Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo temático Interpolação

3 Conteúdo específico Fórmula de Lagrange Método de Newton-Gregory Custo computacional

4 Fórmula de Lagrange Fórmula de Lagrange Se não necessitamos do polinômio na forma canônica podemos usar a fórmula de Lagrange n p n ( x)=l0 ( x) y 0 + L1 ( x) y1 + L2 ( x) y Ln ( x) y n= Li ( x) y i i= 0 Parece simples... Mas...

5 Fórmula de Lagrange Se não necessitamos do polinômio na forma canônica podemos usar a fórmula de Lagrange n p n ( x)=l0 ( x) y 0 + L1 ( x) y1 + L2 ( x) y Ln ( x) y n= Li ( x) y i i=0 Parece simples... Mas... ( x x 0 )( x x 1 )( x x2 ) ( x x i 1 )( x x i+1 ) (x x n ) Li ( x)= ( xi x 0 )( xi x1 )( x i x2 ) ( xi xi 1 )( xi xi+ 1 ) ( x i x n )

6 Fórmula de Lagrange Mas é simples mesmo! Para facilitar o entendimento... L 0 ( x)= (x x1 )(x x 2 ) ( x x n 1 )(x x n ) ( x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) ( x 0 x n 1 )(x 0 x n ) L 2 (x )= L 1 (x )= ( x x 0 )(x x 2 ) ( x x n 1 )( x x n ) ( x1 x 0 )( x 1 x 2 ) ( x 1 xn 1 )( x 1 x n ) ( x x 0 )( x x 1 ) (x x n 1 )( x x n ) ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 ) ( x 2 x n 1 )( x1 x n ) (x x 0 )( x x 1 )(x x 2 ) (x x n 1 ) L n ( x)= ( x n x 0 )( x n x 1 )(x n x 2 ) ( x n x n 1 )

7 Fórmula de Lagrange Não confunda simples com fácil e fácil não é o oposto de trabalhoso

8 Fórmula de Lagrange Um exemplo x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2 Já sabemos que teremos um polinômio de grau 2 Escrevamos o caso geral para este grau

9 Fórmula de Lagrange Um exemplo L 0 ( x)= ( x x 1 )(x x 2 ) (x x 0 )( x x 2 ) ( x x 0 )( x x 1 ) ; L1 ( x)= ; L2 ( x )= ( x 0 x 1 )(x 0 x 2 ) (x 1 x 0 )( x1 x 2 ) (x 2 x 0 )( x 2 x 1 ) p2 ( x )=L0 ( x ) y 0 + L1 ( x ) y 1 + L2 ( x ) y 2 Vamos substituir os valores da tabela

10 Fórmula de Lagrange Um exemplo L 0 ( x)= ( x π/2)( x π / 4) ( x 0)(x π / 4) (x 0)( x π / 2) ; L1 ( x)= ; L 2 (x )= (0 π/ 4)(0 π / 2) (π /2 0)(π/ 2 π / 4) (π / 4 0)(π /4 π /2) p2 ( x )=L0 ( x )0+ L1 ( x ) 1+ L2 ( x) ou 2 2

11 Fórmula de Lagrange Um exemplo L0 ( x)= logo ( x π/ 2)( x π /4); L (x )= (x 0)( x π /4); L (x)= ( x 0)( x π / 2) π π π

12 Fórmula de Lagrange Um exemplo L0 ( x)= ( x π/ 2)( x π /4); L (x )= (x 0)( x π /4); L (x)= ( x 0)( x π / 2) π π π logo p2 ( x )= = 8 [ x ( x π / 4) x ( x π /2) 2 ] x ( x π / 4) x ( x π / 2) π2 π π

13 Fórmula de Lagrange Calculemos pela fórmula x = π/6 e x = π/3 p2 ( x )= 8 x ( x π /4) x ( x π /2) 2 ] 2[ π

14 Fórmula de Lagrange Calculemos pela fórmula x = π/6 e x = π/3 p2 ( x )= 8 x ( x π /4) x ( x π /2) 2 ] 2[ π [ ( ) ( ) ] ] [ ( ) ( ) ] p 2 (π / 6)= [ π/6(π / 6 π / 4) π/6(π / 6 π / 2) 2 ] = π p 2 (π /3)= π /3(π/3 π /4) π / 3(π/ 3 π / 2) 2 8 [ π 2 = 0, = 0,850761

15 Fórmula de Lagrange Calculemos pela fórmula x = π/6 e x = π/3 p2 ( x )= 8 x ( x π /4) x ( x π /2) 2 ] 2[ π [ ( ) ( ) ] ] [ ( ) ( ) ] p 2 (π / 6)= [ π/6(π / 6 π / 4) π/6(π / 6 π / 2) 2 ] = π p 2 (π /3)= π /3(π/3 π /4) π / 3(π/ 3 π / 2) 2 8 [ π 2 = 0, = 0, Obviamente com os mesmos resultados que os obtidos anteriormente

16 Fórmula de Lagrange Observação importante: deixe a expressão deste polinômio neste formato. É trabalho inútil e sujeito a erros tentar desenvolver o polinômio até ficar na forma canônica.

17 Fórmula de Lagrange Observação importante: deixe a expressão deste polinômio neste formato. É trabalho inútil e sujeito a erros tentar desenvolver o polinômio até ficar na forma canônica. Principalmente com o estresse que surge durante a prova.

18 Fórmula de Lagrange Também não precisamos calcular o polinômio como fizemos Podemos substituir os valores dos pontos ( x i, y i ) mais o valor do ponto no qual queremos calcular o polinômio

19 Fórmula de Lagrange A Fórmula de Lagrange pode ser obtida teoricamente usando a regra de Cramer

20 Fórmula de Lagrange Qual a vantagem desta fórmula?

21 Fórmula de Lagrange Qual a vantagem desta fórmula? Não resolvemos um sistema

22 Fórmula de Lagrange Qual a vantagem desta fórmula? Não resolvemos um sistema Qual o problema?

23 Fórmula de Lagrange Qual a vantagem desta fórmula? Não resolvemos um sistema Qual o problema? O cálculo do polinômio não é tão simples e barato como no caso anterior

24 Fórmula de Lagrange Qual o custo computacional de calcular um ponto? É fácil: observe que temos (n+1) Li(x) e em cada um fazemos n multiplicações, 2(n-1) somas e uma divisão Temos um algoritmo O(n2)

25 Interpolação Quais são os problemas dos dois algoritmos que conhecemos até agora? Vários, mas estudaremos um: Não há um procedimento simples se quisermos adicionar mais pontos

26 Fórmula de Newton-Gregory Construamos o método Comecemos com um ponto (x 0, y 0 )

27 Um ponto ( x 0, y 0 ) Qual o polinômio que passa por este ponto? p0(x0) = y0 É interpolador somente para este ponto Mesmo assim, queremos preservar esta informação

28 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Qual o polinômio que passaria por estes pontos? Sugestão: p 1 ( x)= p 0 ( x)+ A ( x x 0 )

29 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Qual o polinômio que passaria por estes pontos? Sugestão: p 1 ( x)= p 0 ( x)+ A ( x x 0 ) Preserva a informação obtida anteriormente e permite adequarmos este polinômio à interpolar o outro ponto

30 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Ele passa pelo primeiro ponto, obriguemos que passe pelo outro p 1 (x 1 )= p 0 (x1 )+ A ( x1 x 0 )= y1

31 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Ele passa pelo primeiro ponto, obriguemos que passe pelo outro y1 y 0 p 1 ( x 1 )= p 0 ( x1 )+ A ( x1 x 0 )= y1 y 0 + A ( x 1 x 0 )= y 1 A= x1 x 0

32 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Ele passa pelo primeiro ponto, obriguemos que passe pelo outro y1 y 0 p 1 ( x 1 )= p 0 ( x1 )+ A ( x1 x 0 )= y1 y 0 + A ( x 1 x 0 )= y 1 A= x1 x 0 Logo y 1 y 0 p 1 ( x)= p 0 ( x)+ ( x x 0 ) ; p 0 ( x)= y 0 x 1 x 0

33 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Observe que o polinômio obtido interpola estes dois pontos y 1 y 0 p 1 ( x)= p 0 ( x)+ ( x x 0 ) ; p 0 ( x)= y 0 x 1 x 0

34 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Observe que o polinômio obtido interpola estes dois pontos y 1 y 0 p 1 ( x)= p 0 ( x)+ ( x x 0 ) ; p 0 ( x)= y 0 x 1 x 0 Embora as coisas estejam indo bem, faremos uma simplificação

35 Antes de adicionar mais pontos, imporemos as seguintes restrições: Os pontos estarão ordenados em relação a x

36 Antes de adicionar mais pontos, imporemos as seguintes restrições: Os pontos estarão ordenados em relação a x Os pontos estarão igualmente espaçados, ou seja,

37 Antes de adicionar mais pontos, imporemos as seguintes restrições: Os pontos estarão ordenados em relação a x Os pontos estarão igualmente espaçados, ou seja, xi+1 x i=h; i

38 Dois pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ) Assim o polinômio obtido será escrito como y 1 y 0 p 1 ( x)= p 0 ( x)+ ( x x 0 ) ; p 0 ( x)= y 0 h

39 Três pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ),( x2, y 2 ) Preservando o que obtivemos, vamos experimentar o polinômio p 2 ( x)= p 1 ( x)+ B ( x x 0 )( x x 1 ) que funciona como interpolador dos dois primeiros pontos. Obriguemos que ele interpole o terceiro ponto.

40 Três pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ),( x2, y 2 ) p 2 ( x 2 )= p1 ( x 2 )+ B ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )= y 2 p0 ( x 2 )+ y1 y 0 ( x 2 x 0 )+ B (2 h)(h)= y 2 h

41 Três pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ),( x2, y 2 ) p 2 ( x 2 )= p1 ( x 2 )+ B ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )= y 2 p0 ( x 2 )+ y1 y0 y0+ 2 h+2 h 2 B= y 2 B= h y1 y 0 ( x 2 x 0 )+ B (2 h)(h)= y 2 h y 2 2 y 1 + y 0 2 h2

42 Três pontos (x 0, y 0 ),( x 1, y 1 ),( x2, y 2 ) p 2 ( x 2 )= p1 ( x 2 )+ B ( x 2 x 0 )( x 2 x 1 )= y 2 p0 ( x 2 )+ Então y1 y0 y0+ 2 h+2 h 2 B= y 2 B= h p 2 ( x)= p 1 ( x)+ y 2 2 y 1 + y 0 2h 2 y1 y 0 ( x 2 x 0 )+ B (2 h)(h)= y 2 h y 2 2 y 1 + y 0 2 h2 ( x x 0 )( x x 1 )

43 Quatro pontos ( x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),( x2, y 2 ),( x 3, y 3 ) Já parece natural experimentar o polinômio p 3 ( x)= p 2 ( x)+c ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 ) que funciona como interpolador dos três primeiros pontos. Obriguemos que ele interpole o quarto ponto.

44 Quatro pontos ( x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),( x2, y 2 ),( x 3, y 3 ) p3 ( x 3 )= p2 ( x 3 )+C ( x 3 x 0 )( x 3 x 1 )( x 3 x 2 )= y 3 y 2 y 1 + y 0 p1 ( x 3 )+ 2 ( x 3 x 0 )( x 3 x 1 )+C (3 h)(2 h)(h)= y 3 2 2h y 1 y 0 y 2 2 y 1 + y p 0 ( x 3 )+ ( x 3 x 0 )+ 6 h +C 6 h = y3 2 h 2h y 3 3 y 2 +3 y 1 y 0 3 y 0 +3( y 1 y 0 )+3( y 2 2 y 1 + y 0 )+6 Ch = y 3 C= 6 h3 logo

45 Quatro pontos ( x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),( x2, y 2 ),( x 3, y 3 ) p 3 ( x)= p2 ( x)+ y 3 3 y 2 +3 y 1 y 0 6h 3 que interpola os pontos dados ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 )

46 Observe que temos padrões surgindo p0 ( x)= y 0 y1 y 0 p1 ( x )= p0 ( x )+ ( x x 0 ) h y 2 2 y 1 + y 0 p2 ( x )= p1 ( x)+ ( x x 0 )( x x 1 ) 2 2h p3 ( x)= p2 ( x)+ y 3 3 y 2 +3 y 1 y 0 6h 3 ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 )

47 Fórmula de Newton-Gregory Temos algo como p0 ( x)= y 0 pi ( x )= pi 1 ( x)+? ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 ) ( x x i 1 ) i i! h O? é algo que parece exigir mais análise

48 Operador de diferenças progressivas Vamos definir o operador Δ f ( x)=f ( x+δ x) f ( x) que é linear. Assim, observe que 2 Δ f ( x)=δ Δ f ( x)=δ [ f ( x+δ x) f ( x) ] =Δ f ( x+δ x) Δ f ( x)

49 Operador de diferenças progressivas Vamos definir o operador Δ f ( x)=f ( x+δ x) f ( x) que é linear. Assim, observe que 2 Δ f ( x)=δ Δ f ( x)=δ [ f ( x+δ x) f ( x) ] =Δ f ( x+δ x) Δ f ( x) 2 Δ f ( x)=f ( x +δ x+δ x) f ( x+δ x) [ f ( x+δ x) f ( x) ]

50 Operador de diferenças progressivas Vamos definir o operador Δ f ( x)=f ( x+δ x) f ( x) que é linear. Assim, observe que 2 Δ f ( x)=δ Δ f ( x)=δ [ f ( x+δ x) f ( x) ] =Δ f ( x+δ x) Δ f ( x) 2 Δ f ( x)=f ( x +δ x+δ x) f ( x+δ x) [ f ( x+δ x) f ( x) ] 2 Δ f (x)=f ( x +2 δ x) 2 f ( x +δ x)+f (x)

51 Operador de diferenças progressivas Da mesma forma, podemos escrever Δ 3 f ( x)=δ Δ 2 f ( X )=Δ [ f ( x +2 δ x ) 2 f ( x +δ x )+ f ( x ) ] 3 Δ f ( x )=Δ f ( x +2 δ x) 2 Δ f ( x+ δ x)+δ f ( x ) 3 Δ f ( x)=f ( x +3 δ x ) f ( x +2 δ x ) 2 [ f ( x +2 δ x) f ( x +δ x) ] + f ( x +δ x ) f ( x)

52 Operador de diferenças progressivas Da mesma forma, podemos escrever Δ 3 f ( x)=δ Δ 2 f ( X )=Δ [ f ( x +2 δ x ) 2 f ( x +δ x )+ f ( x ) ] 3 Δ f ( x )=Δ f ( x +2 δ x) 2 Δ f ( x+ δ x)+δ f ( x ) 3 Δ f ( x)=f ( x +3 δ x ) f ( x +2 δ x ) 2 [ f ( x +2 δ x) f ( x +δ x) ] + f ( x +δ x ) f ( x) Então Δ 3 f ( x)=f ( x +3 δ x ) 3 f ( x +2 δ x)+3 f ( x +δ x) f ( x )

53 Operador de diferenças progressivas Observe que podemos continuar a calcular as aplicações múltiplas do operador de diferenças progressivas o quanto quisermos. No entanto, pararemos por aqui pois já dá para perceber o que queremos

54 Operador de diferenças progressivas Vamos substituir x x 0 ; δ x h nas expressões encontradas Δ f ( x0 )=f ( x 0 +h) f ( x 0 )=f ( x 1 ) f ( x 0 )= y 1 y 0

55 Operador de diferenças progressivas Vamos substituir x x 0 ; δ x h nas expressões encontradas Δ f ( x0 )=f ( x 0 +h) f ( x 0 )=f ( x 1 ) f ( x 0 )= y 1 y 0 2 Δ f ( x0 )=f ( x 0 +2 h) 2 f ( x 0 +h)+f ( x 0 )=f ( x 2 ) 2 f ( x 1 )+f ( x 0 )= y 2 2 y 1 + y 0

56 Operador de diferenças progressivas Vamos substituir x x 0 ; δ x h nas expressões encontradas Δ f ( x0 )=f ( x 0 +h) f ( x 0 )=f ( x 1 ) f ( x 0 )= y 1 y 0 2 Δ f ( x0 )=f ( x 0 +2 h) 2 f ( x 0 +h)+f ( x 0 )=f ( x 2 ) 2 f ( x 1 )+f ( x 0 )= y 2 2 y 1 + y 0 3 Δ f ( x 0 )=f ( x 0 +3 h) 3 f ( x 0 +2 h)+3 f ( x 0 +h) f ( x 0 )=f ( x 3 ) 3 f ( x 2 )+3 f ( x 1 )+f ( x 0 ) Δ 3 f ( x 0 )= y 3 3 y y 1 + y 0 onde usamos o fato de trabalharmos com um polinômio interpolador.

57 Observando o que obtemos p0 ( x)= y 0 y1 y 0 p1 ( x )= p0 ( x )+ ( x x 0 ) h y 2 2 y 1 + y 0 p2 ( x )= p1 ( x)+ ( x x 0 )( x x 1 ) 2 2h p3 ( x)= p2 ( x)+ y 3 3 y 2 +3 y 1 y 0 6h 3 ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 ) pi ( x )= pi 1 ( x)+? ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 ) ( x x i 1 ) i i! h

58 Operador de diferenças progressivas vemos que o fator? é exatamente dado pelos valores que encontramos aqui com as diferenças progressivas. Assim, poderemos escrever

59 Fórmula de Newton-Gregory p0 ( x)= y 0 i p i ( x )= pi 1 ( x)+ Δ f ( x0 ) i! h i ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 ) ( x x i 1 )

60 A fórmula parece simples mas o cálculo das diferenças parece um problema.

61 A fórmula parece simples mas o cálculo das diferenças parece um problema. De fato, não é...

62 Observe a tabela abaixo x y Δf(x) Δ2f(x) Δ3f(x) x0 y0 y1-y0 y2-2y1+y0 y3-3y2+3y1 -y0 x1 y1 y2-y1 y3-2y2+y1. x2 y2 y3-y2.. x3 y xn-2 yn-2 yn-1-yn-2 yn-2yn-1+yn-2 xn-1 yn-1 yn-yn-1 xn yn... Δnf(x).

63 Colocamos duas colunas em uma tabela contendo os valores de x e y Criamos uma nova coluna subtraindo os valores de y progressivamente. Obtemos a primeira diferença Criamos outra coluna subtraindo os valores da primeira diferença progressivamente. Obtemos a segunda diferença Continuamos sucessivamente até os valores se reduzirem à última diferença

64 Para ficar mais claro, façamos um exemplo

65 Experimentando... Três pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2

66 Experimentando... Três pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2 Podemos usar os pontos como estão?

67 Experimentando... Três pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2 Podemos usar os pontos como estão? Certamente não: os pontos são igualmente espaçados mas não estão ordenados

68 Ordenando: h = π/4 Tabela x y 0 0 π/4 2/2 π/2 1 Δf(x) Δ2f(x)

69 Ordenando: h = π/4 Tabela x y Δf(x) Δ2f(x) 0 0 2/2 1-2 π/4 2/2 1-2/2 π/2 1 Inicialmente temos p 0 ( x)= y 0=0

70 Ordenando: h = π/4 Tabela x y Δf(x) Δ2f(x) 0 0 2/2 1-2 π/4 2/2 1-2/2 π/2 1 Inicialmente temos p 0 ( x)= y 0=0 Daí obtemos Δ f ( x0 ) p1 ( x )= p0 ( x )+ ( x x 0 ) 1! h

71 Ordenando: h = π/4 Tabela x y Δf(x) Δ2f(x) 0 0 2/2 1-2 π/4 2/2 1-2/2 π/2 1 Inicialmente temos p 0 ( x)= y 0=0 Daí obtemos Δ f ( x0 ) 2/2 ( x 0)= p ( x )+ 2 2 x p1 ( x )= p0 ( x )+ ( x x 0 )= p 0 ( x)+ 0 π 1! h 1 π /4

72 Claramente é um polinômio que interpola os dois primeiros pontos Calculemos em x=π/6 2 2 p1 (π /6)= p 0 (π /6)+ π 2 π =0+ =0, idêntico aos cálculos anteriores, como era de se esperar. Adicionemos mais um ponto

73 h = π/4 Tabela x y Δf(x) Δ2f(x) 0 0 2/2 1-2 π/4 2/2 1-2/2 π/2 1 2 Já temos p 0 ( x)= y 0=0; p1 ( x)= p 0 ( x)+ π 2 x

74 h = π/4 Tabela Já temos E assim p2 ( x )= p1 ( x)+ x y Δf(x) Δ2f(x) 0 0 2/2 1-2 π/4 2/2 1-2/2 π/2 1 2 p 0 ( x)= y 0=0; p1 ( x)= p 0 ( x)+ π 2 x Δ 2 f ( x 0) 2! h 2 ( x x 0 )( x x 1 )= p1 ( x )+ p2 ( x )= p1 ( x)+ 1 2 ( x 0)( x π /4) 2 2 π /16 8 (1 2) x ( x π / 4) 2 π

75 É este polinômio que interpola os três pontos Calculemos em x=π/6 p2 (π /6)= p1 (π /6)+ 8 π(π π) (1 2) π2 Temos o resultado anterior para o polinômio do primeiro grau. Assim...

76 É este polinômio que interpola os três pontos Calculemos em x=π/6 p2 (π /6)= p1 (π /6)+ 8 π(π π) (1 2) π2 Temos o resultado anterior para o polinômio do primeiro grau. Assim, p (π / 6)= +8(1 2) ( )= =0,

77 É este polinômio que interpola os três pontos Calculemos em x=π/6 p2 (π /6)= p1 (π /6)+ 8 π(π π) (1 2) π2 Temos o resultado anterior para o polinômio do primeiro grau. Assim, p (π / 6)= +8(1 2) ( )= =0, novamente o resultado é idêntico aos anteriores.

78 O mesmo ocorrerá se calcularmos o polinômio em x=π/3 Mas e se queremos maior precisão?

79 Usando das simetrias do seno, podemos adicionar um ponto x y Δf(x) Δ2f(x) 0 0 2/2 1-2 π/4 2/2 1-2/2 π/2 1 3π/4 2/2 Δ3f(x)

80 Usando das simetrias do seno, podemos adicionar um ponto x y Δf(x) Δ2f(x) Δ3f(x) 0 0 2/ π/4 2/2 1-2/2 2-2 π/2 1 2/2-1 3π/4 2/2 e construirmos uma tabela ampliada! Vejamos o polinômio de terceiro grau

81 Usando das simetrias do seno, podemos adicionar um ponto x y Δf(x) Δ2f(x) Δ3f(x) 0 0 2/ π/4 2/2 1-2/2 2-2 π/2 1 2/2-1 3π/4 2/2 e construirmos uma tabela ampliada! Vejamos o polinômio de terceiro grau 3 p3 ( x)= p2 ( x)+ Δ f ( x0 ) 3! h3 ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 )= p2 ( x ) ( x 0)( x π/ 4)( x π/2) 3 6 π /64

82 Ou dando uma arrumada p3 ( x)= p2 ( x)+ 32 (2 2 3) x ( x π/ 4)( x π/2) 3 3π Calculando em x=π/6 p3 (π/6)= p2 (π/6)+ 32 π ( π π )( π π ) (2 2 3) π3

83 Ou dando uma arrumada p3 ( x)= p2 ( x)+ 32 (2 2 3) x ( x π/ 4)( x π/2) 3 3π Calculando em x=π/6 p3 (π/6)= p2 (π/6)+ 32 π ( π π )( π π ) (2 2 3) π p3 (π/6)= + (2 2 3) ( )( )= + (2 2 3) p3 (π/6)=0,508955

84 As vantagens desta fórmula se tornam evidentes: Adicionar um ponto novo é de custo baixo (O(n)) Podemos aproveitar todos os cálculos anteriores Não necessitamos resolver sistemas

85 E o custo total disto? Construir a tabela Fazemos n-1 subtrações na primeira coluna, n-2 na segunda, n-3 na terceira, etc. Ou seja, (n-1)(n)/2 subtrações que nos dá custo O(n2)

86 E o custo total disto? Cálculo de um valor do polinômio 2 Δ f ( x0 ) Δ f ( x0 ) p0 ( x)= y 0 ; p1 ( x)= p0 ( x)+ ( x x 0 ); p2 ( x)= p1 ( x)+ ( x x 0 )( x x 1 ) 2 h 2h 3 p3 ( x)= p2 ( x)+ Δ f ( x0 ) 6h 3 ( x x 0 )( x x 1 )( x x 2 ) Observe que essencialmente o número de operações para o cálculo dos pontos interpolados é quadrático

87 E o custo total disto? Construir a tabela custa O(n2) Cada cálculo do polinômio custa O(n2) Só é válida para pontos ordenados e igualmente espaçados