Matemática Computacional - Exercícios

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1 Matemática Computacional - Exercícios o semestre de 009/00 - LEMat e MEQ Resolução de sistemas lineares. Inuência dos erros de arredondmento. Consideremos o sistema linear A x = b, onde A = 0 6, b =. Resolva este sistema pelo método de eliminação de Gauss no sistema ponto utuante com seis dígitos na mantissa, com arredondamento simétrico, (a) sem pesquisa de pivot; (b) com pesquisa parcial de pivot. Compare os resultados e comente.. Considere os seguintes dois sistemas de equações equivalentes: (I) { x + y = 0.5 x + y = (II) { x y = 0000 x + y = Analise as vantagens da selecção de pivot na resolução de cada um dos sistemas, ao efectuar os cálculos no sistema decimal com 4 dígitos na mantissa. Qual o tipo de selecção que deveria utilizar em cada um dos casos?. Seja A =. Condicionamento de sistemas lineares [ ] (a) Determine o número de condição da matriz A na norma ; (b) Ao resolver um sistema com a matriz A, sabendo-se que o segundo membro é afectado por um erro cuja norma, em termos relativos, satisfaz δ b 0 6, determine um majorante da norma correspondente do erro relativo da solução.

2 [ 0. Seja A = solução exacta x = [ ] T. ] (a) Determine cond(a) na norma. e considere o sistema Ax = b, com b = [ 0 6 ] T, que tem por (b) Considere o sistema A x = b, onde b = [ + ɛ 0 6 ] T. Obtenha δ b e δ x. Comente os resultados. (c) Considere ainda o sistema A x = b, onde b = [ δ x. Comente. 0 6 ] T. Obtenha δ b e. [Para fazer este exercício, pode usar o MATLAB ou o Mathematica] Seja A uma matriz quadrada, de dimensão n, com a forma A = (a) Calcule A. (b) Determine os números de condição cond (A) e cond (A). (c) Sejam b e b dois vectores de R n tais que b b b 0 5. Sejam x e x, respectivamente, as soluções dos sistemas A x = b e A x = b. Determine um. Seja A = majorante de x x x / / 0 no caso n = 0. Comente.. Métodos de factorização. (a) Obtenha a factorização de Crout da matriz A. (b) Usando a factorização anterior, resolva o sistema Ax = b, em que b = [ ] T.

3 . Considere o sistema Ax = b com A = b = (a) Mostre que A se pode decompôr na forma A = LL T, com L triangular inferior e determine a matriz L. (b) Usando a decomposição anterior, resolva o sistema Ax = b. 4. Métodos iterativos para sistemas lineares. Considere o sistema de equações lineares x + 0x + x = x + x + 0x = 0x + x + x = (a) Reordene as linhas de modo a que matriz do novo sistema tenha a diagonal estritamente dominante. (b) Aplique o método de Jacobi ao novo sistema e efectue 4 iterações. Calcule um majorante para o erro na 4 a iterada. Considere x (0) = [ 4 4 4] T. (c) Nas condições da alínea anterior, quantas iterações do método de Jacobi são necessárias para garantir que seja satisfeita a condição x (k) x < 0.00? (d) Aplique o método de Gauss-Seidel até que x (k) x (k ) < 0. sobre o erro da iterada x (k).. Considere o sistema linear Ax = b, onde 0 7 A = , b = Conclua (a) Verique que este sistema pode ser resolvido pelos métodos de Jacobi e de Gauss- Seidel. (b) Para x (0) = [ ] T, efectue iterações do método de Jacobi e estime o erro de x () na norma. (c) A mesma pergunta, em relação ao método de Gauss-Seidel.

4 . Considere o sistema linear Ax = b, onde 4 A = 4, b = (a) Mostre que, em geral, o método de Jacobi não pode ser usado para resolver este sistema. Indique uma aproximação inicial (diferente da solução exacta), tal que o método de Jacobi seja convergente e outra aproximação inicial com a qual o método divirja. (b) Verique que este sistema pode ser resolvido pelo método de Gauss-Seidel, e para x (0) = [ ] T, estime a norma do erro de x (n) na norma. 4. Pretende-se resolver um certo sistema A x = b, onde A é uma matriz triangular superior, partindo de uma aproximação inicial arbitrária. (a) Se aplicarmos o método de Gauss-Seidel, podemos garantir que a solução exacta é obtida com um número nito de iterações. Justique e diga quantas. (b) A mesma pergunta, em relação ao método de Jacobi. 0 0 Resolução numérica de sistemas não-lineares. Pretende-se resolver pelo método de Newton o seguinte sistema de equações nãolineares x + x (x + ) = 0 (x + ) + x = x + x = 9 tomando como aproximação inicial x (0) = [ ] T. (a) Mostre que o sistema linear Av = b a ser resolvido para se obter x () é tal que A = 0 0 Obtenha ainda o vector b. (b) Resolva o sistema linear obtido na alínea anterior, pelo método de eliminação de Gauss com pesquisa parcial de pivot, e obtenha x (). 4

5 . Pretende-se resolver pelo método de Newton o sistema de equações não lineares e x = 0 y + 4z = x + x + z = (a) Tomando como aproximação inicial [x 0 y 0 z 0 ] T = [0 ] T, ao efectuar uma iteração pelo método de Newton, somos conduzidos a resolver um certo sistema de equações lineares. Qual? (b) Resolva o sistema de equações lineares obtido na alínea anterior, utilizando o método de Gauss-Seidel, considerando como aproximação inicial o vector nulo e efectuando duas iterações.. Considere o seguinte sistema de equações não lineares x + 5y z = 0 e y z = x + y + z = µ, onde µ é um número real conhecido, próximo de 0. Para aproximar uma solução deste sistema pretende-se utilizar o método de Newton. Tomando como aproximação inicial (x (0), y (0), z (0) ) = (c, 0, 0), onde c é um certo número real, para obter a primeira iterada do método, somos levados a resolver um sistema linear com a matriz c 5 A = 0 0 c (a) Mostre como se obteve esta matriz e calcule o segundo membro do sistema. (b) Factorize a matriz pelo método de Doolittle e diga para que valores de c o sistema linear considerado tem solução única. (c) No caso de c =, resolva o sistema pelo método de Doolittle e calcule a primeira iterada do método de Newton. (d) No caso de se aplicar o método de Jacobi para resolver o sistema linear, diga para que valores de c está garantida a condição necessária e suciente de convergência do método. 4. Considere o sistema não-linear { x cos(x + y) = y sin(x + y) = 6 5

6 (a) Partindo de (x (0), y (0) ) = (, ), efectue duas iterações do método do ponto xo. (b) Efectue o mesmo que em a) usando o método de Newton. 5. Considere o sistema de equações { x y cos(x)/4 = 0 y + x = 0 (a) Mostre que o sistema tem uma e uma só solução (x, y) [0, ] [, ]. (b) Determine uma aproximação da solução ( x, ỹ) de forma a que o erro absoluto verique e ( x,ỹ) < Considere o sistema de equações não-lineares { x = 0.5 +(x +x ) x = 0.5 +(x x ) Mostre que o sistema tem uma única solução e aproxime-a pelo método do ponto xo. Obtenha uma estimativa do erro para a solução obtida, usando a norma do máximo. 6