Resolução de Sistemas Lineares. Ana Paula

Transcrição

1 Resolução de Sistemas Lineares

2 Sumário 1 Aula Anterior 2 Decomposição LU 3 Decomposição LU com Pivotamento 4 Revisão

3 Aula Anterior Aula Anterior

4 Aula Anterior Aula Anterior Eliminação de Gauss Transforma o sistema linear num sistema equivalente com matriz de coeficientes triangular superior Resolve o sistema equivalente utilizando substituições retroativas Eliminação de Gauss com estratégias de pivotamento Evita que o pivô seja nulo e evita efeitos numéricos

5 Decomposição LU Decomposição LU

6 Decomposição LU Decomposição LU Uma matriz quadrada A pode ser decomposta como A = LU onde L é uma matriz triangular inferior com diagonal principal unitária U é uma matriz triangular superior Assim, Ax = b LUx = b Definindo Ux = y, então pode-se resolver e depois Ly = b Ux = y (por substituições sucessivas) (por substituições retroativas)

10 Decomposição LU Decomposição LU Determinante da Matriz A det(a) = det(lu) = det(l) det(u) = 1 det(u) = u 11 u u nn

11 Decomposição LU Decomposição LU Obtenção das Matrizes L e U As matrizes L e U podem ser obtidas pela definição de produto e igualdade de matrizes a 11 a 12 a a 1n u 11 u 12 u u 1n a 21 a 22 a a 2n l u 22 u u 2n a 31 a 32 a a 3n = l 31 l u u 3n a n1 a n2 a n3... a nn l n1 l n2 l n u nn As matrizes podem então ser obtidas na ordem: 1 a linha de U 1 a coluna de L 2 a linha de U 2 a coluna de L.

12 Decomposição LU Decomposição LU Obtenção das Matrizes L e U 1 a linha de U 1 a coluna de L a 11 = 1u 11 u 11 = a 11 a 12 = 1u 12 u 12 = a 12. a 1n = 1u 1n u 1n = a 1n a 21 = l 21 u 11 l 21 = a 21 u 11 a 31 = l 31 u 11 l 31 = a 31 u 11. a n1 = l n1 u 11 l n1 = a n1 u 11

13 Decomposição LU Decomposição LU Obtenção das Matrizes L e U 1 a linha de U 1 a coluna de L a 11 = 1u 11 u 11 = a 11 a 12 = 1u 12 u 12 = a 12. a 1n = 1u 1n u 1n = a 1n a 21 = l 21 u 11 l 21 = a 21 u 11 a 31 = l 31 u 11 l 31 = a 31 u 11. a n1 = l n1 u 11 l n1 = a n1 u 11

14 Decomposição LU Decomposição LU Obtenção das Matrizes L e U 2 a linha de U 2 a coluna de L a 22 = l 21 u u 22 u 22 = a 22 l 21 u 12 a 23 = l 21 u u 23 u 23 = a 23 l 21 u 13. a 2n = l 21 u 1n + 1u 2n u 2n = a 2n l 21 u 1n a 32 = l 31 u 12 + l 32 u 22 l 32 = a 32 l 31 u 12 u 22 a 42 = l 41 u 12 + l 42 u 22 l 42 = a 42 l 41 u 12 u 22. a n2 = l n1 u 12 + l n2 u 22 l n2 = a n2 l n1 u 12 u 22

15 Decomposição LU Decomposição LU Obtenção das Matrizes L e U 2 a linha de U 2 a coluna de L a 22 = l 21 u u 22 u 22 = a 22 l 21 u 12 a 23 = l 21 u u 23 u 23 = a 23 l 21 u 13. a 2n = l 21 u 1n + 1u 2n u 2n = a 2n l 21 u 1n a 32 = l 31 u 12 + l 32 u 22 l 32 = a 32 l 31 u 12 u 22 a 42 = l 41 u 12 + l 42 u 22 l 42 = a 42 l 41 u 12 u 22. a n2 = l n1 u 12 + l n2 u 22 l n2 = a n2 l n1 u 12 u 22

16 Decomposição LU Decomposição LU Obtenção das Matrizes L e U De forma geral, tem-se que i 1 u ij = a ij l ik u kj ; k=1 i j l ij = j 1 a ij l ik u kj k=1 u jj ; i > j

17 Decomposição LU Decomposição LU Entrada: Matriz A, n 1 inicio 2 para i = 1,..., n faça 3 para j = i,..., n faça i 1 4 u ij a ij l ik u kj ; k=1 5 para j = i + 1,..., n faça i 1 a ji l jk u ki 6 l ji k=1 u ii ; Algoritmo 1: Decomposição LU - Complexidade O(n 3 ) Na prática, L e U podem ser armazenadas sobre a matriz A

18 Decomposição LU Decomposição LU Via Eliminação de Gauss A Eliminação de Gauss pode ser utilizada para decompor A nas matrizes L e U U é a matriz triangular superior resultante L é a matriz triangular inferior formada pelos multiplicadores m ij e com diagonal principal unitária

19 Decomposição LU Decomposição LU Passos a serem seguidos: Determine as matrizes L e U a partir da Eliminação de Gauss Resolva o sistema Ly = b, usando método de substituições sucessivas; Resolva o sistema U x = y, usando método de substituições retroativas.

20 Decomposição LU Decomposição LU Nota-se que A decomposição é realizada com complexidade O(n 3 ) Os sistemas lineares com matrizes de coeficientes triangulares podem ser resolvidos com complexidade O(n 2 ) A vantagem da Decomposição LU é que a matriz A somente precisa ser decomposta uma vez para resolver diversos sistemas na forma Ax = b 1 Ax = b 2.

21 Decomposição LU Exemplo Exemplo 1 Decomponha a matriz de coeficientes que segue em matrizes L e U usando a Eliminação de Gauss A = Solução: L = e U =

24 Decomposição LU Exemplo Exemplo 2 Resolva o sistema linear que segue utilizando a Decomposição LU e calcule o determinante da matriz de coeficientes utilizando a decomposição x 1 x 2 = x Solução: L = 2 1 0, U = 0 1 0, x = det(a) = u 11 u 22 u 33 = 2 e

27 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento

28 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Assim como na Eliminação de Gauss, alguns problemas podem ser evitados ao utilizar estratégias de pivotamento na Decomposição LU A estratégia de pivotamento parcial será vista aqui O vetor de constantes b não participa do processo de decomposição As trocas das linhas devem ser aplicadas a ele quando o sistema triangular estiver sendo resolvido Matriz de permutação Vetor de trocas mais adequado computacionalmente

29 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Definição (Matriz de Permutação): Uma matriz P quadrada de ordem n é uma matriz de permutação se pode ser obtida permutando as colunas (ou linhas) da matriz identidade I de ordem n. Seja P uma matriz de permutação e A uma matriz quadrada de ordem n, então PA é a matriz A com as linhas permutadas AP é a matriz A com as colunas permutadas

30 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Definição (Matriz de Permutação): Uma matriz P quadrada de ordem n é uma matriz de permutação se pode ser obtida permutando as colunas (ou linhas) da matriz identidade I de ordem n. Seja P uma matriz de permutação e A uma matriz quadrada de ordem n, então PA é a matriz A com as linhas permutadas AP é a matriz A com as colunas permutadas

31 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Por exemplo, sejam P = na coluna 2 1 na coluna 3 1 na coluna e A = então PA = = linha 2 de A linha 3 de A linha 1 de A

32 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Por exemplo, sejam P = na coluna 2 1 na coluna 3 1 na coluna e A = então PA = = linha 2 de A linha 3 de A linha 1 de A

33 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Parcial Seja A = PA = LU então LUx = PAx = Pb Logo, o sistema é resolvido definindo Ux = y e resolvendo Ly = Pb resolvendo Ux = y Nota-se que det(a ) = det(lu) = det(u)

37 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Parcial Na prática (implementação) a matriz de permutação P de ordem n é representada por um vetor p de ordem n de valores inteiros p[k] representa o índice da coluna de P que tem o elemento da k-ésima linha igual a 1 p representa as trocas de linhas da matriz A Por exemplo, P = na coluna 2 1 na coluna 3 1 na coluna 1 2 p = 3 1

38 Decomposição LU com Pivotamento Decomposição LU com Pivotamento Parcial Na prática (implementação) a matriz de permutação P de ordem n é representada por um vetor p de ordem n de valores inteiros p[k] representa o índice da coluna de P que tem o elemento da k-ésima linha igual a 1 p representa as trocas de linhas da matriz A Por exemplo, P = na coluna 2 1 na coluna 3 1 na coluna 1 2 p = 3 1

39 Decomposição LU com Pivotamento Exemplo Exemplo 3 Resolva o sistema linear que segue utilizando a Decomposição LU com Pivotamento Parcial x 1 x 2 = x Solução: L = 3/4 1 0, U = /4 e x = 1 1/4 1/ /8 2

42 Revisão Revisão

43 Revisão Revisão Decomposição LU A matriz de coeficientes é decomposta em L e U L é uma matriz triangular inferior com elementos da diagonal principal unitários U é uma matriz triangular superior Substituindo A por LU então a solução pode ser obtida resolvendo dois sistemas triangulares Ly = b Ux = y A decomposição não envolve o vetor b Decomposição LU com Pivotamento Parcial Vetor com as permutações das linhas

44 Revisão Revisão Decomposição LU com Pivotamento Parcial Vetor com as permutações das linhas

45 Revisão Dúvidas?