Sinais e Sistemas. Série de Fourier. Renato Dourado Maia. Universidade Estadual de Montes Claros. Engenharia de Sistemas

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1 Sinais e Sistemas Série de Fourier Renato Dourado Maia Universidade Estadual de Montes Claros Engenharia de Sistemas

2 Lembremos da resposta de um sistema LTI discreto a uma exponencial complexa: x[ n] z, z é um número complexo z e, x[ n] e Assim: n j jn n n yn [ ] hxn [ ] [ ] h [ ] z z h [ ] z Tomando H() z h [] z yn [ ] H() zz n n x[ n] a z yn [ ] a H( z ) z n 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 2/25

3 Quando um sinal discreto é periódico? Um sinal é discreto é periódico se existe uma constante positiva N, tal que: xn [ ] xn [ N ], n O MENOR VALOR PARA N QUE SATISFAÇA À EQUAÇÃO É CHAMADO DE PERÍODO FUNDAMENTAL N. 2 N é a frequência fundamental de x[ n] em radianos 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 3/25

4 Lembrando do conjunto de harmônicas para o caso discreto: j(2 N ) n [ n] e,, 1, 2,... N j ( N)(2 N) n j (2 N) n j 2 n [ n] e e e [ n] HÁ N HARMÔNICAS DISTINTAS!!! 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 4/25

5 Analogamente ao caso contínuo: N j n x[ n] a e é um sinal periódico, com período N Representação em Série de Fourier para um sinal discreto periódico: Forma Exponencial O somatório é feito num intervalo de tamanho N em função de haver N harmônicas distintas... O somatório pode ir de até N-1, de 3 até N+2, e assim sucessivamente. a a periodicidade N 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 5/25

6 DTFS de um Sinal Discreto Periódico a xn [ ] 1 N N nn ae x[ ne ] j n j n Equação de Síntese Equação de Análise a coeficientes da Série de Fourier ou coeficientes espectrais Quantificam a contribuição de cada uma das N harmônicas. 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 6/25

7 Exemplo a a 1 1 a Relação de Euler: x[ n] sen( n) 1 1 x[ n] sen( n) e e 2j 2j j n j n 1 2j 1 2j, para os demais coeficientes considerados no somatório Para sinais discretos periódicos reais: a = a 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 7/25

8 Exercício 1: 1 3 x[ n] 1sen n 12 8 Aplicando-se a Relação de Euler: a a a a j j 8 j 8 e 1e e 1 e 2j 2 j 2 2 e j j 8 8 e 1e 1 e 2j 2 j 2 2 e, j 8 j 8 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 8/25

9 Exercício 1 2 x[n]=x=1+sin(πn/12 + 3π/8) x[n] n 1 a (a ) /4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 9/25

10 Exercício 1 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 1/25

11 Exercício 2 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 11/25

12 Exercício 2 N j n 1 a xne [ ] xne [ ] 6 6 n2 n1 j n 3 j j j 2 j 1 2e e 3 3 a e e a cos /4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 12/25

13 Exercício 2 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 13/25

14 Propriedades da DTFS As propriedades da DTFS são similares às da FS, e estão resumidas na tabela 3.2 (página 221 do livro Signals and Systems). As propriedades são interessantes para facilitar a determinação dos coeficientes da DTFS de um sinal, evitando a realização de contas desnecessárias. Leiam sobre as propriedades, pois o livro apresenta comentários interessantes. 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 14/25

15 Série de Fourier e Sistemas LTI Lembrando da resposta de sistemas LTI a exponenciais complexas: Contínuo: Discreto: st x() t e, s é um número complexo yt () H() s e n x[ n] z, z é um número complexo y[ n] H( z) z st n ( ) ( ) s j H s h e d H( j) h( ) e d j j H( z) h[ ] z H( e ) he [ ] Resposta em Frequência, se s e z são considerados complexos puros. 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 15/25

16 Série de Fourier e Sistemas LTI j t j t j t x() t a e y() t a H( j ) e be j n j n j n j n x[ n] a e y[ n] a H( e ) e be N N N H(.) modifica as amplitudes e fases das exponeciais com- plexas da entrada. E já sabemos que a frequência não muda! Para entradas periódicas, pode-se determinar a saída de um sistema LTI por meio da resposta em frequência ao invés da convolução... Posteriormente, essa análise será adaptada para permitir a análise com sinais aperiódicos Transformada de Fourier. 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 16/25

17 Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo Parte 1 Resposta ao Impulso? 1 1 t RC ht () e ut () RC Determinar a resposta em frequência. 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 17/25

18 Série de Fourier e Sistemas LTI Exemplo 1 j j 1 RC H( j) h( ) e d e d RC 1 1 j 1 1 RC e RC RC 1 1 j j RC RC 1 j1 1 RC 1 H( j) j j /4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 18/ Normalmente, a resposta em frequência é apresentada em módulo e fase...

19 Exemplo Parte 2 Para RC =.1, determinar a saída do circuito para o sinal de entrada apresentado a seguir: 2T 2T sen( u) T 1 a sinc sinc( u) T 1,, 2 T T u T 4 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 19/25

20 Exemplo Parte 2 j t j t j t x() t a e y() t a H( j ) e be 2 T sen( T ) y( t) a H( j ) e H( j ) e j t j t T T 1 RC 1 RC H( j) H( j ) j RC j RC /4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 2/25

21 Exemplo Parte 2 1 RC 1 RC H( j) H( j ) j RC j RC 1 1 RC,1, 2 H(2 j ) 1 j2 1 yt () 1 2T sen( 2) j2 1 T 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 21/25

22 Boa Notícia! VOCÊS JÁ PODEM FAZER A QUINTA LISTA DE EXERCÍCIOS SUGERIDOS... 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 22/25

23 Exercícios Exercício 3.19 Signals and Systems Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RL mostrado a seguir: a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. j t Considerando xt () e, determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para xt () cos() t. 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 23/25

24 Exercícios Exercício 3.2 Signals and Systems Considere um sistema causal LIT implementado como o circuito RLC mostrado a seguir: a. Encontre a equação diferencial relacionando x(t) e y(t). b. j t Considerando xt () e, determine a resposta em frequência. c. Determine a saída para xt () sen() t. 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 24/25

25 Exercícios Exercício 3.14 Signals and Systems Quando o trem de impulsos xn [ ] [ n4 ] é a entrada de um sistema LTI com resposta em j frequência He ( ), a saída é: 5 y[ n] cos n. 2 4 Determine os valores de para =, 1, 2 e 3. j 2 He ( ) 14/4/214 Sinais e Sistemas Renato Dourado Maia 25/25