I-7 Digitalização e Reconstrução

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1 I-7 Digitalização e Reconstrução (29 Novembro 2010) 1

2 Sumário 1. Teorema da Amostragem 1. Ritmo de Nyquist 2. Amostragem Ideal e Natural (análise no tempo e na frequência) 1. Sinais Passa Baixo 2. Sinais Passa Banda 3. Reconstrução 3. Sobreposição Espectral - Aliasing 4. Quantificação (uniforme) 1. Relação sinal/ruído de quantificação 5. Exercícios 2

3 1. Teorema da Amostragem Um sinal de banda limitada ( passa baixo ) que não tenha componentes espectrais com frequências superiores a f m (Hz) pode ser amostrado e perfeitamente reconstruído, usando um filtro passa baixo, a partir de amostras obtidas em intervalos regulares com frequência f s > 2 f m (amostras por segundo ou Hz) Ritmo de Nyquist (limite inferior para o valor da frequência de amostragem fs): f N = 2 f m 3

4 1. Teorema da Amostragem Sinal discreto é uma função real de variável inteira relativa O eixo dos tempos é discreto x[ n]: Z0 Os valores de amplitude de x[n] são obtidos por amostragem ao ritmo Fs (frequency of sampling), ou seja, a cada Ts (time of sampling) é obtida nova amostra Amostra x[1] corresponde a x(ts); amostra x[2] corresponde a x(2ts)... 4

5 2. Amostragem Ideal (Tempo) Sinal Amostrador Ideal Sinal Amostrado (Discreto) 5

6 2. Amostragem Ideal (Frequência) Sinal Amostrador Ideal Espectro do Sinal Amostrado Réplicas Espectrais 6

7 2. Amostragem Natural (Frequência) Espectro do Sinal Amostrador Real Onda quadrada com duty cycle a tender para zero A envolvente do espectro é uma função sinc Atenuação nas réplicas espectrais 7

8 2. Amostragem Natural (Tempo) Sinal Amostrador Real Onda quadrada com duty cycle a tender para zero Sinal Amostrado 8

9 2. Amostragem Ideal de Sinal Passa- Banda (Frequência) 9

10 2. Amostragem da sinusóide Espectro da sinusóide Sinal Amostrado Réplicas Espectrais 10

11 2. Filtro Reconstructor Real 11

12 2. Amostragem ao ritmo de Nyquist Filtro Reconstructor deve ser ideal! 12

13 3. Sobreposição Espectral - Aliasing Quando não se cumpre o ritmo de Nyquist, as réplicas espectrais sobrepõem-se O espectro fica distorcido devido ao aparecimento de novas frequências, designadas de alias Assim, é impossível reconstruir o sinal original 13

14 3. Sobreposição Espectral - Aliasing Sinusóide de 4 khz amostrada à frequência de 6 khz Frequência alias de 2 khz = 6 4 k Hz 14

15 3. Sobreposição Espectral - Aliasing A componente alias é inferior à frequência original Esta componente aparece na banda do filtro reconstructor 15

16 3. Sobreposição Espectral - Aliasing 16

17 3. Sobreposição Espectral - Aliasing Filtro anti-aliasing idealmente, é um filtro passa-baixo com frequência de corte F s /2 Remove as componentes acima do Ritmo de Nyquist 17

18 4. Quantificação (uniforme) Representação das amplitudes do sinal amostrado através de palavras binárias com n bit ( usando 2 n intervalos de igual dimensão uniforme ) Após a amostragem, realiza-se a quantificação (discretização das amplitudes) Com n bit por amostra temos 2 n intervalos Erro de quantificação 18

19 4. Quantificação Erro de Quantificação na conversão Analógico/Digital e ( t) x ( t) x ( t) q a q No máximo, o valor absoluto do erro de quantificação é metade da largura do intervalo Considerando que o erro de quantificação tem distribuição uniforme no intervalo de quantificação, temos q 2 q q 0 P e ( t) dt e ( t) dt e ( ) ( / 2 ) q t t t

20 4. Quantificação SNR Signal to Noise Ratio de Quantificação Mede o erro de quantificação Menor erro conduz a SNR mais elevada SNR 10log db 6,02n 10log n 10 10log log 10 2n 10 P 3 V P V P 3 V x 2 x 2 SNR x n com n o número de bits por amostra P x a potência do sinal quantificado P V V a amplitude máxima quantificável x 2 (valores possíveis do sinal entre +V e V) 20

21 4. Quantificação Por cada bit que se acrescenta ao conversor incrementa-se 6 db na SNR. Cada bit a mais por amostra conduz à duplicação do número de intervalos A duplicação do número de intervalos reduz para metade o erro de quantificação No formato CD Áudio: 16 bits => SNR 6*16 96 db (gama dinâmica do ouvido humano é aproximadamente 100 db) Exemplos CD Áudio: Digitalização de Fala: Fs=44100 Hz e n=16 bit/amostra Fs=8000 Hz e n=8 bit/amostra (Nota: Digitalização de Fala usa Quantificação não Uniforme) 21

22 5. Exercícios Seja x(t) = 2 cos(24000t) o sinal analógico presente na entrada de um conversor A/D. a) Indique as seguintes características do A/D: gama dinâmica (variação máxima de amplitude); frequência de amostragem Fs; número de bits por amostra n, sabendo que o máximo erro de quantização deverá ser, em valor absoluto e =125 mv. b) Nas condições da alínea anterior, indique o ritmo de transmissão binário necessário para transmitir, em tempo real, o sinal produzido pelo conversor A/D. 22

23 5. Exercícios Determinado sinal analógico passa-baixo x(t), com largura de banda 30 khz, foi amostrado com determinada frequência Fs obtendo-se uma sequência de amostras, tal que as primeiras quatro são: {0.6; 0.9; 0.3; 0.1}. a) Qual a gama de valores de Fs que possibilita recuperar x(t) a partir destas amostras? b) Suponha que estas amostras dão entrada num quantizador uniforme, com 4 intervalos, com gama dinâmica entre -1 e +1 Volt e codificação de intervalos em binário natural. i) Qual a sequência binária produzida na saída do quantizador? ii) Apresente o erro de quantização de cada uma das quatro amostras. c) Qual a relação sinal-ruído de quantização? 23

24 5. Exercícios Suponha a existência dos conversores A/D apresentados na tabela, para os quais se indica a frequência de amostragem e o número de bits por amostra Conversor Fs [khz] n bit/amostra A/D1 44,1 16 A/D2 8 8 A/D A/D a) Sejam x(t) = 10 cos(22500t) + 5 cos(26000t) e y(t) tal que Y(f)=rect(f/16000). Indique o(s) conversor(es) adequado(s) para digitalizar x(t) e y(t). b) Suponha que se utiliza o conversor A/D2 para digitalizar um sinal com duração de 30 segundos. Quantos bits são produzidos nessa digitalização? 24

25 5. Exercícios Na associação de sistemas apresentada na figura, os sistemas de amostragem e reconstrução operam com Fs=10 khz, incluindo os filtros anti-aliasing e de reconstrução designados por H AA (f) e H R (f), respectivamente. Seja x(t) = 1+2 cos(2600t+ /4) + 5cos(26000t). a) Esboce os espectros (amplitude e fase) de x(t) e determine a expressão de z(t). b) Calcule as primeiras 4 amostras de z s (t) e esboce o espectro de amplitude deste sinal. c) Apresente a expressão do sinal y(t) presente na saída do sistema de reconstrução. 25