Introdução aos Métodos Numéricos
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- Edson Mendes
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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho
2 Conteúdo temático Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos
3 Conteúdo específico Retorno ao Método dos Resíduos Inversão de matrizes usando resolução de SEL
4 Aqui abordaremos resolver um sistema A x = b supondo ser possível fazer a seguinte fatoração A=LU onde L e U são
5 Matrizes L e U l l3 l 3 L= l 4 l 4 l 43 l n, l n, l n,3 l n,4 l n, l n, l n,3 l n,4 ( l n,n u u u3 u u 3 u 33 U= ) ( u4 u4 u34 u44 u, n u, n u, n u, n u3, n u3, n u 4, n u4, n u n, n u n, n un, n ) pode ser demonstrado que se A tem det(a) então tal fatoração sempre é possível, embora permutações de linhas possam ser necessárias
6 Um dos que primeiro estudaram as questões numéricas da fatoração LU foi Alan Turing, considerado um dos pais da computação. Ele apresenta a fatoração LU num artigo de 948 onde são analizados os erros gerados no processo de eliminação gaussiana.
7 Fatoração ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 an, a n, an, a n, a3 a 4 a3 a 4 a33 a 34 a43 a 44 an,3 an,4 an,3 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n = l 4 l 4 l 43 a4, n a4, n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n ) Você consegue achar a fatoração aplicando o que você sabe sobre multiplicação de matrizes.
8 Fatoração ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 an, a n, an, a n, a3 a 4 a3 a 4 a33 a 34 a43 a 44 an,3 an,4 an,3 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n = l 4 l 4 l 43 a4, n a4, n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n ) Se você multiplicar a primeira linha de L por cada coluna de U você obterá a=u ; a =u ; a 3=u 3 ;; a n=u n
9 Fatoração ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 an, a n, an, a n, a3 a 4 a3 a 4 a33 a 34 a43 a 44 an,3 an,4 an,3 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n = l 4 l 4 l 43 a4, n a4, n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n ) Se agora, sabendo a primeira linha de U, multiplicar as linhas de L pela primeira coluna de U você obterá a =l u ; a 3 =l 3 u ; a 4=l 4 u ;; a n =l n u
10 Obtemos ai u j =a j ; j=, n e l i = ; i=, n u
11 Fatoração ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 an, a n, an, a n, a3 a 4 a3 a 4 a33 a 34 a43 a 44 an,3 an,4 an,3 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n = l 4 l 4 l 43 a4, n a4, n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n Multipliquemos a segunda linha de L pelas colunas de U a=l u +u ; a 3 =l u3 +u 3 ; a 4 =l u 4 +u 4 ;; a n =l u n +u n )
12 Obtemos u j =a j u j l ; j=, n
13 Obtemos u j =a j u j l ; j=, n Observe que neste cálculo não usamos os valores da primeira linha de A. É como se eles não mais existissem.
14 Fatoração ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 an, a n, an, a n, a3 a 4 a3 a 4 a33 a 34 a43 a 44 an,3 an,4 an,3 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n = l 4 l 4 l 43 a4, n a4, n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n Multipliquemos linhas de L pela segunda coluna de U a3=l 3 u +l 3 u ; a 4=l 4 u +l 4 u ;; an =l n u +l n u )
15 Obtemos ai l i u l i = ; i=3, n u
16 Obtemos ai l i u l i = ; i=3, n u Aqui não usamos os valores da primeira linha de A nem da primeira coluna de A. Eles não são mais necessários.
17 Fatoração ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 an, a n, an, a n, a3 a 4 a3 a 4 a33 a 34 a43 a 44 an,3 an,4 an,3 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n = l 4 l 4 l 43 a4, n a4, n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n ) Multipliquemos a terceira linha de L pelas colunas de U a33 =l3 u 3 +l 3 u3 +u 33 ; a 34 =l 3 u 4 +l 3 u 4 +u 34 ;; a3 n=l 3 u n +l 3 u n +u 3 n
18 Obtemos u 3 j =a 3 j l 3 u j l 3 u j =a3 j l 3 k u kj ; j=3, n k =
19 Obtemos u 3 j =a 3 j l 3 u j l 3 u j =a3 j l 3 k u kj ; j=3, n k = E aqui não necessitamos das duas primeiras linhas de A nem das duas primeiras colunas.
20 Fatoração ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 an, a n, an, a n, a3 a 4 a3 a 4 a33 a 34 a43 a 44 an,3 an,4 an,3 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n = l 4 l 4 l 43 a4, n a4, n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n, l n, l n,3 l n,4 a n,n an,n l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n Multipliquemos linhas de L pela terceira coluna de U a 43=l 4 u 3 +l 4 u 3 +l 43 u33 ;; a n 3=l n u 3 +l n u 3 +l n 3 u 33 )
21 Obtemos [ ] ai3 l i u 3 l i u 3 l i3 = = ai 3 l ik u k 3 ; i=4, n u 33 u 33 k = Novamente não faremos referência as duas primeiras linhas de A e as duas primeiras colunas.
22 O algoritmo está começando a ficar nítido...
23 O algoritmo está começando a ficar nítido... u j =a j ; j=, n e para i= até n l ij = [ j ] aij l ik u kj ; i> j u jj k= i uij =a ij l ik u kj ; j> k =
24 Pensando como computeiro... Pense bem... Nós humanos necessitamos se organizar um pouco no mundo. Mas os computadores já nascem ordenados.
25 Pensando como computeiro... Pense bem... Nós humanos necessitamos se organizar um pouco no mundo. Mas os computadores já nascem ordenados. Eles não necessitam organizar a fatoração em duas matrizes separadas pois o algoritmo não confunde os dados, a não ser que o programador falhe.
26 Pensando como computeiro... Observe que não necessitamos de guardar no computador a fatoração em duas matrizes separadas ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 a3 a3 a33 a43 an, a n, an,3 an, a n, an,3 a 4 a 4 a 34 a 44 an,4 an,4 a,n a nn l a,n a,n l 3 l 3 a3,n a3,n l 4 l 43 a4, n a4, n = l 4 l l l l a n,n an,n n, n, n,3 n,4 l l l l n,4 a n,n an,n n, n, n,3 l n,n u u u 3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 u,n u, n u,n u, n u 3,n u3, n u 4,n u4, n un, n u n,n u n,n O algoritmo que se segue aproveita o espaço que não armazena mais valores necessários à fatoração )
27 Algoritmo: Para i= até n Para j até i s aij Para k=, j s s aik akj aij s / a jj Para j até n s aij Para k= até i s s aik akj a ij s Também é uma algoritmo ingênuo: Se um pivô se tornar nulo, o algoritmo dará divisão por zero
28 Mas e a resolução do sistema? Observe que A x = b ( LU ) x = b L y = b onde U x = y o que nos deixa com dois SEL L y = b U x = y
29 Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n) E quanto custa a fatoração?
30 Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n) E quanto custa a fatoração? O(n3)!
31 Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n) E quanto custa a fatoração? O(n3)! O custo computacional total da resolução do SEL é o mesmo que a eliminação gaussiana
32 Mas os sistemas são triangulares e de custo baixo O(n) E quanto custa a fatoração? O(n3)! O custo computacional total da resolução do SEL é o mesmo que a eliminação gaussiana Então, para que isto?
33 Antes de responder vamos para um exemplo
34 Seja o sistema ( x = )
35 Seja o sistema ( x = que é conhecido nosso... )
36 Fatoremos a matriz ( l = 3 3 l 3 l l 4 l 4 l 43 u u u3 u u 3 u 33 u 4 u 4 u 34 u 44 ) multiplicando os valores das matrizes. Primeira linha de L pelas colunas de U u =a = ; u=a =4 ; u3 =a 4 = ; u 4 =a 4 =
37 ( l = 3 3 l 3 l l 4 l 4 l 43 4 u u 3 u 4 u 33 u 34 u 44 ) multiplicando as linhas de L pela primeira coluna de U. Os valores da segunda coluna da matriz L serão 4=l ; 6=l 3 ; =l 4 l = ;l 3=3; l 4=
38 ( = 3 l l 4 l 43 4 u u 3 u 4 u 33 u 34 u 44 ) multiplicando a segunda linha de L pelas colunas de U. Os valores da segunda linha da matriz U serão = 4+u ; 6=( ) ( )+u 3 ;= +u4 u =9 ;u 3=4 ; u4 =4
39 ( = 3 l l 4 l u 33 u 34 u 44 ) multiplicando as linhas de L pela segunda coluna de U. Os valores da segunda coluna da matriz L serão 3= l3 ; 6= 4+ 9l 4 l3= ; l 4=/9
40 ( = /9 l u33 u34 u 44 ) Multiplicando a terceira linha de L pelas colunas de U. Os valores da terceira linha da matriz U serão 3=3 ( ) 4+u33 ; =3 4+u34 u33 = ;u 34 =
41 ( = /9 l u 44 ) Multiplicando as linhas de L pela terceira coluna de U. Os valores da terceira coluna da matriz L serão = +/ 9 4+l 43 l 43=9/ 9
42 ( = /9 9/ u 44 Multiplicando a quarta linha de L pelas colunas de U. Os valores da quarta linha da matriz U serão 4= +/ 9 4+9/ 9 +u44 u44 =76/ 45 )
43 Matriz fatorada ( = /9 9/ / 45 ) Observe a matriz final da eliminação gaussiana: ela é idêntica à matriz U obtida. Se você olhar os valores dos m's da eliminação gaussiana, irá encontrá-los com os sinais trocados na matriz L.
44 Matriz fatorada ( = /9 9/ / 45 ) Observe a matriz final da eliminação gaussiana: ela é idêntica à matriz U obtida. Se você olhar os valores dos m's da eliminação gaussiana, irá encontrá-los com os sinais trocados na matriz L. Não é coincidência...
45 Observe ainda que resolvemos 6 equações de uma variável Fatorar uma matriz nxn é equivalente a resolver n equações de uma variável
46 Resolvendo o sistema ( x = )
47 Resolvendo o sistema ( = /9 9/ / 45 )
48 Na fatoração LU o sistema original é transformado em dois sistemas A x = b LU x = b L y = b e U x = y ou seja, resolveremos primeiro ( 3 /9 9/9 4 y = 9 )
49 Calculemos cada valor do vetor y como abaixo ( 3 /9 9/9 4 y = 9 ) y =4 ; y + y =9 4+ y =9 y =7 3 y y + y 3 = y 3= y 3=4 y +/9 y +9/9 y 3 + y 4 = 4+/ 9 7+9/9 4+ y 4 = y 4 =5/ 45
50 O vetor solução da primeira equação será 4 y = 7 4 5/45 ( ) que é o vetor constante no final da eliminação gaussiana.
51 O segundo sistema U x = y será ( x = /45 5/ 45 ) que é equivalente a fazer a retrosubstituição na eliminação gaussiana. Ou seja,
52 O segundo sistema U x = y será ( x = /45 5/ x 4= = ) 4 4 x 3 + x 4 =4 x3 + =4 x3 = = 9 9 x + 4 x x 4 =7 9 x =7 4 4 x = = 9 x + 4 x x 3 + x 4 =4 x =4 4 + x = =
53 O vetor solução do problema será () x = Observe que resolvemos 8 equações de uma variável para obtermos a solução. Se fosse um sistema nxn seriam n equações de uma variável
54 Vimos que resolver por fatoração LU é equivalente a resolver n+n sistemas de equações de uma variável
55 Vimos que resolver por fatoração LU é equivalente a resolver n+n sistemas de equações de uma variável Vimos que há uma equivalência entre a resolução por fatoração LU e eliminação gaussiana
56 Vimos que resolver por fatoração LU é equivalente a resolver n+n sistemas de equações de uma variável Vimos que há uma equivalência entre a resolução por fatoração LU e eliminação gaussiana No entanto, a fatoração LU é um pouco menos sensível à instabilidade numérica em relação à eliminação gaussiana.
57 Vimos que resolver por fatoração LU é equivalente a resolver n+n sistemas de equações de uma variável Vimos que há uma equivalência entre a resolução por fatoração LU e eliminação gaussiana No entanto, a fatoração LU é um pouco menos sensível à instabilidade numérica em relação à eliminação gaussiana. Além disso, a fatoração LU diminui o custo computacional de alguns problemas.
58 Retornemos um pouco...
59 Método dos Resíduos No método dos resíduos temos que resolver uma sequência de k SEL A z =r ; A z =r ; A z 3 =r 3 ; A z k = r k Se fizermos eliminação gaussiana em todos os sistemas o custo será alto. No caso, aproximadamente n3 k.
60 Método dos Resíduos No entanto, se fizermos por fatoração LU, o primeiro sistema terá custo O(n3) mas os demais sistemas o custo será de aproximadamente n k. O custo total será bem menor...
61 Um Exemplo Um outro problema: Inversão de matrizes Se det(a) é não nulo, então se AB=I diremos que B é a matriz inversa de A.
62 Um Exemplo Um outro problema: Inversão de matrizes Se det(a) é não nulo, então se AB=I diremos que B é a matriz inversa de A. Observe que este é um sistema de equações cuja a incógnita não é um vetor mas uma matriz
63 Um Exemplo Vamos ao velho truque: Resolveremos este problema por multiplicação de matrizes...
64 Um Exemplo O sistema abaixo AB=I pode ser escrito como ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 a3 a3 a33 a43 an, a n, an,3 an, a n, an,3 a 4 a 4 a 34 a 44 an,4 an,4 a,n a nn b b b 3 b4 a,n a,n b b b 3 b4 a3,n a3,n b3 b3 b 33 b34 a4, n a4, n b4 b 4 b 43 b 44 a n,n an,n bn, b n, bn,3 b n,4 a n,n an,n bn, b n, bn,3 b n,4 b, n b n b,n b n b 3,n b3 n = b 4,n b4, n b n,n b n,n b n,n l nn )
65 Um Exemplo ( a a a3 a4 a a a 3 a 4 a3 a3 a33 a43 an, a n, an,3 an, a n, an,3 a 4 a 4 a 34 a 44 an,4 an,4 a,n a nn b b b 3 b4 a,n a,n b b b 3 b4 a3,n a3,n b3 b3 b 33 b34 a4, n a4, n b4 b 4 b 43 b 44 a n,n an,n bn, b n, bn,3 b n,4 a n,n an,n bn, b n, bn,3 b n,4 b, n b n b,n b n b 3,n b3 n = b 4,n b4, n b n,n b n,n b n,n l nn ) Mas este sistema pode ser entendido como a matriz A multiplicada por cada coluna de B resultando em cada coluna de I
66 Um Exemplo Ou seja, A b = I A b = I A b 3 = I 3 A b n = I n onde b k e I k são as k-ésimas colunas de B e I.
67 Um Exemplo Inverter uma matriz corresponde a resolvermos n sistemas de equações lineares
68 Um Exemplo Inverter uma matriz corresponde a resolvermos n sistemas de equações lineares O números de operações necessárias para inverter uma matriz usando fatoração LU é de aproximadamente 4n3 /3, quatro vezes mais que a eliminação gaussiana ou a fatoração LU.
69 Um Exemplo Inverter uma matriz corresponde a resolvermos n sistemas de equações lineares O números de operações necessárias para inverter uma matriz usando fatoração LU é de aproximadamente 4n3 /3, quatro vezes mais que a eliminação gaussiana ou a fatoração LU. O algoritmo de Gauss-Jordan para inversão de matrizes faz isto de maneira compacta e com o mesmo custo
70 Um Exemplo Ou seja, em geral não é uma boa ideia resolver um sistema invertendo a matriz associada ao sistema pois o custo é quatro vezes maior que por eliminação ou fatoração LU.
71 Um Exemplo Ou seja, em geral não é uma boa ideia resolver um sistema invertendo a matriz associada ao sistema pois o custo é quatro vezes maior que por eliminação ou fatoração LU. O maior número de operações também gerará mais ruído numérico.
72 Um Exemplo Ou seja, em geral não é uma boa ideia resolver um sistema invertendo a matriz associada ao sistema pois o custo é quatro vezes maior que por eliminação ou fatoração LU. O maior número de operações também gerará mais ruído numérico. Mesmo assim, há casos especiais nos quais pode ser interessante inverter a matriz para resolver o sistema.
73 Sistemas de equações lineares Mas continuamos com a instabilidade numérica da eliminação gaussiana e da fatoração LU Há como evitar?
74 Sistemas de equações lineares Mas continuamos com a instabilidade numérica da eliminação gaussiana e da fatoração LU Há como evitar? Não...
75 Sistemas de equações lineares Mas continuamos com a instabilidade numérica da eliminação gaussiana e da fatoração LU Há como evitar? Não... Mas podemos diminuir o desastre usando, por exemplo, o Pivotamento
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