Sistemas de Equações Lineares Algébricas

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Ágata Belo Padilha
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1 Sistemas de Equações Lineares Algébricas A 11 x 1 + A 12 x A 1n x n = b 1 A 21 x 1 + A 22 x A 2n x n = b A n1 x1 + A n2 x A nn x n = b n A 11 A A 1n x 1 b 1 A 21 A A 2n x 2 b 2 = A n1 A n2... A nn x n b n A x = b Incógnitas Métodos Diretos: Eliminação de Gauss: A x = b U x = c Eliminação de Gauss-Jordan: A x = b I x = d Decomposição LU: A x = b L U x = b onde: U é uma matriz triangular superior (upper); L é uma matriz triangular inferior (lower) e I é a matriz identidade. Métodos Indiretos ou Iterativos: Método Iterativo de Gauss-Seidel 1

2 O Método da Eliminação de Gauss Algoritmo: Eliminação A b = A 11 A A 1k... A 1j... A 1n b 1 A A 2k... A 2j... A 2n b A kk... A kj... A kn b k A ik... A ij... A in b i Equação Pivô Equação a ser transformada: L = A ik / A kk A nk... A nj... A nn b n Transformação do 1 o elemento: A ik = A ik L A kk = 0 Para toda a linha i: A ij = A ij L A kj j = k... n b i = b i L b k Para transformar as linhas restantes: i = k+1... n Para definir a equação pivô:... n-1 Faça k =1 até n-1 Faça i = k+1 até n L = A[i,k] / A[k,k] Faça j = k até n A[i,j] = A[i,j] L * A[k,j] b[i] = b[i] L * b[k] Nesta linha, k pode ser alterado para k+1, já que o valor de A[i,k] já é conhecido (nulo). 2

3 Algoritmo: retro-substituição A 11 A A 1k A 1k+1... A 1j... A 1n b 1 U c = A A 2k A 2k+1... A 2j... A 2n b A kk A kk+1... A kj... A kn b k A nn b n A última linha: A nn x n = b n x n = b n / A nn Para a k-ésima linha: Produto escalar de vetores! A kk x k + A kk+1 x k A kj x j A kn x n = b k ou: x k = [b k (A kk+1 x k A kj x j A kn x n )] / A kk x k = (b k A[k, k+1... n]. x[k+1... n]) / A kk x[n] = b[n] / A[n,n] Faça k = n-1 até 1 passo -1 x[k]= b[k] Faça j = k+1 até n x[k] = x[k] A[k,j] * x[j] x[k] = x[k] / A[k,k] Para economizar memória, x[ ] poderia ser armazenado no próprio vetor b[ ]. 3

4 O Método da Eliminação de Gauss-Jordan A x = b I x = d Matriz Identidade A transformação de A em I pode ser feita da mesma forma que no Método da Eliminação de Gauss tradicional, onde A é transformada em U. A diferença é que a equação-pivô transforma todas as outras linhas, mesmo as acima dela própria. As soluções surgem ao se dividir todas as equações pelos valores das diagonais: Faça até n-1 Faça i = 1 até n Se i <> k: L = A[i, k] / A[k, k] A[i, k:n] = A[i, k:n] L * A[k, k:n] b[i] = b[i] L * b[k] Fim bloco condicional Os Métodos por Decomposição LU Dependendo das restrições impostas às equações, obtém-se, por exemplo, os seguintes métodos mais comuns: Decomposição de Doolittle: L ii = 1 Decomposição de Crout: U ii = 1 Decomposição de Choleski: U = L T Decomposição de Banachiewicz: U = D L T A solução é realizada assim: A x = b L U x = b L y = b y U x = y x retrosubstituição substituição progressiva 4

5 O Método de Decomposição LU de Doolittle O algoritmo de decomposição é idêntico ao da Eliminação de Gauss. Somente a fase de solução é que apresenta uma etapa a mais: y[1] = b[1] // Substituição progressiva. Faça k = 2 até n y[k] = b[k] ProdVet(A[k, 1:k-1], y[1: k-1]) x[n] = y[n]/a[n, n] // Retro-substituição. Faça k = n-1 até 1 (passo -1) x[k] = (y[k] ProdVet(A[k, k+1: n], x[k+1: n]))/a[k, k] O Método de Decomposição LU de Crout L 11 = A 11 L 21 = A 21 L 31 = A 31 L 41 = A 41 L i1 = A i1 i = 1 n Aqui, nada precisa ser feito! U 12 = A 12 / L 11 U 13 = A 13 / L 11 U 14 = A 14 / L 11 U 1j = A 1j / L 11 j = 2 n L 22 = A 22 L 21 U 12 L 32 = A 32 L 31 U 12 L 42 = A 42 L 41 U 12 L 33 = A 33 (L 31 U 13 + L 32 U 23 ) L 43 = A 43 (L 41 U 13 + L 42 U 23 ) U 23 = (A 23 L 21 U 13 ) / L 22 U 24 = (A 24 L 21 U 14 ) / L 22 U 34 = (A 34 (L 31 U 14 + L 32 U 24 )) / L 33 L ij = A ij - L ik U kj L 44 = A 44 (L 41 U 14 + L 42 U 24 + L 43 U 34 ) n -1 L nn = A nn - L nk U kn U jk = A jk - L ji U ik i = 1 L jj 5

6 Faça j = 2 até n A[1, j] = A[1, j] / A[1, 1] A = L \ U Faça j = 2 até n Faça i = j até n A[i, j] = A[i, j] ProdVet(A[i, 1:j-1], A[1:j-1, j]) Faça k = j+1 até n A[j, k]=(a[j,k] ProdVet(A[j, 1:j-1], A[1:j-1, k]))/a[j, j] A[n, n] = A[n, n] ProdVet(A[n, 1:n-1], A[1:n, n-1]) O Método de Decomposição LU de Choleski L 11 = A 11 L 22 = A 22 - L 21 2 L 33 = A 33 (L L 322 ) L jj = A jj - L jk 2 j = 2 n L 21 = A 21 / L 11 L 31 = A 31 / L 11 L ij = (A ij - L ik L jk) / L jj i = j+1 n L 32 = (A 32 L 31 L 21 ) / L 22 6

7 A[1, 1] = Raiz(A[1, 1]) Faça j = 2 até n A[j, j] = Raiz(A[j, j] ProdVet(A[j, 1:j-1], A[j, 1:j-1])) A[j, 1] = A[j, 1] / A[1, 1] Faça i = j+1 até n A[i, j] = (A[i, j] ProdVet(A[i, 1:j-1], A[j, 1:j-1]))/A[j, j] O Método de Decomposição LU de Banachiewicz D 1 = A 11 D 2 = A 22 L 212 D 1 D 3 = A 33 (L 312 D 1 + L 322 D 2 ) i -1 D i = A ii - L ik2 D k L 21 = A 21 / D 1 L 31 = A 31 / D 1 L 32 = (A 32 L 31 L 21 D 1 ) / D 2 L ij = (A ij - L ik L jk D k ) / D j 7

8 Faça j = 1 até n Faça i = j até n Se i = j soma = 0.0 Faça até i-1 soma = soma + A[i, j]*a[i, k]**2 A[i, j] = A[i, j] - soma Outro Se i > j soma = 0.0 Faça até j-1 soma = soma + A[i, j]*a[i, k]*a[k, k] A[i, j] = (A[i, j] soma) / A[j, j] Fim bloco condicional O Método Iterativo de Gauss-Seidel Escolher x Calcular n [b i - Σ A ij x j ] / A ii j =1 j i Comparar 8

9 Obs.: O processo de convergência pode ser acelerado através de uma técnica conhecida como RELAXAÇÃO. Para o uso desta técnica, a expressão para os x i deve ser reescrita assim: n [b i - Σ A ij x j ] ω / A ii + (1 - ω) x i j =1 j i Um fator de relaxação, ω, ótimo pode ser encontrado através do seguinte procedimento: 1) Realizar k iterações com ω = 1, ou seja, sem relaxação (k pode ser considerado, por exemplo, igual a 10), e armazenar x (k) = abs(x (k-1) x (k) ); 2) Realizar mais p iterações com ω = 1 (tomar p igual a 1, por exemplo) e armazenar x (k+p) = abs(x (k+p-1) x (k+p) ); 3) Um ω ótimo, ou seja, para ser usado em todas as seguintes iterações seria dado por: ω ótimo = 2 / (1 + sqrt(1 ( x (k+p) / x (k) ) 1/p )) 9

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