EN2607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares 2 2 quadrimestre 2011

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1 EN607 Transformadas em Sinais e Sistemas Lineares Lista de Exercícios Suplementares quadrimestre 0 (P-0003D) (HAYKIN, 00, p 9) Use a equação de definição da TF para obter a representação no domínio da frequência do sinal seguinte Esboce os espectros de magnitude e fase jω Resposta: X( jω) ( cos( ω) ) (P-0003D) (HSU, 00, p 6) Usando as propriedades da transformada de Fourier e as tabelas em anexo, encontre a transformada de Fourier do sinal de pulso triangular mostrado na figura a seguir

2 Resposta: A sin ωd dω 3 (P-0003D) (LATHI, 007, p 67) Um sistema LIT é especificado pela resposta em frequência: ( ω) H j (a) Obtenha a resposta ao impulso desse sistema jω+ () t (b) Obtenha a resposta (estado nulo) desse sistema se a entrada x( t ) for e u( t) Respostas: (a) t e ut (); (b) yt () e e ut () + (P-0003D) (OPPENHEIM, 00, p 9) A saída y( t) de um sistema LIT causal está relacionada à entrada x( t ) pela equação diferencial: (a) Determine a resposta em frequência dy t dt + y t x t () ( ω) H j do sistema e esboce seu diagrama de Bode 5t (b) Se x( t) e u( t), determine ( ω) ( ω) Y j (3) X j Y jω, a transformada de Fourier da saída (c) Usando a técnica de expansão em frações parciais, determine a saída y( t ) para a entrada x( t ) do item (b) Respostas: (a) H(jω) jω+ ; (b) Y( jω) ; (c) t yt e 5 ( jω+ ) ( jω+ 5) t () e ut () (P-0003D) (GIROD et al, 003, p 69) Um sistema causal é dado pela equação diferencial: dy t dy t dx t dx t y( t) x( t) dt dt + + dt + dt + () (a) Determine a sua função de transferência H( s ) e esboce os diagramas de polos e zeros do sistema (b) O sistema é estável? Justifique

3 Respostas: (a) s + s+ Hs () ; (b) Sim s + s+ 6 (P-0003N) (HAYKIN, 00, p 9) Use a equação de definição da TF para obter a representação no domínio da frequência do sinal seguinte Esboce os espectros de magnitude e fase 3t x t e u t (5) Resposta: X( jω) 3 jω e jω+ 3 7 (P-0003N) (HSU, 00, p 6) Encontre a transformada de Fourier inversa de: (6) ω + j3ω ( ω) X j Resposta: xt () e e ut () 8 (P-0003N) (OPPENHEIM, 00, p 00) Um sistema LIT causal e estável S tem resposta em frequência: jω+ (7) 6 ω + 5jω ( ω) H j (a) Determine uma equação diferencial relacionando a entrada x( t ) com a saída y( t ) de S (b) Determine a resposta ao impulso h( t ) de S (c) Qual é a saída de S quando a entrada é t x t e u t te u t? (8) Respostas: (a) dyt () dyt () dxt () 5 6() yt () xt dt dt dt t ut (); (c) ; (b) h( t) e e X(jω) jω+ 3 ( jω+ ) 9 (P-0003N) (HSU, 00, p 66) Considere o filtro RC mostrado na figura a seguir Encontre a resposta em frequência H( jω ) desse filtro e discuta o tipo de filtro 3

4 C x( t ) R y( t ) Resposta: H( jω) jωrc ; filtro passa-altas + jωrc 0 (P-0003N) (HAYKIN, 00, p 9) Use o método das frações parciais para encontrar os sinais laterais direitos correspondentes à seguinte transformada de Laplace: Resposta: 3t xt () 3e ut () s (9) + + s 5s 6 X s (P-000D) (OPPENHEIM et al, 00, p 95) Considere o sinal: 0, t< x( t) t+, t, t> (0) (a) Use as propriedades de diferenciação e integração da Tabela e o par transformado de Fourier do pulso retangular da Tabela para encontrar uma expressão fechada para X( jω )? (b) Qual é a transformada de Fourier de g( t) x( t) ω sin Respostas: (a) X( jω) + πδ( ω) ; (b) G( jω) jω ω sin jω (P-000D) (LATHI, 007, p 67) Os sinais g( t) 0 rect( 0t) são aplicados às entradas dos filtros passa-baixas ideais H ( jω) e g ( t) δ( t) ω rect 0000 π e

5 ω H( jω) rect 0000 π (veja diagrama abaixo) As saídas y( t ) e y t desses filtros são multiplicadas obtendo-se o sinal y( t) y( t) y ( t) (a) Esboce H( jω ) e H jω ; (b) Esboce G( jω ) e G jω ; (c) Encontre as larguras de banda de y( t ), y( t ) e y t Observações: i) A função rect( x ) é definida como um pulso retangular de altura e comprimento unitários centrado na origem, ou seja, rect ( x) 0, x >, x < Note que um pulso de largura τ pode ser expresso como rect x τ ii) Neste exercício, use uma aproximação para a largura de banda: considere-a como a menor frequência positiva em que o módulo do espectro do sinal se anula 5ω sin ; ; (c) By 0000 π; By 0000 π; By 30000π ω Respostas: (b) G( jω) G ( jω) 3 (P-000D) (OPPENHEIM et al, 00, p 9) Esboce os diagramas de Bode para a seguinte resposta em frequência: jω + 0 () + jω (P-000D) (HSU, 00, p 35) Encontre a transformada de Laplace inversa da seguinte X( s ): 5

6 s+, Re > s + s+ 3 { s} X s 3t Resposta: x( t) ( e e ) u( t) + () 5 (P-000D) (HSU, 00, p 3) Considere um sistema LIT de tempo contínuo para o qual a entrada x( t ) e a saída y( t ) se relacionam por: (a) Encontre a função de transferência H( s ); dyt () dyt () + y( t) x( t) (3) dt dt (b) Determine a resposta ao impulso h( t ) sabendo que o sistema é causal; (c) Determine a resposta ao impulso h( t ) sabendo que o sistema é estável; (d) Determine a resposta ao impulso h( t ) sabendo que o sistema não é causal nem estável t Respostas: (a) H( s) ; (b) h( t) e e u( t) + s s t t eu( ) e u( t) ; (d) h( t) eu( t) e u( t) h t ; (c) (P-000N) (HSU, 00, p 38) Encontre a transformada de Fourier do sinal a seguir e esboce o seu espectro X jω a a Resposta: ω + at, a 0 x t e > () 7 (P-000N) (OPPENHEIM et al, 00, p 89) (a) Use as Tabelas e para ajudá-lo a determinar a transformada de Fourier do seguinte sinal sint x( t) t πt (5) (b) Use a relação de Parseval e o resultado do item anterior para determinar o valor numérico de sint A t dt (6) πt 6

7 Respostas: (a) X( jω) j, < ω 0 π,0 j < ω< π ; (b) A 3 8 (P-000N) (OPPENHEIM et al, 00, p 95) Um sistema LIT de tempo contínuo S com resposta em frequência H( jω ) é construído pela cascata de dois sistemas LIT de π tempo contínuo com respostas em frequência H( jω ) e H jω, respectivamente As figuras a seguir mostram as aproximações por segmentos de reta dos diagramas de Bode de magnitude de H( jω ) e H( jω ), respectivamente Especifique H jω Resposta: H ( jω) ω + j 0 0 ω + j + 8 ( jω) 9 (P-000N) (HSU, 00, p 8) Encontre a transformada de Laplace X( s ) e faça o gráfico dos polos, zeros e RDC para o seguinte sinal x( t ): Resposta: X( s) s ( s )( s 3) t 3t x t e u t + e u t (7) 7

8 0 (P-000N) (HSU, 00, p 55) Encontre a saída y( t ) do sistema LIT de tempo contínuo com: para cada uma das seguintes entradas: (a) x( t) e u( t) h t e u t (8) (b) x( t) e u( t) Respostas: (a) y( t) ( e e ) u( t) ; (b) y( t) e u( t) e u( t) + (OPPENHEIM et al, 997, p 33) Use a equação da análise da transformada de Fourier para calcular as transformadas de Fourier de: (a) e u t (b) t e Respostas: no livro (OPPENHEIM et al, 997, p 33) Determine a transformada de Fourier de cada um dos seguintes sinais periódicos: π (a) sin πt+ π (b) + cos 6πt+ 8 Respostas: no livro 3 (OPPENHEIM et al, 997, p 337) Considere o sinal: x t (a) Determine g( t ) tal que π sin k π δ t k (9) k π k sint πt g( t) x t (0) 8

9 (b) Use a propriedade da multiplicação da transformada de Fourier para mostrar que X( jω ) é periódica Especifique X( jω ) em um período Respostas: no livro (OPPENHEIM et al, 997, p 83) Considere um sistema LIT de tempo contínuo com j H( jω) resposta em frequência H( jω) H( jω) e e resposta ao impulso real h( t ) Suponha que seja aplicada uma entrada x( t) cos( ωt φ) + a este sistema Pode-se mostrar que a saída resultante é da forma 0 0 y( t) Ax( t t 0 ) () em que A é um número real não negativo representando um fator de escala em amplitude e t é um atraso 0 (a) Expresse A em termos de H( jω 0) (b) Expresse 0 Respostas: no livro t em termos de H jω 0 5 (OPPENHEIM et al, 997, p 8) Considere um filtro passa-bandas ideal de tempo contínuo cuja resposta em frequência é: ( ω) H j, ω ω 3ω c c () 0, caso contrário (a) Se h( t ) é a reposta ao impulso deste filtro, determine uma função g( t ) tal que: sinω c t πt g( t) h t (3) (b) Quando ω cresce, a resposta ao impulso do filtro torna-se mais ou menos concentrada em c torno da origem? Respostas: no livro 6 (OPPENHEIM et al, 997, p 85) Para cada um dos sistemas de primeira ordem a seguir, especifique a aproximação por retas do diagrama de Bode de magnitude: jω 0, (a) 0 + (b) jω+ 0 Respostas: no livro jω 50 0,0 + jω+ 0, 7 (OPPENHEIM et al, 997, p 7) Para a transformada de Laplace de: 9

10 x t t e sin, t t 0 0, t > 0 indique a localização dos polos e zeros e a região de convergência Respostas: no livro () 8 (OPPENHEIM et al, 997, p 7) Dado que: at e u t, Re s Re a s+ a L { } > { } determine a transformada de Laplace inversa de Respostas: no livro X s ( s+ ), Re{ s} > 3 s + 7s+, (5) (6) 9 (OPPENHEIM et al, 997, p 73) Suponha que sejam dados os seguintes fatos sobre o sinal x( t ) e sua transformada de Laplace X( s ): x( t ) é real e par X( s ) tem quatro polos e nenhum zero no plano-s finito π j X s tem um polo em s e 3 x( t) dt Determine X( s ) e sua RDC Respostas: no livro 30 (OPPENHEIM et al, 997, p 73) Considere dois sinais laterais direitos x( t ) e y( t ) e relacionados por meio das equações diferenciais: dx t dt δ y t + t (7) dy t Determine Y( s ) e X( s ) e as respectivas RDCs Respostas: no livro dt x t (8) 0