Sistemas de Controle

Transcrição

1 Sistemas de Controle Adriano Almeida Gonçalves Siqueira Aula 2 - Transformada de Laplace e Função Transferência Sistemas de Controle p. 1/27

2 Função Impulso Unitário Função pulso com área unitária: f(t) = 1 t 0 se 0 < t < t 0 0 se t < 0, t > t 0 Se t 0 0, temos o impulso unitário ou delta de Dirac, δ(t). Propriedades: δ(t)dt = 1 e f(τ)δ(t τ)dτ = f(t) Sistemas de Controle p. 2/27

3 Função Degrau Unitário Função Degrau Unitário: µ(t) = 0 se t < 0 1 se t (t) t (s) Sistemas de Controle p. 3/27

4 Variável complexa s = σ + jω Transformada de Laplace de uma função f(t) L[f(t)] = F(s) = 0 f(t)e st dt Sistemas de Controle p. 4/27

5 Exemplos: Função impulso unitário: δ(t) Função degrau: aµ(t) Função rampa: bt Função seno: sen(wt) Sistemas de Controle p. 5/27

6 Propriedades Superposição (linearidade) L[αf 1 (t) + βf 2 (t)] = αf 1 (s) + βf 2 (s) Atraso de tempo: f 1 (t) = f(t λ) com λ > 0 F 1 (s) = e sλ F(s) Sistemas de Controle p. 6/27

7 Propriedades Multiplicação por e at : f 1 (t) = e at f(t) Diferenciação F 1 (s) = F(s + a) L[ f] = sf(s) f(0) L[ f] = s 2 F(s) sf(0) f(0) Sistemas de Controle p. 7/27

8 Propriedades Multiplicação pelo tempo: f 1 (t) = tf(t) F 1 (s) = L[tf(t)] = d ds F(s) Sistemas de Controle p. 8/27

9 Transformação inversa de Laplace: Dada por: L 1 [F(s)] = f(t) f(t) = 1 2πj σ+j σ j F(s)e st ds Sistemas de Controle p. 9/27

10 Expansão em frações parciais F(s) = b 1s m + b 2 s m b m s + b m+1 s n + a 1 s n a n 1 s + a n (s zi ) F(s) =K (s pi ) z i : zeros de F(s) p i : pólos de F(s) Sistemas de Controle p. 10/27

11 Expansão em frações parciais F(s) = C 1 s p 1 + C 2 s p C n s p n (s p 1 )F(s) =C 1 + (s p 1) s p 2 C (s p 1) s p n C n Fazendo s = p 1 C 1 = (s p 1 )F(s) s=p1 Sistemas de Controle p. 11/27

12 Expansão em frações parciais Função no tempo C i = (s p i )F(s) s=pi f(t) = n i=1 C i e p it Exemplos Sistemas de Controle p. 12/27

13 Considere o seguinte sistema mecânico: Sistemas de Controle p. 13/27

14 Equação do movimento Mÿ(t) + Bẏ(t) + Ky(t) = u(t) sendo M a massa, B a constante do amortecedor, K a constante de rigidez da mola Sistemas de Controle p. 14/27

15 Aplicando a propriedade da diferenciação (com condições iniciais nulas) Ms 2 Y (s) + BsY (s) + KY (s) = U(s) Exemplo s 2 Y (s) + 5sY (s) + 4Y (s) = U(s) (s 2 + 5s + 4)Y (s) = U(s) Sistemas de Controle p. 15/27

16 Condições iniciais nulas (y(0) = 0, ẏ(0) = 0) Entrada exponencial: u(t) = 2e 2t U(s) = 2 s + 2 Resolvendo para Y (s) Y (s) = 2 (s + 2)(s 2 + 5s + 4) = 2 (s + 2)(s + 1)(s + 4) Sistemas de Controle p. 16/27

17 Expansão em frações parciais Y (s) = 1 (s + 2) + 2/3 (s + 1) + 1/3 Resposta no tempo y(t) = 1e 2t e t e 4t (s + 4) Sistemas de Controle p. 17/27

18 Teorema do valor final: se todos os pólos de sy (s) estão no semiplano esquerdo do plano s, então lim t y(t) = lim s 0 sy (s) Exemplos Sistemas de Controle p. 18/27

19 Teorema do valor inicial: para qualquer função Y(s) y(0 + ) = lim s sy (s) Exemplo Sistemas de Controle p. 19/27

20 Resposta por Convolução Sistemas lineares Princípio da Superposição A resposta de um sistema LIT (linear invariante no tempo) pode ser expressa pela convolução da entrada com a resposta ao impulso unitário Sistemas de Controle p. 20/27

21 Resposta por Convolução Princípio da Superposição Entrada: u(t) = α 1 u 1 (t) + α 2 u 2 (t) Saída: y(t) = α 1 y 1 (t) + α 2 y 2 (t) Sistemas de Controle p. 21/27

22 Resposta por Convolução Entrada u(t) como soma de impulsos. Propriedade do Impulso - Slide 2. u(t) = u(τ)δ(t τ)dτ Resposta do sistema em t para um impulso unitário aplicado em τ h(t, τ) Sistemas de Controle p. 22/27

23 Resposta por Convolução Resposta total do sistema (integral de superposição) y(t) = u(τ)h(t, τ)dτ Se o sistema é LIT: h(t, τ) = h(t τ) Sistemas de Controle p. 23/27

24 Resposta por Convolução Integral de convolução (y = u h) ou y(t) = y(t) = u(τ)h(t τ)dτ u(t τ)h(τ)dτ signals/convolve/ Sistemas de Controle p. 24/27

25 Função Transferência Propriedade da convolução L[y(t)] = L[h(t) u(t)] = H(s)U(s) Y (s) = H(s)U(s) Se u(t) = δ(t) U(s) = 1 Y (s) = H(s) Sistemas de Controle p. 25/27

26 Função Transferência Sistema massa-mola-amortecedor: Ms 2 Y (s) + BsY (s) + KY (s) = U(s) Função Transferência, H(s) Y (s) = 1 Ms 2 + Bs + K U(s) H(s) = 1 Ms 2 + Bs + K Sistemas de Controle p. 26/27

27 Função Transferência Exemplo H(s) = 1 s 2 + 5s + 4 = 1 (s + 1)(s + 4) Resposta ao impulso y(t) = 1 3 e t 1 3 e 4t Sistemas de Controle p. 27/27