Método dos Mínimos Quadrados

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1 Licenciatura em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Análise Numérica 1998/99 Método dos Mínimos Quadrados Objectivos: Estimação de valores pelo método dos mínimos quadrados. PROBLEMAS 1 Determine a aproximação dos mínimos quadrados aos pontos x y por: (a) Uma recta. (b) Uma parábola. (c) Uma cúbica. (d) Uma recta x = g(y) que minimize o erro em x. 2 Para medir a capacidade (C) de um condensador, usou-se um circuito RC com um interruptor. No instante t = 0 abriu-se o interruptor, tendo-se registado os seguinte valores da tensão (V) no condensador: t(s) V (volt) t=0 U R (1M Ω) C V Como se sabe, é aplicável a relação v(t) = v 0 e t RC, t 0. Usando o critério dos mínimos quadrados, estime um valor para C. Considere v(0) também sujeito a erro, de maneira que v 0 é desconhecido a priori. 1

2 RESOLUÇÕES Método dos Mínimos Quadrados: Dado um conjunto de pontos ( x i, y i ) i = 1, 2,..., n e uma função F (x,, c 2,..., c k ) do tipo F (x,, c 2,..., c k ) = Φ 1 (x) + c 2 Φ 2 (x) c k Φ 1 (x) determinar, c 2,..., c k tal que se minimize N (y i F (x,, c 2,..., c k )) 2. i=1 Calculando as k derivadas desta função em ordem a, c 2,..., c k e igualando-as a zero obtemos um sistema de k equações a k incógnitas do tipo: c Ni=1 1 Φ 2 1 (x) + c Ni=1 2 Φ 1 (x) Φ 2 (x) c Ni=1 k Φ 1 (x) Φ k (x) = N i=1 Φ 1 (x) y i c Ni=1 1 Φ 1 (x) Φ 2 (x) + c Ni=1 2 Φ 2 2 (x) c Ni=1 k Φ 2 (x) Φ k (x) = N i=1 Φ 2 (x) y i. c Ni=1 1 Φ 1 (x) Φ k (x) + c Ni=1 2 Φ 2 (x) Φ k (x) c Ni=1 k Φ 2 k (x) = N i=1 Φ k (x) y i A resolução do sistema permite-nos obter os valores de, c 2,..., c k. 1 (a) Aproximação por uma recta: F (x) = + c 2 x, com Φ 1 (x) = 1 Φ 2 (x) = x Φ i (x) = 0, i = 3, 4,..., k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N = 8 ): c1 1 + c 2 x i = 8 i=1 y i x i + c 2 x 2 i = 8 i=1 x i y i x i y i x 2 i x i y i

3 Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, 8 c c 2 = c 2 = 364 Donde se retira que, = = c 2 = = O que nos permite escrever a equação da recta que aproxima os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados: y = + c 2 x = x (b) Aproximação por uma parábola: F (x) = + c 2 x + c 3 x 2, com Φ 1 (x) = 1 Φ 2 (x) = x Φ 3 (x) = x 2 Φ i (x) = 0, i = 4, 5,..., k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N = 8 ): 1 + c 2 x i + c 3 x 2 i = 8 i=1 y i x i + c 2 x 2 i + c 3 x 3 i = 8 i=1 x i y i x 2 i + c 2 x 3 i + c 3 x 4 i = 8 i=1 x 2 i y i x i y i x 2 i x 3 i x 4 i x i y i x 2 i y i

4 Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, c c 3 = c c 3 = c c 3 = 3846 Donde se retira que, = = c 2 = = c 3 = = O que nos permite escrever a equação da parábola que aproxima os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados: y = + c 2 x + c 3 x 2 = x x 2 (c) Aproximação por uma cúbica: F (x) = + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3, com Φ 1 (x) = 1 Φ 2 (x) = x Φ 3 (x) = x 2 Φ 4 (x) = x 3 Φ i (x) = 0, i = 5, 6,..., k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N = 8 ): 4

5 c 8i= c 8i=1 2 x i + c 8i=1 3 x 2 i + c 4 x 3 i = 8 i=1 y i c 8i=1 1 x i + c 8i=1 2 x 2 i + c 3 x 3 i + c 4 x 4 i = 8 i=1 x i y i x 2 i + c 2 x 3 i + c 3 x 4 i + c 4 x 5 i = 8 i=1 x 2 i y i x 3 i + c 2 x 4 i + c 3 x 5 i + c 4 x 6 i = 8 i=1 x 3 i y i Os novos somatórios podem ser facilmente calculados pela seguinte tabela, x 5 i x 6 i x 3 i y i Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, c c c 4 = c c c 4 = c c c 4 = c c c 4 = Donde se retira que, = c 2 = c 3 = c 4 = O que nos permite escrever a equação da cúbica que aproxima os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados: y = + c 2 x + c 3 x 2 + c 4 x 3 = x x x 3 (d) Aproximação por uma recta x = g(y) : F (y) = + c 2 y, com Φ 1 (y) = 1 Φ 2 (y) = y Φ i (y) = 0, i = 3, 4,..., k 5

6 O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N = 8 ): c1 1 + c 2 y i = 8 i=1 x i y i + c 2 y 2 i = 8 i=1 y i x i y i x i yi 2 y i x i Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, 8 c c 2 = c 2 = 364 c1 = 7 5 c 2 c 2 = = 1.5 c1 = 0.5 c 2 = 1.5 O que nos permite escrever a equação da recta que, aproximando os pontos dados pelo método dos mínimos quadrados, minimiza o erro em x: x = + c 2 y = y 2 Neste problema, a função que queremos aproximar é do tipo exponencial v(t) = v 0 e t RC, t 0. No entanto se aplicarmos logaritmos aos dois membros da equação que queremos aproximar, ficámos com um função linear: ( v = v 0 e t RC ln v = ln v ) t. R C Então o que vamos fazer é aproximar os pontos y = + c 2 x, com ( x i, y i ) = ( t i, ln v i ) por uma recta; y + = ln v = ln v 0 c 2 = 1 R C x = t 6

7 Função aproximante: recta F (t) = + c 2 t, com Φ 1 (t) = 1 Φ 2 (t) = t Φ i (t) = 0, i = 3, 4,..., k O que nos permite escrever o seguinte sistema ( N = 11 ): 11 c1 i=1 1 + c 11 2 i=1 t i = 11 i=1 (ln v i) 1 1 i=1 t i i=1 t2 i = 11 i=1 (ln v i) t i t i ln v i t 2 i (ln v i ) t i 0 ln 10 0 ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln ln Nota: ln( a b ) = ln a + ln b ln a b = b ln a Substituindo no sistema os somatórios pelos respectivos valores, 11 c c 2 = ln c 2 = ln c2 = = = A partir de e c 2 podemos então calcular v 0 e C : ln v 0 = v 0 = e = v 1 R C = c 2 C = 1 R c 2 = µf AMG, IMF, JFO, JPF 7