Modelagem Matemática de Sistemas

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1 Modelagem Matemática de Sistemas 1. Descrição Matemática de Sistemas 2. Descrição Entrada-Saída 3. Exemplos pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

2 Descrição Matemática de Sistemas u(t) Sistema y(t) Para a representação do sistema tendo entradas e saídas como acima; assume-se que para uma certa excitação u(t) (entrada) obtém-se uma única resposta y(t) (saída) Já sabemos: 1 entrada/1 saída: monovariável ou SISO (Single input - single output) +1 entrada/+1 saída: multivariável ou MIMO (Multiple input - multiple output) pag.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

3 Descrição Matemática de Sistemas u 1 u 2 y 1 y 2 u p y q u = [ u 1 u 2 u p ] ; y = [ y 1 y 2 y q ] Sistemas Contínuos no Tempo u = u(t) ; y = y(t) : funções do tempo t (, ) Sistemas Discretos no Tempo u = u(k) ; y = y(k) : seqüências k Z pag.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

4 Relembrando... Sistemas com parâmetros concentrados: número finito de variáveis de estado Sistemas com parâmetros distribuídos. Eg, sistema com atraso unitário: y(t) = u(t 1) u(t) y(t) 0 1 t 0 t Estado: {u(t), t 0 1 t < t 0 } (infinitos pontos) pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

5 Relembrando... Se u(t) 0, t t 0 : resposta à entrada nula Se x(t 0 ) = 0: resposta ao estado nulo x(t 0 ) u(t) 0, t t 0 y ent. nula(t), t t 0 x(t 0 ) = 0 u(t), t t 0 y est. nulo(t), t t 0 pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

6 Relembrando... Descrição Entrada-Saída Sistemas SISO Função Pulso 0, t < t 1 t 1 t 1 + 1/ δ (t t 1 ) = t 1/, t 1 t < t 1 + 0, t t 1 + δ(t t 1 ) lim δ (t t 1 ) 0 : função pulso ou Delta de Dirac Propriedades Z + δ(t t 1 )dt = Z t1 +ɛ t 1 ɛ δ(t t 1 )dt = 1, ɛ > 0 Z + f(t)δ(t t 1 )dt = f(t 1 ), f(t) contínua em t 1 pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

7 Relembrando... Descrição Entrada-Saída u(t) u(t i )δ (t t i ) u(t i ) t i t Entrada: u(t) = i u(t i)δ (t t i ) pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

8 Descrição Entrada-Saída Considere g (t, t i ) a saída no instante t do sistema excitado pelo pulso u(t) = δ (t t i ) aplicado no instante t i. Então δ (t t i ) gera g (t, t i ) i δ (t t i )u(t i ) gera δ (t t i )u(t i ) gera g (t, t i )u(t i ) (homogeneidade) i g (t, t i )u(t i ) } {{ } Saída: y(t) (aditividade) Quando 0 o pulso δ (t t i ) tende ao impulso aplicado em t i, denotado δ(t t i ), e a saída correspondente é dada por g(t, t i ) pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

9 Descrição Entrada-Saída Resposta ao Impulso y(t) = + g(t, τ)u(τ)dτ Sistema Causal g(t, τ) = 0 para t < τ Sistema Relaxado em t 0 x(t 0 ) = 0 Sistemas causais e relaxados em t 0 y(t) = t t 0 g(t, τ)u(τ)dτ pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

10 Descrição Entrada-Saída Se o sistema linear é invariante no tempo e relaxado em t = 0, então: g(t, τ) = g(t + T, τ + T) }{{} deslocado... = g(t τ, 0) }{{} instante inicial nulo = g(t τ) Integral de Convolução y(t) = t 0 g(t τ)u(τ)dτ = t 0 g(τ)u(t τ)dτ g(t): resposta ao impulso aplicado em t = 0 Sistema causal invariante no tempo: g(t) = 0 para t < 0 pag.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

11 Descrição Entrada-Saída Sistema MIMO G q p (t, τ) = y(t) = t t 0 G(t, τ)u(τ)dτ g 11 (t, τ) g 12 (t, τ) g 1p (t, τ) g 21 (t, τ) g 22 (t, τ) g 2p (t, τ).. g q1 (t, τ) g q2 (t, τ) g qp (t, τ). Sistema com p entradas e q saídas g ij (t, τ) : resposta no instante t na i-ésima saída devida ao impulso aplicado no instante τ na j-ésima entrada G(, τ) : matriz de resposta ao impulso pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

12 Descrição Entrada-Saída Matriz Função de Transferência As integrais de convolução são substituídas por equações algébricas via Laplace... ( ) Y (s) = G(t τ)u(τ)dτ e st dt = = ( 0 ) G(t τ)e s(t τ) dt u(τ)e sτ dτ G(v)e sv dv G(s)U(s) 0 u(τ)e sτ dτ G(s): Transformada de Laplace da matriz resposta ao impulso G(t) Se p = q = 1 (SISO) Função de Transferência Exige que o sistema esteja relaxado em t = 0 pag.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

13 Descrição Entrada-Saída Exemplo Circuito RLC série com R = 3Ω, L = 1H, C = 0.5F u(t) + R i L C + y(t) 8 >< >: u(t) C dy(t) dt = Ri(t) + L di(t) dt = i(t) + y(t) Relaxado: ie, condições iniciais nulas (y(0) = ẏ(0) = 0): LCs 2 Y (s) + RCsY (s) + Y (s) = U(s) Y (s) U(s) = 1 LCs 2 + RCs + 1 Y (s) U(s) = 2 (s + 1)(s + 2) = 2 s (s + 2) = G(s) pag.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

14 Descrição Entrada-Saída Resposta ao Impulso: Para uma entrada qualquer tem-se g(t) = 2e t 2e 2t, t 0 y(t) = t0 g(t τ)u(τ)dτ + t t 0 g(t τ)u(τ)dτ, t t 0 e Z t0 g(t τ)u(τ)dτ = 2e t Z t0 e τ u(τ)dτ 2e 2t Z t0 e 2τ u(τ)dτ = 2e t c 1 2e 2t c 2, t t 0 Determinação de c 1 e c 2? pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

15 Descrição Entrada-Saída Determinação de c 1 e c 2 y(t 0 ) = 2e t 0 c 1 2e 2t 0 c 2 ẏ(t 0 ) = 2e t 0 c 1 + 4e 2t 0 c 2 Se y(t 0 ) (tensão no capacitor) e Cẏ(t 0 ) (corrente no indutor) forem conhecidas, então a saída pode ser unicamente determinada para t t 0 mesmo que o sistema não esteja relaxado em t 0 {y(t 0 ), ẏ(t 0 )}, {c 1, c 2 } Estado do Circuito em t 0 Note que a informação (estado) necessária para determinar unicamente a resposta do sistema não é única, e que pode haver redundância... pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

16 Funções Racionais em s Para G(s) = N(s) D(s) G(s) é estritamente própria grau de D(s) > grau de N(s) G( ) = 0 G(s) é própria grau de D(s) = grau de N(s) G( ) = constante 0 G(s) é imprópria grau de D(s) < grau de N(s) G( ) = p C é um pólo de G(s) = N(s) D(s) se G(p) = z C é um zero de G(s) = N(s) D(s) se G(z) = 0 pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

17 Funções Racionais em s Se D(s) e N(s) são coprimos (isto é, não possuem fatores comuns de grau 1 ou maior), todas as raízes de N(s) são zeros de G(s) e todas as raízes de D(s) são pólos de G(s): G(s) = k (s z 1)(s z 2 ) (s z m ) (s p 1 )(s p 2 ) (s p n ) Própria se G(s) = constante, Estritamente Própria se G(s) = 0, Biprópria se G(s) quadrada com G(s) e G(s) 1 próprias pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

18 Linearização via Jacobiano A linearização nem sempre se aplica: para alguns sistemas não lineares, uma diferença infinitesimal nas condições iniciais pode gerar soluções completamente diferentes (hipersensibilidade às condições iniciais, caos)... Exemplo Mola Força y = 0 y y 1 rompimento y 2 y Comportamento linear para deslocamentos no intervalo [y 1, y 2 ] pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

19 Descrição Matemática de Sistemas Sistema Massa-Mola y 1 y 2 k 1 k 2 k 3 m 1 m 2 u 1 u 2 Assumindo que não há atrito: m 1 ÿ 1 = u 1 k 1 y 1 k 2 (y 1 y 2 ) m 2 ÿ 2 = u 2 k 3 y 2 k 2 (y 2 y 1 ) pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

20 Descrição Matemática de Sistemas Combinando: m m 2 ÿ1 ÿ 2 + k 1 + k 2 k 2 k 2 k 2 + k 3 y 1 y 2 = u 1 u 2 Espaço de Estado definem-se x 1 y 1, x 2 ẏ 1, x 3 y 2, x 4 ẏ 2 : x [ x 1 x 2 x 3 x 4 ] pag.20 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

21 Descrição Matemática de Sistemas ẋ = (k 1 + k 2 )/m 1 0 k 2 /m k 2 /m 2 0 (k 3 + k 2 )/m x /m /m u u y 2 4 y 1 y = x Duas entradas, duas saídas... pag.21 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

22 Descrição Matemática de Sistemas Descrição Entrada Saída Aplicando a Transformada de Laplace (condições iniciais nulas): m 1 s 2 Y 1 (s) + k 1 Y 1 (s) + k 2 (Y 1 (s) Y 2 (s)) = U 1 (s) m 2 s 2 Y 2 (s) + k 3 Y 2 (s) + k 2 (Y 2 (s) Y 1 (s)) = U 2 (s) Matriz de Transferência: Y 1 (s) Y 2 (s) = m 2 s 2 + k 3 + k 2 d(s) k 2 d(s) k 2 d(s) m 1 s 2 + k 1 + k 2 d(s) U 1 (s) U 2 (s) com d(s) (m 1 s 2 + k 1 + k 2 )(m 2 s 2 + k 3 + k 2 ) k 2 2 pag.22 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

23 Descrição Matemática de Sistemas Se k 2 = 0 dois sistemas desacoplados com matriz de transferência bloco-diagonal: Y 1 (s) = 1 m 1 s 2 + k 1 U 1 (s) ; Y 2 (s) = 1 m 2 s 2 + k 2 U 2 (s) A matriz de transferência pode ser obtida elemento a elemento, fazendo-se inicialmente U 1 (s) = 0 e depois U 2 (s) = 0 para sistemas lineares basta considerar o princípio da superposição... pag.23 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

24 Descrição Matemática de Sistemas Exemplo Carrinho com Pêndulo Invertido θ m H mg l u M V y Assume-se que o movimento se dá no plano e desprezam-se o atrito e a massa da haste. O objetivo é manter o pêndulo na posição vertical (modelo simplificado do lançamento de um foguete espacial) pag.24 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

25 Descrição Matemática de Sistemas H, V : forças horizontal e vertical exercidas pelo carro no pêndulo Em relação a M: M d2 y dt 2 + H = u M d2 y dt 2 = u H Em relação a m: 8 >< >: m d2 (y + l sin(θ)) = H dt : 2 mg = m d2 (l cos(θ)) + V dt : 2 Horizontal Vertical H = mÿ + ml θcos θ ml θ 2 sin θ mg V = ml θsin θ ml θ 2 cos θ Movimento rotacional da massa m: ml 2 θ = mglsin θ + V lsin θ Hlcos θ pag.25 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

26 Descrição Matemática de Sistemas Note que as equações são não-lineares. Porém para pequenas variações de ângulo, pode-se assumir que θ e θ são pequenos (pêndulo na posição vertical): sin θ = θ ; cos θ = 1 ; θ 2, θ 2, θ θ, θ θ 0 V = mg ; H = mÿ + ml θ Mÿ = u mÿ ml θ ml 2 θ ) = mglθ + mglθ (mÿ + ml θ l Re-escrevendo (e cancelando m e l na 2a. eq.): (M + m) ÿ + ml θ = u 2l θ 2gθ + ÿ = 0 pag.26 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

27 Descrição Matemática de Sistemas Transformada de Laplace (condições iniciais nulas): (M + m) s 2 Y (s) + mls 2 Θ(s) = U(s) ( 2ls 2 2g ) Θ(s) + s 2 Y (s) = 0 G yu (s) = Y (s) U(s) = 2ls 2 2g ] s [(2M 2 + m)ls 2 2g(M + m) G θu (s) = Θ(s) U(s) = 1 (2M + m)ls 2 2g(M + m) pag.27 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

28 Descrição Matemática de Sistemas Definindo x 1 = y, x 2 = ẏ, x 3 = θ, x 4 = θ [ ] x x 1 x 2 x 3 x 4 Resolvendo as equações para ÿ e θ: ÿ = 2gm 2M + m θ + 2 2M + m u θ = 2g(M + m) (2M + m)l θ 1 (2M + m)l u pag.28 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

29 Descrição Matemática de Sistemas Equações de Estado ẋ = mg 2M + m g(M + m) (2M + m)l 0 x M + m 0 1 (2M + m)l u y = [ ] x pag.29 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

30 Descrição Matemática de Sistemas Conexão em paralelo: u 1 S 1 y 1 u + y = y 1 + y 2 u 2 S 2 y 2 pag.30 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

31 Conexão em cascata: Descrição Matemática de Sistemas u 1 y 2 S 1 S 2 y 1 = u 2 Conexão com realimentação: u + u 1 y 1 S 1 y y 2 S 2 u 2 pag.31 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

32 Representação em Espaço de Estados S 1 S 2 ẋ 1 = A 1 x 1 + B 1 u 1 y 1 = C 1 x 1 + E 1 u 1 ẋ 2 = A 2 x 2 + B 2 u 2 y 2 = C 2 x 2 + E 2 u 2 Conexão em paralelo: ẋ1 ẋ 2 = A A 2 x 1 x 2 + B 1 B 2 u y = [ ] C 1 C 2 x 1 x 2 + (E 1 + E 2 )u pag.32 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

33 Representação em Espaço de Estados Conexão em cascata: ẋ1 ẋ 2 = A 1 0 B 2 C 1 A 2 x 1 x 2 + B 1 B 2 E 1 u y = [ ] E 2 C 1 C 2 x 1 x 2 + E 2 E 1 u pag.33 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

34 Representação em Espaço de Estados Conexão com realimentação: Escreva as relações entrada-saída... Veja: u 1 = u y 2 = u C 2 x 2 E 2 u 2 = u C 2 x 2 E 2 y 1 = u C 2 x 2 E 2 [C 1 x 1 + E 1 u 1 ] = u C 2 x 2 E 2 C 1 x 1 E 2 E 1 u 1 ou (I + E 2 E 1 ) u 1 = u C 2 x 2 E 2 C 1 x 1, define-se: L 1 (I + E 2 E 1 ) 1 u 1 = L 1 u L 1 C 2 x 2 L 1 E 2 C 1 x 1 pag.34 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

35 Representação em Espaço de Estados Então substituindo u 1 : ẋ 1 = A 1 x 1 + B 1 L 1 u B 1 L 1 C 2 x 2 B 1 L 1 E 2 C 1 x 1 = (A 1 B 1 L 1 E 2 C 1 ) x 1 B 1 L 1 C 2 x 2 + B 1 L 1 u pag.35 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

36 Representação em Espaço de Estados Repetindo os mesmos passos para u 2 : u 2 = y 1 = C 1 x 1 + E 1 u 1 = C 1 x 1 + E 1 (u y 2 ) = C 1 x 1 + E 1 (u C 2 x 2 E 2 u 2 ) = C 1 x 1 + E 1 u E 1 C 2 x 2 E 1 E 2 u 2 ou (I + E 1 E 2 ) u 2 = C 1 x 1 + E 1 u E 1 C 2 x 2, define-se: L 2 (I + E 1 E 2 ) 1 u 2 = L 2 C 1 x 1 + L 2 E 1 u L 2 E 1 C 2 x 2 pag.36 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

37 Representação em Espaço de Estados Então substituindo u 2 : ẋ 2 = A 2 x 2 + B 2 L 2 C 1 x 1 + B 2 L 2 E 1 u B 2 L 2 E 1 C 2 x 2 = (A 2 B 2 L 2 E 1 C 2 ) x 2 + B 2 L 2 C 1 x 1 + B 2 L 2 E 1 u em relação a y: y = y 1 = C 1 x 1 + E 1 (u y 2 ) = C 1 x 1 + E 1 u E 1 C 2 x 2 E 1 E 2 y (I + E 1 E 2 ) y = C 1 x 1 + E 1 u E 1 C 2 x 2 y = L 2 C 1 x 1 + L 2 E 1 u L 2 E 1 C 2 x 2 pag.37 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

38 Representação em Espaço de Estados Conexão com realimentação: >< 4 ẋ1 ẋ 2 5 = 4 A 1 B 1 L 1 E 2 C 1 B 1 L 1 C 2 B 2 L 2 C 1 A 2 B 2 L 2 E 1 C x 1 x B 1L 1 B 2 L 2 E 1 5 u >: y = h L 2 C 1 2 i L 2 E 1 C 2 4 x 1 x L 2 E 1 u L 1 (I + E 2 E 1 ) 1 ; L 2 (I + E 1 E 2 ) 1, L 1 e L 2 devem existir pag.38 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3

39 Representação na Freqüência Faça: G 1 (s) S 1 e G 2 (s) S 2 Conexão em paralelo: G 1 (s) + G 2 (s) Conexão em cascata: G 2 (s)g 1 (s) Conexão com realimentação: Sejam G 1 (s) e G 2 (s) matrizes racionais próprias de S 1 e de S 2. Então, se det(i q + G 1 G 2 ) 0 (condição necessária para a conexão) G(s) = G 1 (s)(i p + G 2 (s)g 1 (s)) 1 = (I q + G 1 (s)g 2 (s)) 1 G 1 (s) pag.39 Teoria de Sistemas Lineares Aula 3