Curso Analises de Sinais

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1 Curso Analises de Sinais Teorema de Amostragem Aula 3 1

2 Teorema de Amostragem Aspecto fundamental: Conversão do sinal contínuo em uma sequência de amostras Um sinal discreto no tempo Após o processamento digital, a sequência de saída pode ser convertida de volta a um sinal contínuo no tempo 2

3 Teoria da Amostragem A sequência x é escrita como: x={x[n]}, - <n<, n inteiro Sequência gerada a partir do processo de amostragem N-ésimo termo: x[n] = xa(nt), - <n<, n inteiro Na prática, a operação de amostragem é implementada por um conversor analógico-para-digital (A/D) A taxa de amostragem é uns dos príncipais itens para o levantamento geofísico. 3

4 Teoria da Amostragem Em geral, a amostragem é um processo não-inversível Ou seja, dada uma sequência x[n], às vezes, não é possível reconstruir o sinal original xc(t) Muitos sinais diferentes podem gerar a mesma sequência de amostras de saída 4

5 Teorema da amostragem 5

6 Teoria da Amostragem É conveniente representarmos matematicamente o processo de amostragem, dividindo-o em duas partes O processo consiste de um trem de impulsos seguido de uma conversão desse trem em uma sequência 6

7 Teoria da Amostragem A diferença fundamental entre xs(t) e x[n] é que xs(t) é um sinal contínuo com valores zero exceto nos inteiros múltiplos de T x[n], por outro lado, não possui informação explícita sobre a taxa de amostragem e é um sinal onde as regiões que não representam valores inteiros não têm valor definido 7

8 Teoria da Amostragem Na conversão analógico-digital é necessário coletar um número discreto de amostras de um sinal contínuo O problema crucial na amostragem está com o número de amostras/seg (samples/sec) que devem ser coletadas. Um número muito pequeno de amostras pode resultar em uma representação demasiadamente pobre do sinal A análise quantitativa acerca desse problema é estudada pelo Teorema de Shannon-Nyquist 8

9 Teorema da Amostragem A princípio, pode-se imaginar que, no processo de amostragem de um sinal analógico, há sempre perda de informação e que essa perda é tanto menor quanto maior a taxa de amostragem utilizada Entretanto, o teorema de Shannon mostra que isto nem sempre é verdade 9

10 Teoria da Amostragem DPI Dots per Inch (figura Melo, ufpe 2015) 10

11 Teorema da Amostragem O teorema estabelece que, sob certas condições, as amostras de um sinal podem conter precisamente toda a informação a ele associada Isto significa que o sinal pode ser perfeitamente recuperado a partir de amostras coletadas sem nenhuma aproximação 11

12 Teorema de Shannon Um sinal de banda limitada por fm Hz está unicamente determinado por amostras, se são tomadas, pelo menos, 2fm amostras equidistantes por segundo 12

13 Teorema Shannon - PROVA Se as amostras são obtidas a cada T s segundos, considera-se então um trem de impulsos δts(t) δts (t )= δ (t nts) n= A amostragem de um sinal f(t) em intervalos de T segundos será definida por: f s (t)=f (t )δts (t)= f (t )δ(t nts) n = 13

14 Teorema Shannon - PROVA Pares de Sinal e Transformada 14

15 Teorema de Shannon Vamos analisar o espectro do sinal amostrado O espectro do sinal amostrado fs(t) pode ser determinado com o auxílio do teorema da convolução na frequência: f1 (t ) f2 (t ) (1/ 2 π) F1(W ) F2 (W ) Seque que: f (t ) δt (t ) (1/ 2 π) F (W ) n= w s δ(w nws ) 15

16 Teorema de Shannon Se: fs(t) Fs(W) Então, o espectro de fs(t) é dado por: ws 1 F s (W )= F (w ) ws δ( w nw s)= F (w )δ( w nw s ) 2π 2 π n = n= 1 2π F s (W )= F (w)δ(w nw s), com w s= T s n= Ts 16

17 Teorema de Shannon E, finalmente: 1 2π F s (w)= F ( w nw s), com w s= T s n = Ts Este espectro é esboçado para vários valores de ws, isto é, vários valores para o espaçamento Ts entre amostras 17

18 Teorema de Shannon Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Suponha um sinal banda limitado em wm: 18

19 Teorema de Shannon Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se: 19

20 Teorema de Shannon Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se: 20

21 Teorema de Shannon Relação entre a frequência de amostragem e a frequência limite do sinal: Se: 21

22 Teorema de Shannon Recuperação do sinal original FPB (Filtro passa baixa) 22

23 Teorema de Shannon Para recuperação do sinal com um FPB sem distorções, é preciso que: ws 2wm ou seja 2π/Ts 2.2πfm Ts 1/(2fm) seg O limite 1/Ts = 2fm é chamado de taxa de Nyquist 23

24 Teorema de Shannon Valores de Ts que não atendam a essa condição podem provocar diversas distorções no sinal, como: Ganho nas altas frequências Perda nas altas frequências Modulação das frequências do sinal original Casos híbridos 24

25 Teorema de Shannon 25

26 Teorema de Shannon Na digitalização de imagens, podemos observar esses fenômenos: Exemplo: Padrões de Moireé 26

27 Aliasing Alias Nome: Falso Considere uma sequência senoidal Sabemos que o coseno é uma função módulo 2π, então Vimos que ŵ = 2.4π dando a mesmo valores de sequências como ŵ =4π e 0.4π são aliases um do outro 27

28 Aliasing Podemos generalizar que para o slide anterior para qualquer múltiplo de 2π, i.e., Resulta em frequência de amostra idêntica para cos(ŵ ln) devido a propriedade módulo 2º a propriedade do seno e cosseno. Podemos esse passo em que cos(θ)=cos(-θ)... 28

29 Aliasing Podemos ver que ŵ = 1,6π dar os mesmos valores como ŵ=0,4π, então 1,6π e 0,4π são aliases de um outro Podemos generarlizar ŵ = 2πl -ŵ0, l = 0,1,2,3... resultado em frequencia amostral identicas para cos(ŵln) devido a propriedade de mod 2 e a propriedade par do cosseno Esse resultado também serve para o Seno, a amplitude esperada é invertida já que sen(θ)=sen(θ) Em resumo, para qualquer inteiro l, e frequencia discreta no tempo ŵ0, as frequẽncias ŵ0,ŵ0+2πl,2πl -ŵ0, l = 1, 2, 3,... Todos producem a mesmo valor de sequências com cosseno, e com senos são diferente por um sinal (- ou +) 29

30 Aliasing Uma generalização para seno e cosseno, seja uma função arbitrária. Observe o sinal As frequências do slide anterior são aliases um do outro. O menor valor ŵ E [0,π) é chamado de alias principal 30

31 Aliasing Estas frequências alias extendida para amostragem temporal continua senoidal usando o fato que ŵ = wts ou w = ŵ/ts = ŵfs, então podemos reescrever a expressão em termod de frequência temporal-continua w0. E em Hz. Quando vemos no domínio do tempo contínuo, isso significa que a amostragem Acos(2πf0+ φ) com t. nts resulta em 31

32 Exemplo Entrada de 60 Hz, 340 Hz, ou 460 Hz em uma senoida com fs = 400 Hz. Os sinais Podemos amostrar xi(t), i=1, 2, 3 em taxa fs=400hz. 32

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34 Aliasing Usando a equação (4.14) podemos espera os valores de amostras para os três sinais serem idênticos Mostra que 60, 340, e 460 são frequências de aliased quando a taxa de amostragem é 400 Hz Observe: = 60 Hz e = 60 Hz 34

35 Teorema de Amostragem De acordo com o teorema de Shannon-Nyquist, se Ts 1 2 fm, então a passagem do sinal amostrado por um filtro passa-baixa ideal recupera exatamente o sinal analógico Sabendo que: 35

36 Teorema de Amostragem Construção do sinal quase um retorno Vamos olhar para isso de outra forma examinando a TF(transformada de Fourier) de um sinal de que é limitado em banda e, assim, certamente satisfaz a hipótese do teorema da amostragem: X(f) = 0 onde f > W A TF inversa é :. 36

37 Teorema da Amostragem Podemos pegar X(f) e expandi em séries de Fourier supondo ser periódica com periódo de 2W. Então podemos rescrever X(f) e coeficientes ak: 37

38 Teorema da amostragem Esses coeficientes tem uma semalhança com x(t) e podemos recalcular Agora, podemos escrever X(f) em termos da série e então invertea TF: 38

39 Teorema da amostragem Substituindo o somatório na integral Uma fórmula que reconstrói a função apartir das amostras! 39

40 Observe que as amostras são espaçadas em t=k/fs, nos iremos usar W=fs/2. Nós podemosverificar quando fazemos a interpolação linear 40

41 Estas funções de interpolação são chamados de funções "Whittaker". Vamos examinar essas funções com mais detalhe 41

42 Teorema da Amostragem O arquivo Alising3.py A linha vertical no gráfico mostra que, sempre que uma função tem um pico, e a outra função tem zero. É por isso que quando você colocar as amostras em cada um dos picos, eles combinam a função amostrados exatamente naqueles pontos. Entre esses pontos, a forma de coroa das funções preenche os valores em falta. Além disso, como mostra a figura acima, não há qualquer interferência entre as funções sentam-se em cada uma das funções de interpolação, porque o pico de um está perfeitamente alinhado com o zero do que os outros (linhas pontilhadas). Assim, o teorema da amostragem diz que os valores preenchidos são retirados do curvatura das funções sinc, não retas como nós investigados anteriormente. 42

43 Teorema da Amostragem o código seguinte mostra como as funções individuais Whittaker (linhas tracejadas) são montados na aproximação final (linha preta) utilizando as amostras de dados (pontos azuis-). Sugiro que altere a taxa de amostragem para ver o que acontece. 43

44 Sinal e Ruído (SNR) SNR = Signal Noise Ratio P sinal SNR= P ruído 44

45 FIM 45