UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO ABC BC49 Cálculo Numérico - LISTA 5 - Integração numérica (Profs. André Camargo, Feodor Pisnitchenko, Marijana Brtka, Rodrigo Fresneda). Calcule as integrais a seguir pela regra dos trapézios e de Simpson, usando quatro e seis divisões de [a, b]. Obtenha um limitante superior para o erro cometido e compare com o valor exato, quando for possível. (a) (b) (c) 4 4 exp(x) x x. Usando as integrais do exercício anterior, com quantas divisões do intervalo, no mínimo, podemos esperar obter erros menores que 5? 3. Calcule o valor aproximado de e trapézios Qual o erro máximo cometido na aproximação de com quatro subintervalos? 5. Determinar h para que se possa avaliar de Simpson. com três casas decimais de precisão usando Simpson + x π/ 4 (3x 3 3x + ) pela regra de Simpson cos(x) com erro inferior a ɛ = 3 pela regra 6. Calcule, pela regra dos trapézios e de Simpson, cada uma das integrais abaixo, com erro menor do que ɛ dado: (a) (b) π π/ e sen(x), ɛ = ( sen(x)) /, ɛ = 4 7. (a) Comprove gráfica e analiticamente que se: i. f é contínua em [a, b], e ii. f (x) >, x [a, b], então, a aproximação obtida para b valor exato da integral. Considere n =. a f(x) pela regra dos Trapézios é maior do que o

2 (b) Sabendo que f(x) = e x + x satisfaz as condições acima em [, ], e que I = (e x + x ) =.5, comprove que a conclusão do item (a) é válida também para a regra dos Trapézios composta, calculando I com erro inferior a Calcule π da relação π 4 = 9. Aplicar a regra do trapézio para calcular + x com erro de 3 por Simpson..3. x utilizando os dados da tabela x x Use a regra /3 de Simpson para calcular.6. ln x usando a tabela x ln x Usando a regra 3/8 de Simpson e h =.4 e h =., calcular. e x senx sabendo x e x senx Determine h de modo que a regra do trapézio forneça o valor de e x com erro inferior a Determine h de modo que a regra 3/8 de Simpson forneça o valor de.8. senx com erro inferior a.5 3.

3 4. Calcule as integrais a seguir pela regra do trapézio e pelas regras /3 e 3/8 de Simpson usando seis divisões do intervalo de integração. Compare os resultados. a).5 x ln x, b) xe x.5 5. Considere a integral I (a) = a x e x (a) Obtenha I () com duas casas decimais corretas usando a regra de Simpson. (b) Calcule exatamente, a menos de erros de arrendondamento, I ( ), usando quadratura gaussiana. 6. Utilize as tabelas no apêndice para calcular as integrais abaixo por quadratura gaussiana: (a) (b) (c) (d) (e) (f) senx x x x 3 + x 4 4 x e x cos x e x x e x x 7. Calcular:.8 cos x pela regra do trapézio, com h =.4,. e., sabendo que: x cos x

4 8. Usando a regra do trapézio sobre cinco pontos, calcular:.6. senx. Sabe-se que: x senx Dada a tabela: x e x calcular.8 xe x pela regra do trapézio usando todos os pontos.. Resolver os exercícios 7, 8, e 9 usando a regra 3 de Simpson.. A velocidade v de um foguete lançado do chão verticalmente (para cima, é claro) foi tabelada como se segue: t(s) 5 5 v(pés/s) Usando a regra 3 de Simpson, calcular a altura do foguete após segundos.. Calcular.6 cos x, pela regra 3 8 de Simpson; com h =.. Use a tabela do exercício Da fórmula para calcular a área de um círculo e da equação da circunferência unitária, temos que π = 4 x. (a) Aproxime o valor de π utilizando a regra dos n-trapézios para n =,, 4 e 8. (b) Seja T (h) a aproximação da integral acima calculada com o método dos n-trapézios referente ao espaçamento h := /n. O valor exato da integral é o limite de T (h) com h tendendo a zero. Podemos tentar estimar esse valor calculando-se o polinômio de grau 3 que interpola T (h) nos pontos h =, h =.5, h =.5 e h =.5 e avaliando esse polinômio no ponto h = como estimativa para a integral. Faça isso e compare o valor obtido com o valor de π fornecido pela calculadora. (c) Queremos calcular π com erro inferior a 3. Temos que as duas primeiras derivadas da função f(x) = x são f (x) = x x e f (x) = x x 3 4 ( x ) 5/.

5 Observe que essas derivadas não estão definidas no ponto x = e não são limitadas no intervalo [, [, de modo que não podemos utilizar a fórmula do erro diretamente para estimar o valor de n necessário. Utilizando as simetrias do círculo, determine uma constante positiva C tal que x = x C e estime o valor necessário de n para calcular a integral n-trapézios com erro inferior a 3. x pelo método dos 4. Considere a função f(t) = e t /. (a) Calcule f(t)dt pela regra dos Trapézios T = (.5f(x ) + f(x ) f(x 9 ) +.5f(x )) com n + = pontos. Estime o erro cometido ao aproximar a integral por T. (b) O valor de T é maior ou menor do que o valor exato da integral? (c) Calcule a mesma integral utilizando a regra de Simpson com n + = pontos. (d) Determine um número de pontos suficiente para que o erro de integração da fórmula de Simpson seja inferior a Seja f(x) = x e cos(y) dy. (a) Use o método dos n-trapézios para calcular os valores f(), f() e f(3) com erro menor do que. (b) Determine o polinômio interpolador de f nos pontos x =,,, 3, com grau menor ou igual a 3, utilizando os valores calculados no item (a). 6. Mostre que a Calcule a integral ( p(x) = p e x 3 3 (a) Pelo método dos n-trapézios com n = (T ) e n = 4 (T 4 ). ) ( 3 ) + p para todo polinômio p de grau menor ou igual 3 (b) Mostre que a integral de Simpson S 4, com 5 pontos, satisfaz S 4 = 4T 4 T e utilize os valores calculados no item (a) para determinar S 4. 5

6 (c) Estime qual o valor de n para calcular e x pelo método de n-simpsons com erro menor que 5 e faça o cálculo da integral. Compare a estimativa com o erro realmente cometido. 8. A velocidade v de um corpo movendo-se horizontalmente foi medida em alguns instantes, obtendo-se a tabela t (s) v (m/s) Sabendo-se que s() = 3m, determine a posição s(t) do objeto nos instantes t =, 4 e 6 utizando a regra de Simpson com o menor espaçamento possível. Obtenha uma expressão para s(t) usando interpolação polinomial nos instantes t =,, 4, 6 (use a forma de Newton). Calcule s(.5). 9. Determine uma fórmula de integração do tipo f(x) af(/4) + bf(/) + cf() que seja válida para todo polinômio de grau menor ou igual a. 6

7 Apêndice Polinômios de Legendre ω (x) =, [a, b] = [, ] P n raízes pesos P ± P 3 ± P 4 ± ± Polinômios de Chebychev ω (x) = ( x ) /, [a, b] = [, ] T n zeros pesos T ± T 3 ± T 4 ± ± Polinômios de Laguerre ω (x) = e x, [a, b] = [, ] L n zeros pesos L L L Polinômios de Hermite ω (x) = e x, [a, b] = [, ] H n zeros pesos H ± H 3 ± H 4 ± ±