a 11 a m1 A ou [ A] ou A ou A A = a ij para i = 1 m e j = 1 n A=[ Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j

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1 Cap. 2.- Matrizes e Sistemas Lineares 2.. Definição Matriz é um conjunto organizado de números dispostos em linhas e colunas. Representações Matriz retangular A, m x n (eme por ene) a a 2 a n a A=[ 2 a 2n a m a m2 a mn] A ou [ A] ou A ou A linha = rows coluna = columns a ij é o elemento da matriz localizado na linha i e na coluna j 2.2. Tipos A = a ij para i = m e j = n Matriz linha Matriz coluna Matriz quadrada de ordem n m = n = m = n A=[23] A=[ 3] 2 A=[ ] Os elementos da diagonal principal são: a ij para i = j [59] Matriz unitária Os elementos da diagonal secundária são: a ij para i + j = n + [357] m = n = A=[3] Matriz diagonal Os elementos são: a ij = 0 para i j A=[ ] José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 /24

2 2.2. Tipos(cont.) Matriz identidade É a matriz diagonal onde: a ij = para i= j a ij = 0 para i j =[ 0 0 ] I Matriz triangular superior (U) ( upper ) Os elementos abaixo da diagonal principal são nulos. U =[ ] Matriz triangular inferior (L) ( lower ) Matriz nula Matriz oposta A = -B Os elementos acima da diagonal principal são nulos. Todos os elementos são nulos: a ij = 0 V i e j A é oposta de B se: a ij = b ij V i e j L=[ ] N =[ ] A=[ 3 7 2] B=[ 3 7 2] Matriz idêntica A = B Matriz cheia A é idêntica a B se: a ij = b ij V i e j [ a b c d ] [ = 2 5 7] a= ;b=2 ;c=5 ; d =7 São matrizes com a maior parte dos elementos não nulos. Matriz esparsa Matriz de banda Matriz tridiagonal São matrizes com a maior parte dos elementos nulos São matrizes quadradas esparsas cuja diagonal principal e algumas diagonais paralelas a principal são compostas de elementos não nulos. [ ] José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 2/24

3 2.3. Operações Adição C = A + B As matrizes são do mesmo tamanho m x n. c ij = a ij b ij V i e j [ 2 3] [ ] [ = ] [2 3 0 ] [ ]=[ ] Propriedades Subtração C = A - B A + B = B + A A + (B + C) = (A + B) +C A + 0 = A A+(-A) = 0 C = A - B = A + (-B) comutativa associativa [ ] [ 7 0] [ = ] Multiplicação por um número k C = k B Propriedades Obs: a e b podem ser números complexos a (b A) = (a b) A a (A + B) = a A + a B (a +b) A = a A + b A.A = A c ij =k b ij V i e j 3[ 2 3 4] [ = ] 2[ 2 5] [ 3 4 2] = [ ] Multiplicação C = A.B Definição indicial Obs: matrizes quadradas devem ter a mesma ordem para poderem ser multiplicadas A = a ij m p B = b jk p n C = c ik m n onde c ik = a i b k a i2 b 2k a i3 b 3k a ip b pk c ik p = a ij b jk j= José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 3/24

4 2.3. Operações (cont.) Multiplicação C = A.B Definição esquemática a i a i2 a i3 a ip b k b 2k b 3k... b pk c ik i ésima linha de A k ésima linha de B elementoik de C Wikipédia, 2009 A.B=[ 3 2 5] [. 4 6 B.A=[ ] [. 2 c ik 7 8] [ = 3 5] [ = p = a ij b jk j= ] ] [ ] [ ] = [ 4 3] 2 x3 3 x 2 x Propriedades A.B B.A não é comutativa A.B = 0 > A = 0 ou B = 0 (A.B).C = A.(B.C) (A+B).C = A.C+B.C C.(A+B) = C.A+C.B (k.a).b = A.(k.B) = k.(a.b) A.I n = I m.a = A [ 0 0] [. 0 0 ] [ = ] associativa distributiva a direita distributiva a esquerda k = constante real ou imaginária A é uma matriz m x n Matriz Transposta A t A t = (b ji ), tipo m x n, é a matriz transposta de A = (a ij ), tipo m x n onde, b ij = a ij V i e j Propriedades (A+B) t = A t + B t (ka) t = ka t (A.B) t = B t.a t Matriz simétrica Matriz anti-simétrica É a matriz quadrada cuja transposta é igual a matriz original: A t = A ou seja, a ij = a ji V i e j É a matriz quadrada cuja transposta é igual a oposta da matriz original: A t = -A ou seja, a ij = -a ji V i e j José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 4/24

5 2.4. Determinantes Propriedades José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 5/24

6 2.5. Matrizes inversíveis A = D A pois, Gabriel Cramer Matriz Inversa (A - ) A A=A A=D I n D A = A D A A = A A D I n = A A D A = A D A A = A A D I n = A A Matriz de Cofatores (A') Matriz Adjunta (Ᾱ) 2.6. Matrizes no SciLab José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 6/24

7 2.7. Resolução de Sistemas Lineares Representação Solução Classificação a x a 2 =b a 2 x a 22 =b 2 Solução única Sem solução (eq. inconsistente) Infinitas soluções (eq. redundante) Solução trivial x x Operações com Sistemas Lineares x x José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 7/24

8 Aplicações Modelo de um sistema mecânico Diagrama de corpo livre 2 a Lei de Newton no equilíbrio F ext =0 Massa : F x =2F P 2F 2 W Massa 2: F x =2F 2 P 2 2F 3 W 3 Massa 3: F x =2F 3 P 3 W 3 Força de uma mola K é a constante da mola Força da gravidade g é aceleração da gravidade F =K x F 2 =K 2 x F 3 =K 3 x 3 W =m g W 2 =m 2 g W 3 =m 3 g O sistema de equações lineares que modelam o problema é: 2 K K 2 x 2K 2 =P m g 2K 2 x 2 K 2 K 3 2K 3 x 3 =P 2 m 2 g 2K 3 2K 3 X 3 = P 3 m 3 g A matriz de coeficientes K é chamada de matriz de rigidez do sistema e é simétrica. 2[K K 2 K 2 0 K 2 K 2 K 3 K 3 0 K 3 K 3 ][ x x 3]=[ 2 x 2 K X =P W P g P 2 m 2 g P 3] [m ] m 3 g para P = 0 o sistema está em equilíbrio devido ao peso próprio; para uma dada carga P os decolamentos X são únicos; para uma carga cíclica P os deslocamentos X também são cíclicos. José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 8/24

9 Aplicações (cont.) Ponte de Wheatstone Instrumentação: Uma Ponte de Wheatstone (ao lado) é um circuito elétrico usado para medição de sinais de vários tipos de sensores (de termistores a células de carga). O medidor de tensão, de resistência R g, fica entre os terminais D e B da ponte. A fonte fornece uma força eletromotriz E ao circuito. Vamos mostrar que para uma condição de equilíbrio na ponte, temos: I g =0 R 4 R 3 = R R 2 As leis que regem o fenômeno físico são: Ao longo de qualquer circuito envolvo a fonte. Lei de Ohm V =R.I Nós do circuito = pontos A, B, C e D na figura Nó D Nó B Circuito ADC Circuito ABC Circuito ADBC Lei de Kirchhoff I nó =0 O sistema de equações lineares que modelam o sistema é: I I 2 I g =0 I 3 I 4 I g =0 R I R 2 I 2 = E R 3 I 3 R 4 I 4 =E R I R 3 I 3 R g I g =E Na notação matricial: [ R R R 3 R 4 0 R 0 R 3 0 R g] [ I I 2 0 I 3 E I 4 E I g]=[0 E] Usar substituição progressiva! ou seja, A X =B Resolvo o sistema para I g = 0, obtemos, R 4 R 3 = R R 2 José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 9/24

10 Métodos Numéricos de Solução de Sistemas Lineares Métodos Diretos A solução é encontrada por métodos algébricos com um número fixos de operações. A solução é exata. Recomados para: Sistemas lineares pequenos (n<=000). Matriz de coeficientes do tipo matriz cheia, onde a maioria dos elementos são não nulos (a ij 0). Exemplos de métodos diretos Método da Eliminação de Gauss Método da Eliminação de Gauss-Jordan Método da Inversão da Matriz de Coeficientes Método da Decomposição LU Métodos Indiretos A solução é encontrada por tentativa e erro, através de um processo iterativo. Uma solução é assumida e substituída no sistema de equações para o cálculo do erro. Este erro é usado para melhorar a estimativa. O procedimento é repetido até que o erro calculado seja menor que um valor pré-definido. A solução final é aproximada. Recomados para: Sistemas lineares grandes (n>000). Matriz de coeficientes do tipo matriz esparsa, onde a maioria dos elementos são nulos (a ij =0). Exemplos de métodos indiretos (SOR = successive over relaxation) Método de Iteração de Jacobi Método de Iteração de Gauss-Siedel Método da Relaxação Método da Super-Relaxação Sucessiva (SOR) Métodos Diretos Serão discutidos os Métodos de Gauss e o da Decomposição LU. José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 0/24

11 Método de Gauss Método da Eliminação de Gauss Método da Triangularização de Gauss É um método direto de solução de sistemas lineares. Consiste em transformar um sistema de equações lineares em um outro sistema triangular superior, equivalente ao primeiro, e de solução direta por substituição retroativa. [a a2 an b a 2 a 22 a 2n b 2 a n a nn b n] [ c2 cn d 0 c 2n d 2 n] 0 0 d Etapas: ) Escrever a matriz aumentada C 0 = [A : B] 2) Pivotamento Carl Friedrich Gauss Escolher o pivô (elemento da diagonal principal) a 0 Encontrar os multiplicadores para eliminar os termos a 0 2 e a 0 3 m 0 2 = a 2 /a m 0 3 = a 3 /a Fórmula generalizada de transformação: L i k =m ik k L k k L i k k = índice de iteração; i = índice da linha. 3) Transformar as linhas para obter a nova matriz aumentada C L =L 0 L 2 =m 0 2 L 0 0 L 2 L 3 =m 0 3 L 0 0 L 3 4) Repetir as operações de pivotamento e transformação para o novo pivô até chegar a última linha da matriz aumentada. L 2 = L L 2 2 = L 2 m 32 = a 32 /a 22 L 2 3 =m 32 L 2 L 3 Obs.: nenhum elemento da diagonal principal pode ser nulo. 5) Resolver o sistema triangular superior por substituição retroativa. José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 /24

12 Método de Gauss (cont.) Exemplo A X = B Sistema de ordem 3 2x 3 x 3 =5 4x 4 3x 3 =3 2x 3 x 3 = C0 = [A : B] L 2 = -2*[ : 5] + [ : 3 ] = [ : -7] C 0 =[ C =[ ] ] L =L 0 m 2 = a 2 / a = 2 L 2 =m 2 L 0 0 L 2 m 3 = a 3 / a = L 3 =m 3 L 0 0 L 3 L 2 = L L 2 2 =L 2 m 32 = a 32 / a 22 = 3 L 2 3 =m 32 L 2 L 3 Matriz triangular superior Solução por substituição retroativa C 2 =[ ] x 3 =5 2 x 3 = 7 2x 3 x 3 =5 Solução Final =[ 3] X 2 ou X t =[ 2 3] Obs.: n = 3 exige 3 operações aritméticas José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 2/24

13 Método de Gauss (cont.) Exemplo Sistema de ordem =[ C ] C =[3 ] L = L 0 m 2 = a 2 / a = 3 L 2 =m 2 L 0 0 L 2 m 3 = a 3 / a = 2 L 3 =m 3 L 0 0 L 3 m 4 = a 4 / a = L 4 =m 4 L 0 0 L 4 L 2 =L L 2 2 =L 2 m 32 = a 32 /a 22 = 4 L 2 3 =m 32 L 2 L 3 m 42 = a 42 / a 22 = 5 L 2 4 =m 42 L 2 L C =[3 ] L 3 =L 2 L 2 3 =L 2 2 L =L 3 m 0 43 = a 43 / a 33 = 3 L 3 4 =m 2 43 L L 4 Matriz triangular superior C =[3 ] Solução por substituição retroativa X =[ 2 ou X 0 ] t =[ 2 0 ] Obs.: n = 4 exige 76 operações aritméticas n = 5 exige 45 operações aritméticas Exercício: Obter uma equação para calcular o número de operações aritméticas necessárias para a solução de um sistema linear de ordem n pelo método de eliminação de Gauss. José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 3/24

14 Método de Gauss (cont.) Algorítimo de Triangularização de Gauss para Sistema Lineares No SciLab: function x = GaussElim(n,a,b) Entradas: Ordem do sistema linear Matriz de coeficientes Matriz de termos indepentes Saída: Matriz de incógnitas Início n a[n,n] b[n,] x[n,] // Matriz aumentada c = [a b]; // Triangularização da matriz // aumentada for k=:n- for i=k+:n mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; for j = k+:n+ c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); // Substituição retroativa x=zeros(n,); x(n)=c(n,n+)/c(n,n); for i=n-:-: soma = 0; for j=i+:n soma = soma +c(i,j)*x(j); x(i)=(c(i,n+)-soma)/c(i,i); function // Definir os termos da matriz aumentada c[n,n+]= a[n,n]:b[n,]; // Triangularização da Matriz aumentada Para k= até n- faça início Para i=k+ até n faça início mik=c(i,k)/c(k,k); c(i,k) = 0; Para j = k+ até n+ faça início c(i,j)=c(i,j)-mik*c(k,j); fim; fim; fim; // Substituição retroativa x(n)=c(n,n+)/c(n,n); Para i=n- até faça início soma = 0; Para j=i+ até n faça início soma = soma +c(i,j)*x(j); fim; x(i)=(c(i,n+)-soma)/c(i,i); fim; Mostre a matriz x[n,]; fim. José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 4/24

15 Método de Decomposição LU A matriz U é única! AX =B A=[ ] =[x X x 3] 2 B=[ x A=LU LUX =B LY =B UX =Y 4 2] 3 LY =B Y UX =Y X Método de solução l ij = se i= j l ij =0 se i j u ij =0 se i j Decomposição usando a igualdade LU = A Forma indicial Substituição progressiva Substituição retroativa Solução A=LU U L=[ 0 0 l 2 0 l 3 l 32 ] u2 u3 =[u 0 u 22 u u 33] A=[ ] u =a u 2 =a 2 u 3 =a 3 l 2 u =a 2 l 2 =a 2 /u l 2 u 2 u 22 =a 22 u 22 =a 22 l 2 u 2 l 2 u 3 u 23 =a 23 u 23 =a 23 l 2 u 3 l 3 u =a 3 l 3 =a 3 /u l 3 u 2 l 32 u 22 =a 32 l 32 = a 32 l 3 u 2 /u 22 l 3 u 3 l 32 u 23 u 33 =a 33 u 33 =a 33 l 3 u 3 l 32 u 23 para i j u ij =a ij se j= e u ij =a ij l ik u kj se j para i j j k= j l ij = a ij se j= e l u ij = a ij l ik u kj /u jj se j jj LY =B L=[ 0 0 / ] Y =[ y y 2 y 3] B=[ UX =Y =[ 2 3 ] =[x U 0 3/2 5/2 X x 3] 2 Y x X t =[ ] k= 4 2] 3 =[ 4 4] José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 5/24

16 Método de Decomposição LU (cont.) Rotina de Decomposição LU em código do SciLab //Rotina de Decomposição LU para Sistema Lineares //entrada Ordem do sistema linear n // Matriz de coeficientes a[n,n] // Matriz de termos indepentes b[n,] //saída Matriz de incógnitas x[n,] function x = DecoLU(n,a,b) // Decomposição de A em L(matriz triangular inferior) e U(matriz triangular superior) // LU=A l = zeros(n,n); u = zeros(n,n); // zerar matrizes L e U for i=:n // diagonal de L igual a l(i,i)=; j=; // cálculo dos elementos de L e U para j= for i=:n if i<=j then u(i,j)=a(i,j); else l(i,j)=a(i,j)/u(j,j); for i=:n // cálculo dos elementos de L e U para j> for j=2:n SumLU=0; for k=:j- SumLU=SumLU+l(i,k)*u(k,j); if i<=j then u(i,j)=a(i,j)-sumlu; else l(i,j)=(a(i,j)-sumlu)/u(j,j); // Substituição progressiva LY=B y=zeros(n,); y()=b(); for i=2:n SumLY=0; for j=:i- SumLY = SumLY + l(i,j)*y(j); y(i)=b(i)-sumly; // Substituição retroativa UX=Y x=zeros(n,); x(n)=y(n)/u(n,n); for i=n-:-: SumUX = 0; for j=i+:n SumUX = SumUX +u(i,j)*x(j); x(i)=(y(i)-sumux)/u(i,i); function // Jose Eduardo Mautone Barros 22/04/200 José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 6/24

17 Métodos Iterativos Exemplo: AX =B AX B=0 AX IX B= IX X = A I X B Os métodos iterativos consistem em transformar o sistema de equações lineares original para uma outra forma que permita obter novas estimativas de valores do vetor de incógnitas X a partir de uma estimativa anterior de valores do vetor X. A partir de uma aproximação inicial: A X =B para X =F X D X 0 t =[ x 0 0 x x n 0 ] obtemos a nova estimativa, e repete-se até que, X =F X 0 D máx x i k x i k ou k M onde, ε = tolerância na solução M = número máximo de iterações Método de Jacobi Seja o sistema de equações lineares (LES), a x a 2 a 3 x 3... a n x n =b a 2 x a 22 a 23 x 3... a 2n x n =b 2... a n x a n2 a n3 x 3... a nn x n =b n explicita-se as incógnitas x da seguinte forma: Carl Gustav Jakob Jacobi Obs: a ii 0 V i Senão é necessário reagrupar as equações do sistema original. x = b a 2 a 3 x 3... a n x n a = b 2 a 2 x a 23 x 3... a 2n x n a x n = b n a n x a n2... a n n x n a nn José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 7/24

18 Método de Jacobi (cont.) O método iterativo de Jacobi consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial X 0 = x 0, 0, x 3 0,, x n 0 t b) Calcula-se a sequência de aproximações utilizando as equações: X,X 2, X 3,..., X k x k = a b a 2 k a 3 x 3 k a 4 x 4 k a n x n k k = a 22 b 2 a 2 x k a 23 x 3 k a 2 x 4 k a 2n x n k x k 3 = b a 3 a 3 x k a 32 x k 2 a 34 x k 4 a 3n x k n 33 x k n = b a n a n x k a n2 x k k 2 a n n x n nn c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: onde, máx x i k x i k ou k M ε = tolerância M = número máximo de iterações Método do Resíduo R i (k) É mais atual! x k i =x k i R k i a ii n R i k =b i j = k a ij x j i=..n i=..n José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 8/24

19 Método de Gauss-Siedel Seja o sistema: A X = B O método iterativo de Gauss-Siedel consiste em: a) Partindo-se de uma aproximação inicial X 0 = x 0, 0, x 3 0,, x n 0 t b) Calcula-se a sequência de aproximações utilizando as equações: X,X 2, X 3,..., X k x k = a b a 2 k a 3 x 3 k a 4 x 4 k a n x n k k = a 22 b 2 a 2 x k a 23 x 3 k a 2 x 4 k a 2n x n k x k 3 = k b a 3 a 3 x a 32 x k 2 a 34 x k 4 a 3n x k n 33 x k n = b a n a n x k a n2 x k k 2 a n n x n nn c) Continuar a gerar aproximações até que uma das seguintes condições for satisfeita: onde, máx x i k x i k ou k M ε = tolerância M = número máximo de iterações Método do Resíduo R i (k) É mais atual! i R k i =b i a ij x j j = x k i =x k i R k i a ii n k j =i k a ij x j i=..n i=..n José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 9/24

20 Superrelaxação Sucessiva (SOR) Alteração do método de Gauss-Siedel para acelerar a convergência. SOR = successive over-relaxation Método do Resíduo R i (k) x k k i = x i R k i a ii i R k i =b i a ij x j j = n k j =i k a ij x j i=..n i=..n w< sub-relaxado w> super-relaxado Fator de relaxação (ω) 0 < w < 2 José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 20/24

21 2.8. Problemas de Autovalor Seja o sistema de equações lineares: A X = B Se det A 0 Ele admite solução única Se: det A = 0 x Ele pode não admitir solução Ele pode admitir um número infinito de soluções Ele pode admitir ao menos a solução trivial, X = 0, se o sistema for homogêneo, A X= 0 x Para sistemas homogêneos, com det A = 0, só existe a solução trivial se os coeficientes a ij forem fixos. Se alguns destes coeficientes for função de uma variável, tal como lambda (λ), existem outras soluções diferentes da trivial. Neste caso, a matriz X é chamada de autovetor e os valores de lambda são chamados de autovalores do sistema de equações lineares. Exemplo K M K M x x O sistema da figura acima é constituído de duas massas e duas molas idênticas. As equações diferenciais que descrevem o seu estado (posições das massas) são obtidas a partir do balanço de forças em cada massa do sistema. Do seguinte modo, M d 2 x d t 2 = K x K x =K 2 K x M d 2 d t 2 = K x =K x K As solução isoladas dos sistemas massa-mola são: ϖ = freqüência natural ϕ = ângulo de fase X i = amplitude da oscilação da massa i x = X sen t x = X cos t x = X 2 sen t = X 2 sen t x 2 = X 2 cos t x 2 = X 2 2 sen t José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 2/24

22 2.8. Problemas de Autovalor (cont.) Substituindo as soluções nas equações diferenciais, temos, 2 X X 2 =0 X X 2 =0 onde, lambda foi definido como, Definição arbitrária = 2 M K Problema de Autovalor Na forma matricial, ou, [ 2 ][ X X 2] =0 A I X =0 Esta é a forma clássica do Problema de Autovalor. Equação característica A equação característica do problema de autovalor é obtida pela condição de múltiplas soluções, não triviais, para o sistema de equações lineares. det A I =0 A solução gera um polinômio da mesma ordem do número de equações do sistema e cujas raízes são os autovalores do sistema de equações lineares homogêneo. Solução Numérica do Exemplo 2 =0 Autovalores Assim, 2 =0 2 3 =0 =2,680 2 =0,3820 José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 22/24

23 2.8. Problemas de Autovalor (cont.) Para calcular os autovetores, usamos cada um dos autovalores, Para λ = 2,680 [ 0,680,680][ X X 2] =0 X 2 = 0,680 X Para λ 2 = 0,3820 [,680 0,680][ X X 2] =0 X 2 =,680 X Considerando X =, temos, Autovetores X = e X 2 = -0,680 para λ X = e X 2 =,680 para λ 2 Significado físico Para λ as massas estão se movo em direções opostas e a amplitude da oscilação da segunda massa é 6,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por: = K M Para λ 2 as massas estão se movo na mesma direção e a amplitude da oscilação da segunda massa é 6,8 % da amplitude de oscilação da primeira massa. A freqüência de oscilação é dada por: = 2 K 2 M José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 23/24

24 Métodos de solução O problema é achar os autovalores quando o polinômio gerado é de elevado grau, por exemplo, de ordem 300. Ou seja, possui 300 raízes. A solução do problema de achar os autovalores pode ser feita através dos seguintes métodos: Diretos solução pela definição ou usando uma modificação da equação característica; Indiretos solução iterativa ou outro método de busca de raízes, tais como, Método da potência Método do inverso da potência Método do deslocamento de autovalores. Solução do problema de autovalor em programas simbólicos Matlab eig(a,x) Scilab [erots,x] = spec(a) Obs Existem problemas de autovalor que não são lineares: [ A B ] X =0 det [ A B ]=0 José Eduardo Mautone Barros 22/04/0 24/24