Análise e Processamento de Bio-Sinais. Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica. Sinais e Sistemas. Licenciatura em Engenharia Física

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1 Análise e Processamento de Bio-Sinais Mestrado Integrado em Engenharia Biomédica Licenciatura em Engenharia Física Faculdade de Ciências e Tecnologia Slide 1 Slide 1 Sobre Modelos para SLIT s Introdução Métodos de descrever a relação entre sinais de entrada e de saída de um sistema para Lineares e Invariantes no Tempo SLIT Descrição por modelos que poderão ajudar na análise e predição do comportamento de SLITs Caracterização em termos de: Resposta a um impulso (aplicada em t=0 ou n=0) (caracterização como uma combinação de sinais deslocados no tempo) Equação diferencial linear e de coeficientes constantes ou equação de diferenças Interligação de módulos elementares de sistemas Descrição por variáveis de estado As formas de representação e seus respectivos modelos são equivalentes no sentido em que resultam em respostas no sinal de saída iguais para os mesmos sinais de entrada Slide Slide 2 2 1

2 A Soma de Convolução δ A Soma de Convolução para sinais discretos Um sinal pode ser expresso por uma sobreposição de impulsos deslocados no tempo. Considerando δ δ Pode ser expresso como uma soma pesada de impulsos deslocados no tempo δ δ Pode ser expresso por Slide Slide 3 3 A Soma de Convolução Se H representar o operador do sistema Sendo o sistema invariante no tempo qualquer deslocamento temporal da entrada provoca um deslocamento temporal da saída onde h[n] é a resposta impulsional do SLIT com operador H. A resposta do sistema Designado somatório de convolução Slide Slide 4 4 2

3 A Soma de Convolução A Soma de Convolução Slide Slide 5 5 A Soma de Convolução A Soma de Convolução Slide Slide 6 6 3

4 Procedimento de Cálculo Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução Considere um SLIT discreto e representando um canal de comunicação com duas vias (uma via directa e uma via indirecta). A amplitude do sinal pela via indirecta vem atenuado de 50% resultando num sinal O canal foi ensaiado com resposta impulsional o que permitiu determinar a seguinte Determinar a resposta do sistema quando é aplicada a entrada Slide Slide 7 7 Procedimento de Cálculo Exemplo: Comunicação Multi-Canal: Calculo da Soma de Convolução Solução O sinal de entrada pode ser expresso por uma soma pesada de impulsos deslocados no tempo Notar que entrada é nula para n<0 e n>2 sendo a saída y[n] calculada através de Adicionando as respostas impulsionais obtemos a resposta Slide Slide 8 8 4

5 Procedimento de Cálculo Para sistemas discretos com resposta a impulso com equações mais extensas é possível estabelecer um procedimento sistemático para o cálculo do Somatório de Convolução Definindo o sinal intermédio Como nesta definição consideramos k como variável e tratamos o n como uma constante e redefinimos o Somatório de Convolução como Somatório de vários valores do sinal de entrada, pesados pelos valores da resposta a impulso Notar que, que corresponde a uma reflexão de, seguido de um deslocamento -n Slide Slide 9 9 Integral de Convolução: O Integral de Convolução A resposta de um sistema contínuo, linear e invariante no tempo também pode ser descrita pela sua resposta impulsional composto com o sinal de entrada. Representando o sinal de entrada por uma sobreposição (aqui um integral) de sinais de impulso deslocados no tempo e por H o sistema ao qual a entrada x(t) foi aplicada Sendo o sistema invariante no tempo Correspondendo ao Integral de Convolução Slide Slide

6 Integral de Convolução: Resposta a Impulso de um SLIT ENTRADA:: Impulso atrasado SAÍDA:: Resposta a impulso TAMBÉM atrasada Slide Slide Procedimento de Cálculo: É possível estabelecer um procedimento para o cálculo do Integral de Convolução Definindo o sinal intermédio Como nesta definição consideramos τ como variável e tratamos o tempo t como uma constante podemos redefinir o Integral de Convolução como Composição do sinal de entrada, após ser pesado pelos valores da resposta a impulso Notar que corresponde a uma reflexão de e de seguida um deslocamento Slide Slide

7 Procedimento de Cálculo: Exemplo: Calcular o integral de convolução de um sistema com uma entrada e resposta a impulso Solução: τ τ h(t-τ) τ Slide Slide Procedimento de Cálculo: τ τ τ τ τ τ t Slide Slide

8 Procedimento de Cálculo: τ τ τ τ τ τ τ τ t Slide Slide Procedimento de Cálculo: t Slide Slide

9 Procedimento de Cálculo: Exemplo: Suponha que a distância a um objecto é determinada por determinação do tempo de propagação dum pulso de radiofrequência (RF) que é emitido segundo a expressão A resposta a impulso do canal de propagação é medida através de emissão de um impulso de RF. A resposta foi um impulso atenuado e atrasado no tempo com a seguinte representação Atenuação Atraso Solução: Slide Slide Procedimento de Cálculo: Nota: Sinal é atenuado e atrasado no tempo β β Slide Slide

10 Interligações de SLIT Se um sistema é interligado por diferentes componentes cujas respostas impulsionais são conhecidas então é possível determinar a resposta impulsional final de todo o sistema. As interligações consideradas são: Paralela Série ou Cascata Slide Slide Interligações de SLIT Configuração Paralela Sistema contínuo Sistema discreto Slide Slide

11 Interligações de SLIT Configuração Série Slide Slide Interligações de SLIT Configuração Série Propriedade Associativa Sistema contínuo Sistema discreto Propriedade Comutativa Sistema contínuo Sistema discreto Slide Slide

12 Interligações de SLIT Exemplo: Sistema com 4 interligações Considere o sistema da figura cujos Módulos têm a seguinte resposta Impulsional: Determinar a resposta impulsional do sistema. Slide Slide Interligações de SLIT Exemplo: Sistema com 4 interligações Slide Slide

13 Propriedades de um SLIT A resposta impulsional caracteriza completamente o comportamento entrada/saída de um SLIT. As propriedades de um sistema podem ser relacionadas com a resposta a impulso. Podemos obter relações para propriedades tais como Memória de um Sistema Sistema Causal Estabilidade do Sistema Slide Slide Propriedades de um SLIT Memória de um SLIT Um SLIT não tem memória se a sua resposta no instante t depende unicamente do valor de entrada no instante t. Para um sistema sem memória: Condição é: Slide Slide

14 Propriedades de um SLIT Condição para SLIT sem memória de um SLIT Para o caso discreto. Para caso contínuo: Slide Slide Propriedades de um SLIT SLIT Causal Um SLIT é causal se depender só dos valores presentes e passados do sinal de entrada. Presente Para um sistema discreto é equivalente a Passado Para um sistema contínuo no tempo Slide Slide

15 Propriedades de um SLIT SLIT Estável Sendo o SLIT estável para uma entrada então o correspondente sinal de saída será estável e obedecerá à restrição A resposta impulsional de um SLIT discreto e estável deverá obedecer à restrição No caso contínuo a Slide Slide Propriedades de um SLIT Invertível O sistema será invertível se a entrada do sistema pode ser recuperada a partir da saída a menos de um factor de escala. O processo de recuperar x(t) a partir de h(t)*x(t) é o inverso de uma convolução ( deconvolução ). Para sistemas contínuos Para sistemas discretos Slide Slide

16 Propriedades de um SLIT Propriedade Contínuo Discreto Sem Memória Causal Estabilidade Invertível Slide Slide Resposta Degrau: A aplicação de um sinal degrau poderá ser utilizado para caracterizar a resposta de um SLIT Caso discreto Resposta do SLIT Resposta impulso Sinal de entrada - degrau Somatório da resposta impulso Caso contínuo Resposta do SLIT Resposta impulso Slide Slide

17 Resposta Degrau: Notar que as relações anteriores podem ser invertidas de forma a obter a resposta a impulso: Desta forma a resposta a impulso fica caracterizada. Slide Slide Resposta Degrau: Exemplo: Circuito RC: Resposta a Degrau Considerando que a resposta impulsional do circuito em anexo é Determine a resposta a degrau. A partir do instante t=0 é aplicada uma tensão constante na fonte e o condensador carrega até atingir a tensão da fonte. Slide Slide

18 Resposta Degrau: Exemplo: Circuito RC: Resposta a Degrau Resposta a degrau de um circuito RC para RC = 1. Slide Slide Representações para SLITs : Equações Diferenciais e de Diferenças Equações diferenciais e equações lineares de coeficientes constantes são uma forma de representar SLITs. As equações de diferenças são utilizadas para representações de sistemas discretos As equações de diferencias são utilizadas para representações de sistemas contínuos A ordem de uma equação de diferenças ou diferencial corresponde ao de dispositivos de memória/armazenamento de energia do sistema. Muitas vezes e então a ordem é só descrita por Slide Slide

19 Equações Diferenciais: Exemplo: Equação Diferencial Considerando a saída y(t) correspondente à corrente que circula no circuito RLC da figura e função da tensão de entrada x(t): Esta expressão é de ordem N=2 (tem dois dispositivos de armazenamento de energia). Slide Slide Equações Diferenças: o Exemplo: Equação Diferenças Um exemplo de uma equação de diferenças de ordem N=2 é que representa a relação entre a entrada e a saída de sinais de um sistema que processa os dados em computador. A ordem indica o número de unidades de memória necessárias. o As equações de diferenças podem ser reorganizadas de forma a dar uma igualdade que expressa a saída expressa de forma recorrente: Nesta expressão é possível obter y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída. Slide Slide

20 Equações Diferenças: o Exemplo: Equação Diferenças Considerando a equação de diferenças Podemos reescrever esta equação da forma Que permite calcular y[n] em função dos valores passados da entrada e da saída. Slide Slide Equações Diferenças: o Exemplo: Equação Diferenças O calculo anterior exige valores para e. Estas valores são as condições iniciais do sistema. O número de valores para as condições iniciais do sistema é igual à memória do sistema. Para uma equação de diferenças de ordem N os valores a determinar são Para um equação diferencial de ordem N os valores a determinar são Slide Slide

21 Equações Diferenças: o Exemplo: Equação Diferenças Determine os dois primeiros valores da saída para o sistema descrito por Assuma que a entrada é dada por e as condições iniciais são Os valores iniciais são: Slide Slide Solução das Equações : A saída de um sistema descrito por uma equação de diferenças ou uma equação diferencial pode ser expressa pela adição de duas componentes: Solução homogénea (solução da equação diferencial ou de diferenças) Solução particular (uma qualquer outra solução da equação original) A solução completa é Solução Homogénea A forma homogénea de uma equação diferencial ou de diferenças é obtida igualando a zero todos os termos que envolvam a entrada. Para um sistema contínuo Solução homogénea Equação homogénea Slide Slide

22 Solução das Equações : Solução Homogénea Para um sistema contínuo Equação homogénea Solução homogénea Em que são as N raízes da equação característica No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma Slide Slide Solução das Equações : Solução Homogénea Para um sistema discreto Equação homogénea Solução homogénea Em que são as N raízes da equação característica do sistema discreto No caso de raízes repetidas p vezes então os termos envolvendo essas raízes tomam a forma Slide Slide

23 Solução das Equações : Exemplo: Circuito RC: Solução Homogénea A relação entre a tensão na fonte e os terminais do condensador do circuito RC da figura pode ser descrito por A sua equação homogénea é Utilizando para N=1 obtemos a solução Em que com é a raiz é solução da equação característica Slide Slide Solução das Equações : Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Homogénea A equação homogénea do sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças A sua correspondente equação homogénea é Utilizando para N=1 obtemos a solução Em que com é a raiz é solução da equação característica Slide Slide

24 Solução das Equações : Exemplo: Sistema Recorrente de Primeira Ordem : Solução Particular Determinar a solução particular para o sistema recorrente de primeira ordem (N=1) descrito pela equação de diferenças quando se aplica a entrada. Assumindo uma solução Sendo obtemos a solução Slide Slide Solução das Equações : Exemplo: Circuito RC: Solução Particular Considerando o circuito RC da figura, determine a solução particular quando este sistema é sujeito à entrada A equação diferencial do sistema é Assumindo a solução particular da forma Igualando os termos em e obtemos Slide Slide

25 Solução das Equações : Solução Completa A solução completa é obtida por adição da solução homogénea com uma solução particular: Para obter a expressão final determinam-se os coeficientes desconhecidos na expressão utilizando condições iniciais. 1º - Determinar a solução a partir das raízes da equação característica. 2º - Determinar a solução assumindo que é forma idêntica que a entrada mas com termos independentes da solução homogénea. 3º - Determinar os coeficientes da solução homogénea de forma que satisfaça as condições iniciais do sistema. Slide Slide Solução das Equações : Exemplo: Circuito RC: Solução Completa Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a solução completa quando e este sistema é sujeito à entrada A solução homogénea é A solução particular é Colocando obtemos a solução completa em que direita da equação pois o sinal de entrada não introduz impulsos na parte Slide Slide

26 Características dos Por vezes é bastante informativo exprimir a resposta de um sistema em função da soma de duas componentes: Componente associada só às condições iniciais resposta natural Componente associada só ao sinal de entrada resposta forçada Neste caso a solução completa é Resposta Natural A resposta natural corresponde à saída do sistema para uma entrada de sinal nula e dessa forma permite descrever como o sistema dissipa a sua energia ou memória do passado e representada pelas condições iniciais. Resposta Forçada A resposta forçada corresponde à saída do sistema a um sinal na entrada mas assumindo condições iniciais nulas. Nessa situação assumimos que o sistema está em repouso e não existe energia armazenada no sistema ou a sua memória está vazia. Slide Slide Solução das Equações : Exemplo: Circuito RC: Resposta Natural O circuito RC da figura pode ser descrito por Mas pretende-se obter a sua resposta natural assumindo que Sendo a solução homogénea Se for a constante for calculada de forma a satisfazer a condição inicial Então e resposta natural do sistema é Slide Slide

27 Solução das Equações : Exemplo: Circuito RC: Resposta Forçada Considerando o exemplo do circuito RC da figura, determine a sua resposta forçada assumindo que e a entrada é Sabendo que a resposta completa é A resposta forçada é determinada escolhendo c quando o sistema está em repouso, ou seja quando: Nesse caso e a resposta forçada é dada por Slide Slide Características dos Resposta a Impulso Sendo conhecida a resposta a degrau podemos determinar a resposta a impulso através da relação matemática entre as duas respostas. Por definição a resposta a degrau assume que o sistema está em repouso ou seja, com condições iniciais nulas. Para um sistema contínuo a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de Resposta a impulso Resposta a degrau Para um sistema discreto a resposta a impulso relaciona-se com a resposta a degrau através de Resposta a impulso Resposta a degrau Slide Slide

28 Características dos Linear e Invariante A resposta forçada de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das entradas. De forma semelhante a resposta natural de um sistema SLIT pode ser obtida por combinação linear das condições iniciais. Slide Slide Características dos Equação Característica As suas raízes A resposta forçada depende do sinal de entrada e das raízes da equação característica. A resposta natural depende das raízes da equação característica. Daqui podemos concluir que as raízes da equação característica têm um papel fundamental no comportamento do sistema. A estabilidade de um sistema está relacionada com as raízes equação característica. A condição de estabilidade BIBO (entrada limitada, saída limitada) implica que a resposta natural seja limitada: Caso discreto Caso contínuo Slide Slide

29 Diagramas de Blocos Representações por Diagramas de Blocos Um diagrama de blocos é uma representação para as operações elementares que são realizadas num sistema. Um sistema com uma determinada característica entrada/saída pode ser representada por diferentes diagramas de blocos. As três operações elementares nos sinais são: Multiplicação Escalar Adição Integração (para sistemas contínuos) Deslocamento temporal (para sistemas discretos) Slide Slide Diagramas de Blocos Representações por Diagramas de Blocos Equação diferenças de ordem 2 Slide Slide /07 Jorge 2008/09 Dias Jorge Dias 29

30 Diagramas de Blocos Representações por Diagramas de Blocos Para SLITs não existe uma única descrição por diagrama de blocos. Assumindo que o sistema ao lado é um SLIT composto por 2 sub-sistemas em série, é possível trocar a ordem dos elementos sem alterar a sua relação entrada/saída. Definindo f[n] como a saída do novo sistema intermédio f[n] será a entrada para o subsistema seguinte Slide Slide Diagramas de Blocos Representações por Diagramas de Blocos Forma Directa I. Forma Directa II A forma directa II utiliza a memória de forma mais eficiente. Slide Slide

31 Diagramas de Blocos Exemplo: Diagramas de Blocos: Forma Directa I e Forma Directa II Desenhe o diagrama de blocos correspondente ao sistema Forma directa I. Forma directa II. Slide Slide Variáveis de Estado Descrições por Variáveis de Estado Uma descrição por variáveis de estado de um SLIT consiste num conjunto de equações de diferença ou diferenciais que descrevem o estado do sistema e como evolui, assim como uma equação que relaciona a saída do sistema função das variáveis de estado e da entrada. As equações são representadas de forma matricial. Podemos analisar ou projectar o comportamento do sistema recorrendo à álgebra de matrizes. O estado do sistema corresponde a um conjunto mínimo de sinais que permitem representar toda a memória passada do sistema: Conhecido estado do sistema num instante ni (ou ti) e as entradas para n>= ni (ou t>= ti) podemos determinar a saída para todos instantes n>= ni (ou t>= ti). Slide Slide

32 Variáveis de Estado Descrições por Variáveis de Estado Considere a descrição da figura na Forma Directa II Defina as variáveis de estado (q1[n], q2[n]) à saída das unidades de memória O próximo valor do estado (q1[n+1], q2[n+1]) corresponde às entradas das unidades de memória e pode ser determinado por A saída do sistema pode expressa por Slide Slide Variáveis de Estado Descrições por Variáveis de Estado Descrevendo Na forma matricial Vector de estado Slide Slide

33 Variáveis de Estado Descrições por Variáveis de Estado Na forma matricial Com Se o sistema é de ordem N então Slide Slide /07 Jorge 2008/09 Dias Jorge Dias Variáveis de Estado Descrições por Variáveis de Estado Na descrição de um sistema contínuo por variáveis de estado a forma matricial é análoga com a excepção da expressão para a equação do estado que expressa em termos da derivada do vector de estado. Exemplo: Descrição por Variáveis de Estado a Partir de um Diagrama Slide Slide

34 Variáveis de Estado Transformações do Estado Não existe uma única representação por espaço de estado (ou variáveis de estado) o que implica que deverá existir uma transformação T que permite transformar um espaço de estado noutro espaço de estado. Essa transforma T é uma matriz (NxN) sendo q(nx1). A matriz deverá ser não-singular (permitir inversa) para que seja possível uma relação 1 para 1 entre os dois espaço de estado: As relações para as equações de estado serão: De forma similar Então Slide Slide Sumário o Convolução o O Integral de Convolução o Interligações de SLIT - Lineares Invariantes no Tempo o Propriedades de SLIT Resposta a Impulso Resposta a Degrau o Equações Diferenciais e de Diferenças para SLIT o Soluções para Equações Diferenciais e de Diferenças o Características dos o Representação por Diagramas de Blocos o Descrições de SLIT por Variáveis de Estado Slide Slide