Introdução aos Métodos Numéricos

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1 Introdução aos Métodos Numéricos Instituto de Computação UFF Departamento de Ciência da Computação Otton Teixeira da Silveira Filho

2 Conteúdo Erros e Aproximações Numéricas Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos Interpolação Ajuste de Curvas Zeros de Função Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos Integração Numérica Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias

3 Conteúdo Interpolação

4 Interpolação Temos um conjunto de n+1 pontos distintos (x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),( x 2, y 2 ),(x 3, y 3 ),,(x n, y n ) que são oriundos de uma função f(x). Como fazemos se queremos calcular a função num ponto w diferente dos demais?

5 Interpolação Este problema se torna interessante quando a função f(x) em questão é de custo computacional muito alto no seu cálculo direto, de forma que podemos ter a resolução de problemas inviabilizadas por este custo. O cálculo alternativo deverá ser de custo computacional mais baixo que o custo de cálculo direto da função. A precisão deverá ser compatível com nossas necessidades

6 Interpolação Podemos pensar na seguinte linha: Encontrarmos uma função que agregue os pontos e algumas das propriedades da função original, f(x) Chamaremos esta nova função de F(x) Mas qual a cara desta função? Como escolher uma função suficientemente flexível e simples?

7 Interpolação No mínimo a função F(x) deve ser igual à função f(x) no pontos que temos, ou seja, F( x i )=f (x i );i=1,,n

8 Interpolação Faremos a proposta m F( x)=a 0 f 0 (x)+a 1 f 1 (x)+a 2 f 2 (x)+ +a m f m ( x)= j=0 a j f j (x) ou seja, F(x) é uma combinação linear de funções, a priori, quaisquer. Exijamos que ela seja idêntica nos valores que temos de f(x)

9 Interpolação Isto nos leva a F( x 0 )=a 0 f 0 (x 0 )+a 1 f 1 (x 0 )+a 2 f 2 (x 0 )+ +a m f m ( x 0 )= y 0 F( x 1 )=a 0 f 0 ( x 1 )+a 1 f 1 ( x 1 )+a 2 f 2 (x 1 )+ +a m f m (x 1 )= y 1 F (x 2 )=a 0 f 0 (x 2 )+a 1 f 1 (x 2 )+a 2 f 2 (x 2 )+ +a m f m (x 2 )= y 2 F( x n )=a 0 f 0 (x n )+a 1 f 1 (x n )+a 2 f 2 (x n )+ +a m f m ( x n )= y n Repare que você conhece isto. Façamos uma arrumação...

10 Interpolação ( f 0(x0) f 1(x0) f 2(x0) f 3(x0) f m(x0) f 0 (x 1 ) f 1 (x 1 ) f 2 (x 1 ) f 3 (x 1 ) f m (x 1 ) f 0 (x 2 ) f 1 (x 2 ) f 2 (x 2 ) f 3 (x 2 ) f m (x 2 ) f 0 (x 3 ) f 1 (x 3 ) f 2 (x 3 ) f 3 (x 3 ) f m (x 3 ) f 0 (x n ) f 1 (x n ) f 2 (x n ) f 3 (x n ) f m (x n )) ( )=( a0 y0 a 1 y 1 a 2 y 2 a 3 y 3 a m y n ) Matriz (n+1)x(m+1) Para termos solução e esta ser única é necessário que A matriz seja quadrada O determinante seja não nulo

11 Interpolação A matriz ser quadrada implica que o número de pontos (n+1) deverá ser igual ao número de funções (m+1) na combinação linear que constitui F(x) O determinante ser não nulo implica que: nenhuma linha é combinação linear das demais nenhuma coluna é combinação linear das demais

12 Interpolação nenhuma linha ser combinação linear das demais implica que não termos pontos duplicados nenhuma coluna ser combinação linear das demais implica que as funções f i (x) devem ser linearmente independentes. Ou seja, que não podemos representar uma delas como combinação linear das outras

13 Interpolação Garantidas estas condições, a resolução do sistema abaixo nos dará a solução para o nosso problema ( f 0(x0) f 1(x0) f 2(x0) f 3(x0) f n(x0) f 0 (x 1 ) f 1 (x 1 ) f 2 (x 1 ) f 3 (x 1 ) f n (x 1 )) ) f 0 (x 2 ) f 1 (x 2 ) f 2 (x 2 ) f 3 (x 2 ) f n (x 2 ) f 0 (x 3 ) f 1 (x 3 ) f 2 (x 3 ) f 3 (x 3 ) f n (x 3 ) f 0 (x n ) f 1 (x n ) f 2 (x n ) f 3 (x n ) f n (x n Existem boas escolhas para as funções. Mostraremos uma importante (mas não a melhor...) ( a0 a 1 a n)=( y0 y 1 2 y n) 2 a 3 y 3 a y

14 Interpolação Interpolação polinomial Nossa F(x) será f i ( x)=x i F( x)=a 0 x 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 + +a n x n =a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n = p n (x) e nossa matriz tomará a forma

15 Interpolação (1 2 x0 x0 2 1 x 1 x x 2 x x 3 x 3 x 0 3 x 1 3 x 2 3 x 3 3 x 0 n x 1 n x 2 n n) x n x n x n x n x 3 n ( a0 a 1 a n)=( y0 y 1 2 y n) 2 a 3 y 3 a y conhecida como matriz de Vandermonde e p n ( x)=a 0 +a 1 x+a 2 x 2 + +a n x n

16 Interpolação Observe que o resultado que obtemos pode ser resumido em: Dado (n+1) pontos distintos, por eles passamos um e um único polinômio de grau máximo n

17 Interpolação Os n+1 de pontos distintos (x 0, y 0 ),(x 1, y 1 ),( x 2, y 2 ),(x 3, y 3 ),,(x n, y n ) são chamados de pontos interpolantes e os valores calculados a partir da F(x), valores interpolados. Só serão valores interpolados aqueles que estiverem contidos dentro do intervalo que contém todos os pontos interpolantes

18 Interpolação Um exemplo simples Do círculo trigonométrico (r=1) obtemos que o seno de 0 é 0 e que o seno de π/2 é 1. Se o ângulo for π/4 teremos um quadrado de diagonal igual a 1 e o lado igual ao seno de π/4. Assim teremos diagonal= 2lado 1= 2lado lado= 2 2

19 Interpolação Um exemplo simples Ficamos assim com os pontos interpolantes x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2 Façamos uma série de experimentos numéricos

20 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 O sistema de equações será 2x2 pois temos dois pontos ( 1 x 0 ) 1 x 1 ( a 0 a 1 ) = ( y ) 0 y ( π/2 ) ( a 0 a 1 ) p 1 (x)=0+ 2 π x p 1 (x)= 2 π x = ( 0 1 ) a 0=0 ; a 1 =2/ π

21 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 Façamos uma experiência: qual o valor deste polinômio interpolador para x = π/6 e x = π/3? p 1 (x)= 2 π x p 1 (π/6)= 2 π π 6 = 1 3 =0, 33; p 1 (π/3)= 2 π π 3 =2 3 =0,66

22 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) p 1 (x) π/6 0,5 0,33... π/3 3/2 0, ,66... Bem ruim... mas...

23 Interpolação...mas também foi uma maldade com o método, afinal o que queríamos aproximando seno por uma reta?

24 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) 0 0 π/4 2/2 O sistema de equações será 2x2 pois temos dois pontos ( 1 x 0 ) 1 x 1 ( a 0 a 1 ) = ( y ) 0 y ( π/4 ) ( a 0 ) a = ( 1 0 ) 2/2 a 0=0; a 1 =4/ π 2 2 = 2 2 π p 1 (x)= π x p 1(x)= 2 2 π x

25 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) 0 0 π/4 2/2 Novamente calculemos o polinômio nos pontos x = π/6 e x = π/3 p 1 (x)= 2 2 π x p(π/6)= 2 2 π π 6 = 2 3 0, ; p(π/3)= 2 2 π π 3 = ,942809

26 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) p 1 (x) π/6 0,5 0, π/3 3/2 0, , Um ficou razoável mas o outro continua ruim, mas...

27 Interpolação...mas agora não foi maldade mas violência, afinal o método é de interpolação e o ponto x = π/3 está fora do intervalo de interpolação! Ou seja, o valor calculado é número sem significado para uma interpolação.

28 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) p 1 (x) π/6 0,5 0, O curioso é que mesmo fazendo a maldade de aproximar seno por uma reta, o valor em x = π/6 melhorou muito quando diminuimos a distância entre os pontos...

29 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) π/2 1 π/4 2/2 Novamente um sistema 2x2 ( 1 x 0 ) 1 x 1 ( a 0 a 1 ) = ( y ) 0 y ( 1 π/2 1 1 π/4 ) ( a 0 ) a = ( 1 ) a 1 = π 2 (2 2) 1 2/2 a 0 = 2 1 p 1 (x)= π (2 2) x

30 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) π/2 1 π/4 2/2 Novamente calculemos o polinômio no ponto x = π/3 p 1 (x)= π (2 2)x p 1 (π/3)= 2 1+ π 2 (2 2) π 3 = 2+1 0,

31 Interpolação Um exemplo simples Dois pontos: x f(x) p 1 (x) π/3 3/2 0, , e mesmo fazendo a maldade de aproximar seno por uma reta, o valor em x = π/3 melhorou muito quando diminuimos a distância entre os pontos...

32 Interpolação Um exemplo simples Três pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2 Agora o sistema é 3x3 ( π/2 (π/2) 2 1 π/4 (π/ 4) 2 ) ( a0 ) a = ( a 2 2/2) a =0; ( π/2 2 (π/2) ) 0 π/ 4 (π/ 4) 2 ( a 1 a 2 ) = ( 1 ) 2/2

33 Interpolação Um exemplo simples Três pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2 Então ( π/2 π 2 /4 π/ 4 π 2 /16 ) ( a 1 ) a = ( 2 1 2/2 ) a 0 =0; a 1 = 2 π (2 2 1 ); a 2 = 8 π 2 (1 2 ) p 2 (x)= 2 π (2 2 1 ) x+ 8 π 2 (1 2 ) x 2

34 Interpolação Um exemplo simples Três pontos: x f(x) 0 0 π/2 1 π/4 2/2 e p 2 (π/6)= 2 π (2 2 1 ) π π 2 (1 2) ( π 6 ) 2 = (1 2 )=0, p 2 (π/3)= 2 π (2 2 1 ) π π 2 (1 2 ) ( π 3 ) 2 = 2 3 (2 2 1 )+ 8 9 (1 2 )=0,850761

35 Interpolação Aproximamos seno por uma parábola e o resultado começa a ficar interessante

36 Interpolação O que nossas experiências parecem indicar? Usar pontos mais próximos do qual queremos calcular melhora o resultado Usar mais pontos melhora o resultado Mas isto é apenas um exemplo e usando uma função muito bem comportada Temos que pensar no caso geral para termos uma ideia se o que observamos tem validade em outras situações