Parte I O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre (Parte II)

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1 Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas o teste 4 de Novembro de 0 Nome: Número: Duração da prova: horas Parte I O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre (Parte II) Nos problemas de resposta múltipla as respostas têm cotações tais que o valor médio da cotação de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema não for respondido tem cotação de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cotação será a soma das cotações das respostas escolhidas. Problema ( val): Considere o sinal contínuo { 0 ; t > = e (t+) ; t Seleccione a sua componente ímpar. e( t+) ; t i) x i (t) = 0 ; < t < e(t+) ; t iii) x i (t) = ii) x i (t) = e (t+) + e ( t+)] iv) x i (t) =. e( t+) ; t 0 ; < t < e(t+) ; t e (t+) e ( t+)] Problema ( val): Seleccione a expressão matemática que descreve o sinal contínuo representado na Figura. t Figura : i) = tu (t + ) + tu (t) u (t ) + u (t ) ii) = (t + )u (t + ) tu (t) 4u (t ) + u (t ) iii) = u (t + ) + 4u (t + ) tu (t) + (t )u (t ) Problema 3 (.5 val): Seja { x(n + ) ; n 0 y(n) = x(n ) ; n a saída de um sistema discreto ao sinal de entrada x(n). O sistema é invertível? não, um contra-exemplo é: x (n) = δ(n ) i) x (n) = δ(n + ) sim, o sistema inverso é: i) x(n) = { y(n ) ; n 0 y(n + ) ; n ii) x(n) = ii) x (n) = u (n ) x (n) = u (n + ) { y(n + ) ; n 0 y(n ) ; n v.s.f.f.

2 Problema 4 (.5 val): Seja h(n) = ( ) n u (n ) 5 a resposta impulsional de um sistema linear e invariante no tempo. (0.5 val) a) O sistema é estável? Sim Não (0.5 val) b) O sistema é causal? Sim Não (.5 val) c) Seleccione a resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário. i) y(n) = 5 4 ( ) ] n ( n 5 ii) y(n) = u (n ) 5) iii) y(n) = 5 4 n iv) y(n) = 5 4 ( ) ] n u (n ) 5 Problema 5 ( val): Seja y(t) = e 3t u (t) + 4e 4t u ( t) a resposta no tempo de um sistema linear e invariante no tempo ao sinal de entrada Seleccione a função de transferência do sistema. ( val) a) Expressão algébrica: = e 4t u ( t). i) H(s) = s + 3 ii) H(s) = s + 0 s 4 s + 0 iii) H(s) = s + 0 iv) H(s) = s + 3 s + 0 s 4 ( val) b) Região de convergência: i) Re(s) > 4 ii) Re(s) > 3 iii) Re(s) > 0 iv) Re(s) < 4 v) Re(s) < 3 vi) Re(s) < 0 Problema 6 ( val): Considere o sinal contínuo Seleccione a transformada de Laplace do sinal ( val) a) Expressão algébrica: = e 3t u (t). y(t) = x(3t ). i) Y (s) = e s/3 ii) Y (s) = e s 9 s/3 s + 9 iii) Y (s) = e s s 9 iv) Y (s) = e s s + 9 ( val) b) Região de convergência: i) Re(s) < 9 ii) Re(s) < 9 iii) Re(s) > 9 iv) Re(s) > 9

3 Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas o teste 4 de Novembro de 0 Duração da prova: horas Nome: Número: Parte II O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolução livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os cálculos efectuados. Problema 7 (5 val): Considere o sistema representado na Figura. z(t) + w(t) S y(t) + Sabe-se que:. O sinal Figura : z(t) = u (t + ) + u (t).. A relação entrada/saída do sistema S é w(t) = x(t + ). Bloco I Considere o sistema S. (.5 val) a) Diga, justificando, se este sistema é. sem memória,. causal, 3. invariante no tempo, 4. linear, 5. estável. Bloco II: Considere agora o sistema dado pelo diagrama de blocos representado na Figura. (0.5 val) b) Obtenha a relação entrada/saída do sistema. Justifique a resposta. (0.5 val) c) Classifique o sistema quanto à linearidade. Justifique a resposta. (.5 val) d) Esboce a resposta no tempo do sistema, sinal y(t), ao sinal de entrada representado na Figura 3. Justifique a resposta. 0 Figura 3: t v.s.f.f. 3

4 Problema 8 (5 val): Considere o sistema representado na Figura 4. Os blocos SLIT e SLIT representam w(t) SLIT y(t) SLIT Figura 4: sistemas lineares e invariantes no tempo. Sabe-se o seguinte:. O SLIT é causal, sendo descrito pela equação diferencial em que a e b representam constantes reais. d w(t) + aw(t) = b, dt. Com condição inicial w(0) = 5, a resposta no tempo do sistema SLIT ao sinal de entrada = e t u (t) é w(t) = e t u (t) + 4e 3t u (t). 3. A resposta impulsional do SLIT é h (t) = δ(t) + ce t u (t), em que c é uma constante real. 4. Com condições iniciais nulas, o valor final da resposta do sistema constituído pelos dois sistemas em série ao sinal de entrada = u (t) é lim y(t) =. t + (.5 val) a) Determine os parâmetros a e b que caracterizam a equação diferencial que descreve o SLIT, e obtenha a correspondente função de transferência do SLIT. Justifique a resposta. (0.5 val) b) Classifique o SLIT em relação à estabilidade. Justifique a resposta. ( val) c) Determine, em função do parâmetro c, a função de transferência do SLIT. Não se esqueça de indicar a respectiva região de convergência. Justifique a resposta. ( val) d) Classifique o SLIT quanto à estabilidade e causalidade. Justifique a resposta. ( val) e) Determine a função de transferência, H(s), da série dos dois sistemas. Não se esqueça de indicar a respectiva região de convergência e de determinar o parâmetro c que caracteriza a resposta impulsional do SLIT. Justifique a resposta. Nota: Se na alínea a) não determinou os parâmetros a e b, nas alíneas b) e e) considere a = 4 e b =. 4

5 Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas o teste 4 de Novembro de 0 Nome: Número: Duração da prova: horas Parte I O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre (Parte II) Nos problemas de resposta múltipla as respostas têm cotações tais que o valor médio da cotação de respostas dadas ao acaso seja zero. Se o problema não for respondido tem cotação de zero. Se for escolhida mais de uma resposta, a cotação será a soma das cotações das respostas escolhidas. Problema ( val): Considere o sinal contínuo { 0 ; t > = e (t+) ; t Seleccione a sua componente par. e( t+) ; t i) x p (t) = 0 ; < t < e(t+) ; t iii) x p (t) = ii) x p (t) = e (t+) + e ( t+)] iv) x p (t) =. e( t+) ; t 0 ; < t < e(t+) ; t e (t+) e ( t+)] Problema ( val): Seleccione a expressão matemática que descreve o sinal contínuo representado na Figura. t Figura : i) = u (t + ) + u (t + ) tu (t) + u (t ) ii) = (t + )u (t + ) tu (t) 4u (t ) + u (t ) iii) = u (t + ) + 4u (t + ) tu (t) + (t )u (t ) Problema 3 (.5 val): Seja { x(n ) ; n 0 y(n) = x(n + ) ; n a saída de um sistema discreto ao sinal de entrada x(n). O sistema é invertível? não, um contra-exemplo é: x (n) = δ(n ) i) x (n) = δ(n + ) sim, o sistema inverso é: i) x(n) = { y(n ) ; n 0 y(n + ) ; n ii) x(n) = ii) x (n) = u (n ) x (n) = u (n + ) { y(n + ) ; n 0 y(n ) ; n v.s.f.f.

6 Problema 4 (,5 val): Seja h(n) = ( ) n+ u (n + ) 5 a resposta impulsional de um sistema linear e invariante no tempo. (0.5 val) a) O sistema é estável? Sim Não (0.5 val) b) O sistema é causal? Sim Não (.5 val) c) Seleccione a resposta no tempo do sistema ao sinal de entrada escalão unitário. i) y(n) = 5 ( ) ] n+ 4 5 iii) y(n) = u (n + ) ii) y(n) = 5 4 n ( ) n+ u (n + ) iv) y(n) = 5 5 ( n+] 4 5) Problema 5 ( val): Seja y(t) = e 3t u (t) + 4e 4t u ( t) a resposta no tempo de um sistema linear e invariante no tempo ao sinal de entrada Seleccione a função de transferência do sistema. ( val) a) Expressão algébrica: = e 3t u (t). i) H(s) = s + 3 ii) H(s) = s + 0 s 4 s + 0 iii) H(s) = s + 0 iv) H(s) = s + 3 s + 0 s 4 ( val) b) Região de convergência: i) Re(s) > 4 ii) Re(s) > 3 iii) Re(s) > 0 iv) Re(s) < 4 v) Re(s) < 3 vi) Re(s) < 0 Problema 6 ( val): Considere o sinal contínuo Seleccione a transformada de Laplace do sinal ( val) a) Expressão algébrica: = e 3t u ( t). y(t) = x(3t + ). i) Y (s) = e s/3 ii) Y (s) = e s 9 s/3 s + 9 iii) Y (s) = e s s 9 iv) Y (s) = e s s + 9 ( val) b) Região de convergência: i) Re(s) < 9 ii) Re(s) < 9 iii) Re(s) > 9 iv) Re(s) > 9

7 Instituto Superior Técnico Sinais e Sistemas o teste 4 de Novembro de 0 Duração da prova: horas Nome: Número: Parte II O teste tem uma parte de resposta múltipla (Parte I) e uma parte de resolução livre (Parte II) Resolva cada um dos problemas de resolução livre em folhas de teste separadas. Justifique cuidadosamente a sua resposta e apresente todos os cálculos efectuados. Problema 7 (5 val): Considere o sistema representado na Figura. z(t) + w(t) S y(t) + Sabe-se que:. O sinal Figura : z(t) = u (t + ) u (t ).. A relação entrada/saída do sistema S é ( ) w(t) = x t. Bloco I: Considere o sistema S. (.5 val) a) Diga, justificando, se este sistema é. sem memória,. causal, 3. invariante no tempo, 4. linear, 5. estável. Bloco II: Considere agora o sistema dado pelo diagrama de blocos representado na Figura. (0.5 val) b) Obtenha a relação entrada/saída do sistema. Justifique a resposta. (0.5 val) c) Classifique o sistema quanto à linearidade. Justifique a resposta. (.5 val) d) Esboce a resposta no tempo do sistema, sinal y(t), ao sinal de entrada representado na Figura 3. Justifique a resposta. 0 t Figura 3: v.s.f.f. 3

8 Problema 8 (5 val): Considere o sistema representado na Figura 4. Os blocos SLIT e SLIT representam w(t) SLIT y(t) SLIT Figura 4: sistemas lineares e invariantes no tempo. Sabe-se o seguinte:. O SLIT é causal, sendo descrito pela equação diferencial em que a e b representam constantes reais. d w(t) + aw(t) = b, dt. Com condição inicial w(0) =, a resposta no tempo do sistema SLIT ao sinal de entrada = e 3t u (t) é w(t) = 4e t u (t) e 3t u (t). 3. A resposta impulsional do SLIT é h (t) = δ(t) + ce 4t u (t), em que c é uma constante real. 4. Com condições iniciais nulas, o valor final da resposta do sistema constituído pelos dois sistemas em série ao sinal de entrada = u (t) é lim y(t) =. t + (.5 val) a) Determine os parâmetros a e b que caracterizam a equação diferencial que descreve o SLIT, e obtenha a correspondente função de transferência do SLIT. Justifique a resposta. (0.5 val) b) Classifique o SLIT em relação à estabilidade. Justifique a resposta. ( val) c) Determine, em função do parâmetro c, a função de transferência do SLIT. Não se esqueça de indicar a respectiva região de convergência. Justifique a resposta. ( val) d) Classifique o SLIT quanto à estabilidade e causalidade. Justifique a resposta. ( val) e) Determine a função de transferência, H(s), da série dos dois sistemas. Não se esqueça de indicar a respectiva região de convergência e de determinar o parâmetro c que caracteriza a resposta impulsional do SLIT. Justifique a resposta. Nota: Se na alínea a) não determinou os parâmetros a e b, nas alíneas b) e e) considere a = 3 e b = 4. 4