Sinais e Sistemas - Lista 3

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1 UNIVERSIDADE DE BRASÍLIA, FACULDADE GAMA Sinais e Sistemas - Lista 3 7 de novembro de 0. Calcule a Transformada de Fourier dos seguintes sinais: a) x[n] = ( n ) u[n ] b) x[n] = ( ) n c) x[n] = u[n ] u[n 6] d) x[n] = sin ( π n) + cos(n) e) x[n] = sin ( π 3 n) + cos ( 7π 3 n). Calcule a Transformada Inversa de Fourier dos seguintes sinais:, π a) X (e j Ω 4 ) = Ω 3π 4 3π 0, 4 Ω π,0 Ω < π 4 b) X (e j Ω ) = + 3e j Ω + e j Ω 4e j 3Ω j 0Ω + e c) X (e j Ω ) = e j Ω, π Ω π d) X (e j Ω ) = cos Ω + sin 3Ω e) X (e j Ω ) = 3 e j Ω 4 e j Ω 8 e j Ω f) X (e j Ω ) = ( ) 6e j 6Ω 3 3 e j Ω 3. Um sistema LIT S causal e estável tem a propriedade ( ) 4 n ( ) 4 n u[n] n u[n] a. Determine a resposta em frequência H(e j Ω ) do sistema S.

2 b. Determine uma equação de diferenças relacionando qualquer entrada x[n] com a saída correspondente y[n]. 4. Determine quais (se algum) dos seguintes sinais têm transformadas de Fourier que satisfaçam a cada uma das seguintes condições: a. ReX (e j Ω ) = 0. b. ImX (e j Ω ) = 0. c. Existe um inteiro α tal que e j αω X (e j Ω ) seja real. π d. π X (e j Ω )dω = 0. e. X (e j Ω ) periódico. i. x[n] como na Figura a. ii. x[n] como na Figura b. iii. x[n] como na Figura c. iv. x[n] como na Figura d. v. x[n] = ( ) n u[n]. vi. x[n] = ( ) n.. a) Considere um sistema LIT de tempo discreto com resposta ao impulso h[n] = n u[n] Use a transformada de Fourier para determinar a resposta a cada um dos seguintes sinais de entrada: (i) x[n] = ( 3 4 )n u[n] (ii) x[n] = (n + )( 4 )n u[n] (iii) x[n] = ( ) n

3 b) Suponha que [( ) ( πn h[n] = cos ) ] u[n] Use a transformada de Fourier para determinar a resposta a cada uma das seguintes entradas: (i) x[n] = ( n ) u[n] (ii) x[n] = cos ( ) πn 6. Considere um sistema LIT causal descrito pela equação de diferenças y[n] + y[n ] = x[n] a) Determine a resposta em frequência H(e j Ω ) desse sistema. b) Qual é a resposta desse sistema às seguintes entradas? (i) x[n] = ( )n u[n] (ii) x[n] = ( )n u[n] (iii) x[n] = δ[n] δ[n ] 7. Para um sistema consistindo na cascata de dois sistemas LIT com respostas em frequência H (e j Ω ) = e j Ω e H (e j Ω ) = + e j Ω e j Ω + 4e j Ω a) Encontre a equação de diferenças descrevendo o sistema global. b) Determine a resposta ao impulso do sistema global. 8. Considere o sinal analógico x a (t) = 3cos(00πt) a) Determine a frequência de amostragem mínimo requerida para evitar aliasing. b) Suponha que o sinal é amostrado ao ritmo f s = 00Hz. Qual é o sinal discreto no tempo obtido após a amostragem? c) Suponha que o sinal é amostrado ao ritmo f s = 7Hz. Qual é o sinal discreto no tempo obtido após a amostragem?. d) Qual é a frequência 0 < f < f s / de uma sinusóide cujas amostras são idênticas ao sinal do item anterior? 9. A frequência que, sob o teorema de amostragem, precisa ser exdida pela frequência de amostragem é chamada de taxa de Nyquist. Determine a taxa de Nyquist correspondente a cada um dos seguintes sinais: 3

4 a. x(t) = + cos(000πt) + sin(4000πt) b. x(t) = sin(4000πt) c. x(t) = πt ( ) sin(4000πt) πt 0. A amostragem com trem de impulsos x[n] é usada para obter g [n] = k= x[n]δ[n kn ]. Se X (e kω ) = 0 para 3π/7 Ω π, determine o maior valor para o intervalo de amostragem N que garante que não haverá aliasing durante a amostragem de x[n].. Determine a transformada de Laplace de cada um dos sinais seguintes usando a equação de definição. a. x(t) = u(t ) b. x(t) = e t+ u(t) c. x(t) = sin(ω 0 t)u(t + ) d. x(t) = cos(ω 0 t)u(t 3) sin(πt), 0 < t < e. x(t) = 0, caso contrário. Use as propriedades da transformada de Laplace e a tabela de transformadas de Laplace básicas para determinar a transformada de Laplace unilateral de cada um dos seguintes sinais: a. x(t) = t e t u(t) b. x(t) = e t u(t)sin(3πt)u(t) c. x(t) = d dt tu(t) d. x(t) = t 0 e τ cos(3τ)dτ 3. Use o método das frações parciais para encontrar as seguintes transformadas de Laplace: a. X (s) = s 4 s +3s+ b. X (s) = s s +s+ c. X (s) = s+4 s 3 +3s +s d. X (s) = 3s +8s+ (s+)(s +s+) e. X (s) = 9 (s+)(s +s+0) 4. Use o método das frações parciais para determinar a Transformada Inversa de Fourier dos seguintes sinais: 4

5 a. X (e j Ω ) = 3 4 e j Ω 6 e j Ω + b. X (e j Ω ) = c. X (e j Ω ) = 3 4 e j Ω 8 e j Ω 3 4 e j Ω + 6 e j Ω e j Ω +6. (Computacional - aceito em Matlab, Scilab, Octave ou Python) Para um sinal de tempo discreto x[n] definido como: x[n] = e (0.n) /, n 0 0, caso contrário Use os comandos do MATLAB fft e fftshift para numericamente avaliar e plotar a Transformada Discreta de Fourier de x[n] e os seguintes sinais subamostrados em 00 valores de Ω no intervalo π Ω < π. a. y[n] = x[n] b. y[n] = x[4n] 6. (Computacional - aceito em Matlab, Scilab, Octave ou Python) Suponha que o sinal de tempo discreto ( π x[n] = e n/ sin 3 n + π ), 0 n 9 8 resulte da amostragem de um sinal de tempo contínuo a uma taxa de 4 khz. Plote o sinal de tempo discreto resultante da amostragem do sinal de tempo contínuo subjacente em 30 khz. (Dica: use o comando do MATLAB resample para efetuar a reamostragem).