EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL: PRIMEIRO BIMESTRE: EDGARD JAMHOUR. QUESTÃO 1: Indique as afirmativas verdadeiras.

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1 EXERCÍCIOS DE MATEMÁTICA COMPUTACIONAL: PRIMEIRO BIMESTRE: EDGARD JAMHOUR QUESTÃO 1: Indique as afirmativas verdadeiras. ( ) O número Pi não pode ser representado de forma exata em sistemas numéricos de base 2, independente do número de bits utilizado. ( ) Números inteiros podem ser representados de forma exata em sistemas numéricos de base 2, desde que utilize-se um número de bits suficientes. ( ) Muitos números fracionários, como o 0.1, não podem ser representados de forma exata em sistemas de base 2, independente do número de bits utilizados. ( ) Computadores representam números fracionários num modelo denominado ponto flutuante (IEEE 754). Esse modelo segue a forma SINAL*MANTISSA * 2 EXPOENTE. Sendo que 1 bit é usado para representar o SINAL, a MANTISSA é sempre um valor maior que 1 e o EXPOENTE é um número inteiro. ( ) O número em ponto flutuante é representado da seguinte forma: * 2 6, onde é a MANTISSA e 6 é o expoente. QUESTÃO 2: O Matlab utiliza, por default, 64 bits para representar números em ponto-flutuante, sendo que um bit é usado para SINAL, 11 bits para representar o EXPOENTE e 52 bits para representar a MANTISSA. Identifique o tipo de erro nas operações abaixo. ( ) (10^310)/(10^300) = Inf ( ) 10^300/(10^300*10^-10) = e+10 ( ) (10^-320)/(10^-300) = e-21 ( ) (10^-160 * 10^-160)/(10^-300) = e-21 ( ) 10^-324 = 0 ( ) 10^309 = Inf ( ) (10^-319*10^-4) = e-324 ( ) (10^-320*10^-4)/10^-323 = 0 1. Overflow 2. Underflow 3. Truncamento 4. Sem erro 5. n.d.a. QUESTÃO 3: Você testou dois método iterativos A e B para encontrar o resultado aproximado de X* correspondente ao valor exato X. Considerando as afirmações abaixo indique as afirmações corretas. 1) O método A apresentou erro absoluto aproximadamente constante, tendo encontrado 990 para o valor exato 1000 e 90 para o valor exato ) O método B apresentou erro relativo aproximadamente constante, tendo encontrado 9 para o valor exato 10 e 0.9 para o valor exato 1. ( ) O método A apresenta também erro relativo constante. ( ) O método B não apresenta erro absoluto constante, pois o erro absoluto cresce quando o valor de X cresce. ( ) O método A irá se comportar melhor que B para valores grandes de X. ( ) O método B irá se comportar melhor que A para valores pequenos de X. QUESTÃO 4: Considerando as curvas f(x) e sua derivada f (x) na figura abaixo, indique as afirmativas verdadeiras.

2 ( ) A função f(x) possui uma raiz no intervalo entre -4 < x < -2. ( ) O teorema de Bolzano indica que se f(a)*f(b) < 0, então existe uma e apenas uma raiz no intervalo [a,b]. ( ) Se f(a)*f(b) < 0, e f (x) < 0 no intervalo [a,b], então existe apenas uma raiz no intervalo [a,b]. ( ) Se f(a)*f(b) < 0, f(a) < f(b), e f (x) > 0 no intervalo [a,b], então existe apenas uma raiz no intervalo [a,b]. ( ) Se f(a) > f(b), e f (x) > 0 no intervalo [a,b], então não existe raiz no intervalo [a,b]. QUESTÃO 5: Classifique os métodos de determinação de raízes em problemas com uma única incógnita. ( ) Recebe como entrada um intervalo [a,b], sendo que f(a)*f(b) <0. ( ) Método iterativo para determinação de x, tal que f(x) = 0. ( ) Utilize a derivada da função f(x) em relação a x. ( ) Pode ser aplicado em cenários onde f(x) é o resultado de medições de um experimento feito em diferentes condições representadas por x. ( ) Pode utilizar como critério de convergência encontrar x tal que abs(f(x)) < e, onde e é um número pequeno. ( ) Pode utilizar como critério de convergência reduzir o intervalo [a,b] até que abs(b-a) < e. 1. Bisseção 2. Posição Falsa 3. Newton-Raphson 4. Secante 5. Todos os métodos 6. Métodos 1 e 2 7. Métodos 3 e 4 8. Métodos 1, 2 e 4 9. Outra combinação de alternativas 10. n.d.a. QUESTÃO 6: Considere as seguintes afirmações sobre os sistemas de equações lineares: A x = b: 1) Se o número de equações for menor que o número de incógnitas, o sistema tem infinitas soluções. 2) Se o número de equações for maior que o número de incógnitas, o sistema não tem solução. 3) Se o número de equações for igual ao número de incógnitas, o sistema tem apenas uma solução. ( ) Afirmação 1 ( ) Afirmação 2 ( ) Afirmação 3 1. Sempre verdadeiro 2. Sempre falso 3. Verdadeiro se det(a) =0 4. Verdadeiro se det(a) 0 5. n.d.a. QUESTÃO 7: Indique qual a representação no formato A x = b do seguinte sistema de equações: R1 R4 R6 i1 V1 a) [ R4 R2 R5]. [ i2] = [ 0 ] R6 R5 R3 i3 V2 R2 (R5 + R2 + R3) R5 i1 0 b) [ R4 R5 (R4 + R5 + R6) ]. [ i2] = [ V2] (R1 + R2 + R4) R2 R3 i3 V1 (R1 + R2 + R4) R2 R3 V1 i1 c) [ R2 (R5 + R2 + R3) R5 ]. [ V2] = [ i2] (R1 + R2 + R4) R5 (R4 + R5 + R6) V3 i3 d) n.d.a QUESTÃO 8: Classifique os métodos de para solução de sistemas de equações lineares. ( ) Método de Gauss ( ) Método de Gauss-Jordan ( ) Fatoração L.U. ( ) Método de Jacobi ( ) Método de Gauss-Siedel 1. Método direto: encontra a solução exata, caso exista. Os erros introduzidos acontecem apenas por truncamento em operações computacionais. 2. Método indireto ou iterativo: encontra soluções aproximadas, que reduzem a distância em relação a solução exata, na medida que o processo iterativo é repetido. 3. N.d.a

3 QUESTÃO 9: Em relação aos métodos de eliminação de Gauss para resolução de sistemas lineares A.x=b, indique as alternativas verdadeiras: ( ) O método de Gauss consiste em transformar a matriz aumentada [Ab] em uma matriz triangular superior transformando em zeros os elementos abaixo diagonal. A matriz aumentada consiste em inserir o vetor b como uma coluna adicional no lado direito de A. ( ) Substituir uma linha da matriz aumentada Ab pelo resultado da soma desta linha com outra linha da matriz não altera o resultado do sistema de equações. ( ) Multiplicar uma linha da matriz aumentada Ab por uma constante não altera o sistema de equações. O mesmo acontece se a multiplicação for feita apenas nos elementos correspondentes a matriz A. ( ) O método de pivoteamento parcial muda a ordem das linhas antes das operações de eliminação para garantir que o elemento da diagonal usado como pivô seja sempre o menor possível. Isso é feito para garantir que durante a transformação da matriz Ab em triangular os elementos gerados não sejam muito grandes e provoquem erros de truncamento ou overflow. ( ) O método de eliminação de Gauss-Jordan é similar ao método de Gauss, mas transforma a matriz Ab em triangular inferior ao invés de triangular superior. QUESTÃO 10: Em relação ao método de decomposição L.U indique as afirmativas corretas: ( ) A decomposição LU consiste em encontrar duas matrizes triangulares tal que L.U = A. ( ) Para usar a decomposição LU para resolver sistemas de equações lineares, deve-se resolver dois sistemas: L.y=b, para encontrar y e U.x=b para encontrar x. ( ) A matriz U pode ser determinada transformando-se a matriz A em triangular superior através do método de eliminação de Gauss. ( ) O determinante de uma matriz triangular, seja superior ou inferior, consiste no produto dos elementos de sua diagonal. O determinante da matriz A corresponde ao produto dos elementos da diagonal da matriz U. ( ) O método de decomposição LU é vantajoso para resolver sistemas de equações lineares quanto deseja-se encontrar os valores de x i correspondentes a diversos sistemas A x i = b i, onde A é constante, mas b i é variável. QUESTÃO 11: Em relação aos métodos iterativos para resolução de sistemas lineares indique as afirmações corretas: A) Sistema de equações no formato A.x=b B) Sistema na forma de Jacobi ( ) Uma iteração no método de Jacobi consiste em calcular o vetor X k+1 a partir de um valor conhecido X k substituindo-se os valores de X por X k do lado esquerdo do sistema B. ( ) A convergência do método de Jacobi acontece quando os valores de todos os elementos de X k+1 e X k são muito próximos. ( ) Para que este método possa ser utilizado, é necessário escolher de forma arbitrária um valor inicial para X k, usualmente denominado de X 0. ( ) Como um sistema de equações lineares pode possuir diversas soluções, o resultado encontrado pelo método de Jacobi depende do valor inicial escolhido para X 0. ( ) O método de Gauss-Seidel acelera a convergência em relação ao método de Jacobi calculando o vetor X k+1 usando elementos de X k e X k+1. Por exemplo, x1 k+1 é calculado usando [x2 k xn k ], x2 k+1 é calculado usando [x1 k+1 x3 k xn k ], x3 k+1 é calculado usando [x1 k+1 x2 k+1 x4 k xn k ], e assim sucessivamente.

4 QUESTÃO 12: Indique as afirmativas verdadeiras sobre um sistema de equações não lineares: f1(x1,x2,..,xn) = 0, f2(x1,x2,..,xn) = 0,..., fm(x1,x2,...,xn) = 0, onde as equações são linearmente independentes. ( ) Se m = n, o sistema tem sempre apenas uma solução. ( ) Se m < n, o sistema tem infinitas soluções. ( ) Se m = n, o sistema pode ter nenhuma, uma ou múltiplas soluções. ( ) Caso m > n, o sistema pode ter nenhuma, uma ou múltiplas soluções. QUESTÃO 13: Considere o seguinte exemplo de sistema de equações lineares correspondentes a um Robot manipulador com 3 graus e liberdade. ( ) As variáveis do sistema correspondem aos ângulos 1, 2 e 3. ( ) É possível representar o sistema de equações no formato A.x = b, onde x = [ 1, 2 e 3 ] e b = [x, y, z]. ( ) O sistema pode ser reescrito no formato f1( 1, 2 3 ) = 0, f2( 1, 2 3 ) = 0 e f3( 1, 2 3 ) = 0, ou ainda, F( 1, 2 3 )=[ ], onde F( 1, 2 3 )=[f1( 1, 2 3 ) f2( 1, 2 3 ) f3( 1, 2 3 )] T é o vetor formado pelas equações do sistema. ( ) O gradiente de uma função corresponde a derivada parcial da função em relação a cada uma de suas variáveis. Por exemplo, o gradiente da função f1( 1, 2 3 ) é um vetor com três elementos f1 = [ f1/ 1 f1/ 2 f1/ 3 ] T. ( ) Denomina-se matriz Jacobiana a matriz formada pelos gradientes de cada uma das funções do sistema de equações não linear: J = [ f1 T ; f2 T, f3 T ]. Para esse sistema, a dimensão da matriz jacobiana é 3 X 3. QUESTÃO 14: Indique as afirmativas verdadeiras relativas ao uso do método de Netwon para resolver o sistema de equações da questão 13. ( ) O objetivo do método de Newton é encontrar as raízes do vetor de equações F( 1, 2 3 )=[f1( 1, 2 3 ) f2( 1, 2 3 ) f3( 1, 2 3 )] T. Isto é encontra o valor do vetor X = [ 1, 2 3 ] tal que F( 1, 2 3 )=[0 0 0] T. ( ) O método de Newton é iterativo, consiste em calcular o valor X k+1 a partir de X K de forma que F[X k ] gere elementos mais próximos a zero do que F[X k+1 ]. ( ) A forma iterativa do método de Newton é X k+1 =X K - J(X k ) -1 F(X k ), onde J(X k ) é o valor da matriz jacobiana obtido substituindo-se [ 1, 2 3 ] por X k. Os elementos da matriz J(X k ) são constantes. ( ) Os sistemas X k+1 =X K - J(X k ) -1 F(X k ) e J(X k )( X k+1 -X K ) = -F(X k ) são equivalentes. Contudo o formato X k+1 =X K - J(X k ) -1 F(X k ) é mais simples de resolver computacionalmente. ( ) O sistema J(X k )( X k+1 -X K ) = -F(X k ) pode ser colocado na forma A x = b, e ( X k+1 -X K ) pode ser calculado resolvendo-se um sistema de equações lineares. ( ) Para que este método possa ser utilizado, é necessário escolher de forma arbitrária um valor inicial para X k, usualmente denominado de X 0. ( ) Como um sistema de equações não-lineares pode possuir diversas soluções, o resultado encontrado pelo método de Newton depende do valor inicial escolhido para X 0.

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