Fatoração LU André Luís M. Martinez UTFPR

Transcrição

1 Fatoração LU André Luís M. Martinez UTFPR Agosto de 2011

2 Sumário 1 Introdução

3 Sumário 1 Introdução 2 Fatoração LU

4 Sumário 1 Introdução 2 Fatoração LU 3 Método de Crout

5 Sumário 1 Introdução 2 Fatoração LU 3 Método de Crout 4 Método de Crout com pivoteamento

6 O problema Nosso objetivo é resolver o sistema Ax = b, para o qual estamos supondo A n n uma matriz real não singular (det(a) 0). Além do método de eliminação de Gauss para resolver o problema acima, podemos fatorar a matriz A para resolver o sistema.

7 Fatoração LU A fatoração LU de A corresponde a decomposição da matriz A no produto LU, ou seja, A = LU, onde L é uma matriz n n triangular inferior (Lower), U é uma matriz n n triangular superior (Upper).

8 Fatoração LU Este método busca transformar o problema em dois problemas fáceis de serem resolvidos, que é a resolução de sistemas lineares com matrizes triangulares. Vantagem de fatorar A em duas matrizes triangulares: Uma vantagem é que a solução de sistemas triangulares é trivial (retrosubstituição). Caso precisemos resolver vários sistemas envolvendo a matriz A, aproveitamos a estrutura da fatoração.

9 Resolução do sistema Solução de Ax = b Ax = b LUx = b L(Ux) = b Definimos y = Ux então obtemos o sistema Ly = b

10 Resolução do sistema O sistema Ly = b pode ser resolvido por substituição direta, assim encontramos y. Agora podemos resolver: por retrosubstituição. Ux = y,

11 Fatoração LU via eliminação de Gauss Podemos obter a fatoração LU utilizando uma estrutura similar a da eliminação de Gauss.

12 Fatoração LU via eliminação de Gauss

13 Fatoração LU via eliminação de Gauss

14 Fatoração LU via eliminação de Gauss

15 Fatoração LU via eliminação de Gauss Podemos observar que o algoritmo modifica a matriz A e que os valores contidos nas linhas e colunas k só são utilizados em sua iteração, assim é possível que as matrizes L e U sejam montadas na própria matriz A.

16 Fatoração LU via eliminação de Gauss

17 Necessidade de pivoteamento

18 Necessidade de pivoteamento Observação De fato, a troca de linhas é bastante comum, procurando que o pivô assuma o elemento de maior norma da coluna restante. Esta heurística se mostra bastante eficiente para manter a estabilidade numérica do algoritmo, salvo em casos raros.

19 Pivoteamento

20 Pivoteamento

21 Fatoração LU com Pivoteamento

22 Fatoração LU com Pivoteamento

23 Método de Crout - Para determinar LU

24 Método de Crout - Para determinar LU

25 Método de Crout - Para determinar LU

26 Método de Crout - Para determinar LU Com relação ao sistema anterior:

27 Algoritmo - Método de Crout

28 Entendendo o Método de Crout

29 Exemplo Exemplo Vamos aplicar o Algoritmo do método de Crout para determinar a decomposição LU da matriz A =

30 Implementação Observação Podemos notar que, após A(i, j) ter sido utilizado para calcular L(i, j) = α ij ou U(i, j) = β ij, ele não é mais utilizado, assim, os elementos não nulos de L e U podem ser escritos sobre os elementos correspondentes de A.

31 Método de Crout com Pivoteamento

32 Considerações finais Com pivoteamento o método de Crout é considerado estável. Algoritmo de Crout Gauss Execução de 1 3 n3 operações em cada loop; Este é, portanto, 3 vezes melhor do que Gauss-Jordan, que gasta n 3 operações.