1 +10x 2 +8x 3 = 6 2x x x 3 = 3 x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 30x 1 +9x 2 +9x 3 = 10 10x x x 3 = 20 6x 1 6x 2 20x 3 = 10 x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 2. Calcule o determinante e a inversa das seguintes matrizes: (a) A = (b) B = B 1 = A 1 = , det (A) =,det(b) = 8

9 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - CONUM Sistemas de equações não lineares Folha 3 1. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nas variáveis x 1 e x 2, com o método iterativo de Newton. µ x1 + x 2 sen = 2x 1 µ 2 x1 x 2 cos = 2x 2 2 (a) Considere uma aproximação inicial x (1) =(0, 0) T,ε 1 = ε 2 =10 4 e n máx =20. N o de iterações: x 1 = ;x 2 = (b) Reinicie o processo iterativo com o ponto (1, 2) e considere no critério de paragem os valores ε 1 = ε 2 =10 4 e n máx =20. N o de iterações: x 1 = ;x 2 = 2. Determine a solução do sistema de equações não lineares nas variáveis x 1,x 2 e x 3 x 1 = 0 x x 2 = 0 e x 3 1 = 0 (a) usando o método de Newton com a aproximação inicial x (1) =(1, 1, 1) T e n máx =10. N o de iterações: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = (b) usando o método de Newton com a aproximação inicial x (1) = (1, 1, 5) T e n máx =10. N o de iterações: x 1 = ;x 2 = ;x 3 = 3. O sistema de equações não lineares: ½ x 2 1 x = 0 (x x 2 2 1) (x x 2 2 2) = 0 tem uma raíz na vizinhança do ponto (1, 1) T. Calcule-ausandoométodoiterativo de Broyden. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificado para ε 1 = ε 2 =0.5. (a) N o de iterações: x 1 = ;x 2 =. 9

10 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - MATLAB Sistemas de equações não lineares Folha 3 1. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nas variáveis x 1 e x 2,: µ x1 + x 2 sin = 2x 1 µ 2 x1 x 2 cos = 2x 2 2 (a) Considere uma aproximação inicial x (1) =(0, 0) T,. N o de iterações:. x 1 = ;x 2 =. (b) Reinicie o processo iterativo com o ponto (1, 2) N o de iterações:. x 1 = ;x 2 =. 2. Determine a solução do sistema de equações não lineares nas variáveis x 1,x 2 e x 3 x 1 = 0 x x 2 = 0 e x 3 1 = 0 (a) com a aproximação inicial x (1) =(1, 1, 1) T. N o de iterações: x 1 = ;x 2 = ;x 3 =. (b) com a aproximação inicial x (1) =(1, 1, 5) T. N o de iterações: x 1 = ;x 2 = ;x 3 =. 10

11 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - CONUM Interpolação polinomial Folha 4 1. Dada a tabela de valores de uma função f(x) x i f i x i f i Determine o valor de f (5.45) através do polinómio interpolador de Newton baseado em diferenças divididas: (a) degraudois(apresenteasduasmelhoressoluçõespossíveis); f (5.45) p 2 (5.45) = ; f (5.45) p 2 (5.45) =. (b) de grau cinco (apresente a melhor solução); f (5.45) p 5 (5.45) =. (c) de grau dez. f (5.45) p 10 (5.45) =. 2. Dada a tabela de doze valores de f (x), x i f i x i f i e usando a aproximação polinomial de Newton, baseada em diferenças divididas, dê uma estimativa a f (1.57) usando: (a) quatro pontos (a melhor estimativa); f (1.57) p 3 (1.57) =. (b) seis pontos (a melhor estimativa); f (1.57) p 5 (1.57) =. (c) doze pontos. f (1.57) p 11 (1.57) =. 11

12 3. Considerando a função f(x) dada pela tabela x i f i x i f i qual o valor aproximado da função no ponto x =5.45 (a) usando uma spline cúbica natural? s 3 (x) = f (5.45) s 3 (5.45) = (b) usando uma spline cúbica completa? s 3 (x) = f (5.45) s 3 (5.45) = 4. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores: x i ln(x i ) (a) Usando uma funçao spline cúbica natural calcule uma aproximação a ln(2.5); s 3 (x) = ln (2.5) s 3 (2.5) = (b) Usando uma funçao spline cúbica completa calcule uma aproximação a ln(2.5); s 3 (x) = ln (2.5) s 3 (2.5) = 12

13 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - MATLAB Interpolação polinomial Folha 4 1. Considerando a função f(x) dada pela tabela x i f i x i f i qual o valor aproximado da função no ponto x =5.45 (a) usando uma spline cúbica natural? s 3 (x) = f (5.45) s 3 (5.45) = (b) usando uma spline cúbica completa? s 3 (x) = f (5.45) s 3 (5.45) = 2. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores: x i ln(x i ) (a) Usando uma funçao spline cúbica natural calcule uma aproximação a ln(2.5); s 3 (x) = ln (2.5) s 3 (2.5) = (b) Usando uma funçao spline cúbica completa calcule uma aproximação a ln(2.5); s 3 (x) = ln (2.5) s 3 (2.5) = 13

14 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - CONUM Aproximação dos mínimos quadrados (linear) Folha 5 1. Considere a seguinte tabela: x i f i Com base na teoria dos mínimos quadrados escreva, para construir um polinómio de grau três (a) Os coeficientes da relação de recorrência na construção dos polinómios ortogonais: B 0 =,B 1 =,B 2 =,C 1 =,C 2 = (b) Os coeficientes do polinómio: c 0 =,c 1 =,c 2 =,c 3 = (c) Os polinómios ortogonais: P 0 (x) =,P 1 (x) = P 2 (x) = P 3 (x) = (d) O polinómio resultante: p 3 (x) = (e) O resíduo: P 8 i=1 (f i p 3 (x i )) 2 = 2. Considerem-se as seguintes funções de aproximação: M (x) = c 1 + c 2 cos (x)+c 3 sen (x); N (x) = c 1 e x + c 2 1 x ; O (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x ; Q (x) = c 1 x + c 2 e x. (a) Calcule os coeficientes dos vários modelos (e construa-os) que melhor se ajustam à função f (x) dada pela tabela seguinte, no sentido dos mínimos quadrados. M (x) = N (x) = O (x) = Q (x) = x i f i

15 (b) Estime f (0.6) para cada um deles. f (0.6) M (0.6) = f (0.6) N (0.6) = f (0.6) O (0.6) = f (0.6) Q (0.6) = (c) Indique o resíduo para cada um dos modelos. P 7 i=1 (f i M (x i )) 2 = P 7 i=1 (f i N (x i )) 2 = P 7 i=1 (f i O (x i )) 2 = P 7 i=1 (f i Q (x i )) 2 = (d) Qual dos modelos é melhor, no sentido dos mínimos quadrados? Justifique. 15

16 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - MATLAB Aproximação dos mínimos quadrados (linear) Folha 5 1. Considerem-se as seguintes funções de aproximação: M (x) = c 1 + c 2 cos (x)+c 3 sen (x); N (x) = c 1 e x + c 2 1 x ; O (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x ; Q (x) = c 1 x + c 2 e x. (a) Calcule os coeficientes dos vários modelos (e construa-os) que melhor se ajustam à função f (x) dada pela tabela seguinte, no sentido dos mínimos quadrados. x i f i M (x) = N (x) = O (x) = Q (x) = (b) Estime f (0.6) para cada um deles. f (0.6) M (0.6) = f (0.6) N (0.6) = f (0.6) O (0.6) = f (0.6) Q (0.6) = (c) Qual dos modelos é melhor, no sentido dos mínimos quadrados? Justifique (através da representação gráfica). 16

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18 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - CONUM Aproximação dos mínimos quadrados (não linear) Folha 6 1. Pretende-se ajustar o modelo não linear M (x; c 1,c 2 )=c 1 (1 c x 2) no sentido dos mínimos quadrados, usando a aproximação de Gauss-Newton, sabendo queosvaloresdef sãoosdatabela x j f j Considere c (1) =(0.1, 0.1) T,β=0.001, ε 1 = ε 2 =10 4 e n máx =10. N o de iterações: ; c 1 = ; c 2 = M (x) = Resíduo: P 3 j=1 (f j M (x j )) 2 = 2. Dada a função f (x) definida pela tabela de seis valores, pretende-se calcular o modelo não linear x i f i M (x; c 1,c 2,c 3 )=c 1 + c 2 e xc 3, que depende dos parâmetros c 1,c 2 e c 3, que melhor se ajusta à função no sentido dos mínimos quadrados, usando o método de Gauss-Newton. Inicie o processo iterativo com c (1) = (580, 180, 0.16) T etomeε 1 = ε 2 =10 6,n máx =30e β = N o de iterações: ; c 1 = ; c 2 = ; c 3 = M (x) =. Resíduo: P 6 i=1 (f i M (x i )) 2 = 18

19 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - CONUM Integração numérica Folha 7 1. Calcule o integral Z 1 4 I = 0 1+x dx 2 com um espaçamento constante de h =0.25, recorrendo às fórmulas compostas de Newton-Cotes. I = ; Fórmula utilizada: 2. Dada a tabela de valores da função f (x) x i f i (a) Calcule a melhor aproximação ao integral Z f (x) dx usando toda a informação da tabela. (b) Qual foi a fórmula utilizada? (c) Se pretendesse calcular o erro de truncatura, qual o valor das diferenças divididas que utilizaria para estimar a derivada? 3. Considere a seguinte tabela de valores da função f (x): x i f i (a) Calcule numericamente R 1.4 f (x) dx utilizando as fórmulas compostas de Newton- 1.0 Cotes e usando todos os pontos da tabela. Qual a fórmula ou fórmulas aplicadas? R 1.4 f (x) dx = ; Fórmula(s): 1.0 (b) Calcule o mesmo integral usando apenas uma fórmula composta com um valor de h constante (deixando de fora o menor número possível de pontos). Qual é essa fórmula? R 1.4 f (x) dx = ; Fórmula:

20 (c) Calcule o erro de truncatura cometido na alínea (b). ET = 4. Calcule a melhor aproximação ao integral Z f (x) dx baseando-se nos pontos ( 0.2, 1.1), (0, 0.8), (0.4, 1.1) e (1.0, 2.0). R 1.0 f (x) dx =

21 Métodos Numéricos - L.E.G.I. Exercícios práticos - MATLAB Integração numérica Folha 7 1. Calcule o integral Z 1 4 I = 0 1+x dx 2 recorrendo ao comando quad (MATLAB): I =. 2. Calcule o integral anterior considerando com Tol =10 3. I =. 21

22 Métodos Numéricos A M.I.E.G.I. Exercícios práticos CONUM Equações diferenciais Folha 8 1. Considere a seguinte equação diferencial y '( x) = cos( x) y( x) resolva-a pelo método de Runge-Kutta de segunda ordem, no intervalo 0 x 2, sendo o valor inicial y ( 0) = 1 e h=0.5. x y x ) i ( i 2. Considere o seguinte sistema de equações diferenciais: y1' y2 2y3 y1 xy2' y3' y2 y1 e x = 0 = 0 = 0 com as seguintes condições iniciais: y 1) = y (1) e y (1) 2. 1 ( 2 = 3 = Determine a sua solução através do método de Runge-Kutta de segunda ordem, no intervalo [1, 1.2] com h=0.1. x y ( x ) y ( x ) y ( x ) i 1 i 2 i 3 i

23 Métodos Numéricos A M.I.E.G.I. Exercícios práticos MATLAB Equações diferenciais Folha 8 1. Considere a seguinte equação diferencial y '( x) = cos( x) y( x) resolva-a pelo método de Runge-Kutta, no intervalo 0 x 2, sendo o valor inicial y ( 0) = 1 e h=0.5. x y x ) i ( i 2. Considere o seguinte sistema de equações diferenciais: y1' y2 2y3 y1 xy2' y3' y2 y1 e com as seguintes condições iniciais: y 1 ( 1) = y2(1) = e y 3 (1) = 2. Determine a sua solução através do método de Runge-Kutta, no intervalo [1, 1.2] com h=0.1. i x = 0 = 0 = 0 x y ( x ) y ( x ) y ( x ) 1 i 2 i 3 i

24 Métodos Numéricos A M.I.E.G.I. Exercícios práticos CONUM Equações diferenciais de ordem igual ou superior a 2 Folha 9 1. Um modelo simples que descreve o bater do coração humano, consiste num sistema de equações diferenciais ordinárias, em ordem ao tempo: ε x' c' 3 ( t) = ( x Ax + c) () t = x onde x (t) representa o afastamento do equilíbrio da fibra do músculo do coração, c(t) é a concentração duma substância química de controlo, ε e A são constantes positivas ( ε =1.0 e A=3). Calcule a solução numérica no intervalo 0 t 3, com x ( 0) = 0. 1 e c ( 0) = 0. 1, considerando um espaçamento constante e igual a h=1 e usando o método de Runge- Kutta de 2ª ordem. 2. Resolva numericamente a seguinte equação diferencial y ''( x) 3y'( x) + 2 = 0 com y ( 0) = 1 e y '(0) = 0, no intervalo [0,1.5]. Considere h=0.5 e use o método de Runge-Kutta. x y(x i ) '(x ) i y i 3. Dada a equação diferencial de 2ª ordem: com u( 0) = 5 e u' ( 0) = 0. ( u( ) 2 u( x)' ' + 3u( x) 2 = x)' Escreva-a como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Diga qual a variável independente e as variáveis dependentes. Resolva o sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem resultante, usando o método de Runge-Kutta, no intervalo [0,1.5], com h=0.5. x u(x i i ) u'(x i )

25 Métodos Numéricos A M.I.E.G.I. Exercícios práticos MATLAB Equações diferenciais de ordem igual ou superior a 2 Folha 9 1. Um modelo simples que descreve o bater do coração humano, consiste num sistema de equações diferenciais ordinárias, em ordem ao tempo: ε x' c' 3 ( t) = ( x Ax + c) () t = x onde x (t) representa o afastamento do equilíbrio da fibra do músculo do coração, c(t) é a concentração duma substância química de controlo, ε e A são constantes positivas ( ε =1.0 e A=3). Calcule a solução numérica no intervalo 0 t 3, com x ( 0) = 0. 1 e c ( 0) = 0. 1, considerando um espaçamento constante e igual a h=1 e usando o método de Runge- Kutta de 2ª ordem. 2. Resolva numericamente a seguinte equação diferencial y ''( x) 3y'( x) + 2 = 0 com y ( 0) = 1 e y '(0) = 0, no intervalo [0,1.5]. Considere h=0.5 e use o método de Runge-Kutta. x y(x i ) '(x ) i y i 3. Dada a equação diferencial de 2ª ordem: com u( 0) = 5 e u' ( 0) = 0. ( u( ) 2 u( x)' ' + 3u( x) 2 = x)' Escreva-a como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Diga qual a variável independente e as variáveis dependentes. Resolva o sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem resultante, usando o método de Runge-Kutta, no intervalo [0,1.5], com h=0.5. x u(x i i ) u'(x i )

26 Métodos Numéricos A M.I.E.G.I. Exercícios práticos CONUM Problemas com condições de fronteira Folha Dada a equação diferencial de segunda ordem 1 y ''( x) + y' ( x) = 2 x em que y ( 0.2) = 0 e y(0.5)=0, calcule a solução numérica no intervalo [0.2,0.5]. Use h=0.05. ( y0, y1, y2, y3, y4, y5, y6 ) = (,,,,,, ) 2. Considere o seguinte problema de equações diferenciais: 2 y ''( x) = (1 x ) y( x) com y(0)=0 e y (1)=0. Calcule as soluções numéricas para y(0.25), y(0.5), y(0.75) e y(1), pelo método das diferenças finitas. y(0.25)=, y(0.5) =, y(0.75) = e y(1) = 3. Considere o seguinte problema de condução de calor a uma dimensão (estado estacionário), com condições de fronteira de Neumann: 2 d T ( x) 1 + g0 = 0 0 x L 2 dx k com dt ( x) k = q0 para x = 0 dx T x = 0º C para x = ( ) L sendo k = 12W mº C, g 0 = 4 10 W m, q 0 = 10 W m e L = m, calcule a sua solução numérica usando o método das diferenças finitas dividindo L em 4 partes iguais.