Nesse item as frequências de vibrações obtidas pela modelagem numérica são comparadas com as frequências obtidas de soluções analíticas.

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1 7 Resultados 7.. Modelagem numérica Nesse item são calculadas as frequências de vibrações obtidas através da formulação apresentada nos capítulos 3 e 4. As rotinas programadas em Mathcad são apresentadas no Apêndice B e Apêndice C Comparações com soluções analíticas Nesse item as frequências de vibrações obtidas pela modelagem numérica são comparadas com as frequências obtidas de soluções analíticas Vibrações axiais Neste item são apresentados os resultados obtidos das frequências de vibrações longitudinais calculados para um elemento estrutural tratado como uma barra. As características do elemento estrutural são apresentadas na Tabela 2. Seção Tabela 2 - Geometria e propriedades físicas de um elemento estrutural Comprimento (m) Módulo de Elasticidade (kn/m²) Peso Específico do Material (kn/m³) Área da Seção Transversal (m²) Momento de Inércia 4 ( m ) 3 φ7cm As frequências de vibração para barra foram calculadas pelo método de Rayleigh-Ritz enriquecido com 5 funções adicionais conforme equação (4-84), buscando aproximar adequadamente as primeiras frequências de vibração. Os cálculos foram realizados em uma rotina programada em Mathcad.

2 As frequências calculadas são apresentadas na Tabela 3, nessa tabela também são apresentadas as frequências de vibração obtidas pela solução analítica da equação diferencial governante de vibrações longitudinais em uma barra. Os resultados apresentados na Tabela 3 demostram a aplicabilidade do método de Rayleigh-Ritz enriquecido. Modo Exata Tabela 3 - Vibrações longitudinais Condição de Suporte - Barra Engastada-Livre Livre-Livre Rayleigh-Ritz (n=5) Exata Rayleigh-Ritz (n=5) Vibrações transversais Neste item são apresentados os resultados de frequências de vibração transversais calculados para um elemento estrutural tratado como viga. As características deste elemento estrutural são idênticas às apresentadas na Tabela 2. As frequências de vibração para viga foram calculadas pelo método de Rayleigh-Ritz enriquecido com 5 funções adicionais conforme equação (4-83), buscando aproximar adequadamente as primeiras frequências de vibração. Os cálculos foram realizados em uma rotina programada em Mathcad. As frequências calculadas são apresentadas na Tabela 3, nessa tabela também são apresentadas as frequências de vibração obtidas pela solução analítica da equação diferencial governante de vibrações transversais em uma viga. Os resultados apresentados na Tabela 4 demostram a aplicabilidade do método de Rayleigh-Ritz enriquecido.

3 77 Modo Simplesmente Apoiada Rayleigh Exata Ritz (n=5) Tabela 4 - Vibrações transversais Condição de Suporte - Viga Exata Engastada Rayleigh Ritz (n=5) Exata Livre-Livre Rayleigh Ritz (n=5) Exemplos numéricos Nesse item são apresentados os resultados de frequências de vibração obtidas através da modelagem numérica para estacas reais. Para a modelagem os módulos de fundação e coeficientes de mola foram obtidos através de ensaios estáticos realizados nas estacas Vibrações axiais Neste item são apresentados os resultados obtidos das frequências de vibração longitudinais calculadas para três estacas com as características geométricas e físicas apresentadas na Tabela 5. Foram realizadas provas de cargas estáticas cíclicas nas referidas estacas. A Figura 2 apresenta o resultado do ensaio estático da estaca PI-3, a Figura 2 apresenta o resultado do ensaio estático da estaca PI-a e Figura 22 apresenta o resultado do ensaio estático da estaca PI-. Os deslocamentos apresentados nesses gráficos são medidos no topo da estaca.

4 Os ensaios estáticos cíclicos realizados possibilitaram o cálculo das constantes de mola dos solos em que as estacas em questão estão embutidas. As constantes de mola foram calculadas de maneira similar à metodologia apresentada por Das (993) para provas de carga em placa cíclicas. De posse das sondagens representativas referidas na Tabela 5 e apresentadas no Apêndice A, observa-se que as estacas analisadas são flutuantes, de modo que a rigidez de fricção do solo é a predominante. As constantes de mola dos solos obtidas através dos ensaios são apresentadas na Tabela 6. As frequências de vibração das estacas foram calculadas pelo método de Rayleigh-Ritz enriquecido com 5 funções adicionais conforme equação (4-84), buscando aproximar adequadamente as primeiras frequências de vibração. Os cálculos foram realizados em uma rotina programada em Mathcad. As frequências calculadas são apresentadas na Tabela 7. No item estas frequências serão comparadas com os valores reais obtidos em testes de vibração forçada. Tabela 5 - Características geométricas e físicas das estacas Característica Estaca PI-3 PI-a PI- Tipo Pré-Moldada de Concreto Franki Metálica Seção φ7cm φ6cm W6x55 Comprimento Embutido em Solo (m) Comprimento Total (m) Composição 3X.m+3.8m 27.m 3X2.m+.m Sondagem Representativa SPT-54 SPT-57 SPT-5 Módulo de Elasticidade (kn/m²) Peso Específico do Material da Estaca (kn/m³) Área da Seção Transversal da Estaca (m²)

5 79 Tabela 6 - Provas de carga e coeficientes de mola Característica Estaca PI-3 PI-a PI- Comprimento Embutido em Solo (m) Carga Máxima no Ensaio Estático (kn) Recalque máximo no Ensaio Estático (mm) K f (kn/m) K f K f = (kn/m²) L K b (kn/m) Prova de Carga Estática - PI-3 Deslocamento Vertical. Carga (kn) Deslocamento (mm) Figura 2 - Prova de carga vertical (PI-3)

6 8. Prova de Carga Estática - PI-a Deslocamento Vertical Carga (kn) Deslocamento (mm) Figura 2 - Prova de carga vertical (PI-a) Figura 22 - Prova de carga vertical (PI-)

7 8 Tabela 7 - Frequências de vibração longitudinais das estacas Modo PI-3 PI-a PII Vibrações transversais Neste item são apresentados os resultados obtidos das frequências de vibração transversais e longitudinais calculadas para uma estaca com as características geométricas e físicas apresentadas na Tabela 8. Foram realizadas provas de cargas estáticas horizontais e verticais na referida estaca. A Figura 23 apresenta o resultado do ensaio estático horizontal da estaca E- 5 e a Figura 24 apresenta o resultado do ensaio estático vertical da estaca E- 5. Os ensaios estáticos realizados possibilitaram o cálculo das constantes de mola do solo em que as estaca em questão está embutida. As constantes de mola calculadas são apresentadas na Tabela 9. As frequências de vibração da estacas foram calculadas pelo método de Rayleigh-Ritz enriquecido com 5 funções adicionais conforme equação (4-83), buscando aproximar adequadamente as primeiras frequências de vibração. Os cálculos foram realizados em uma rotina programada em Mathcad. Os resultados obtidos para as frequências transversais são apresentadas na Tabela. Na Tabela também são calculadas as frequências de vibração transversais considerando-se o efeito de rigidez geométrica da carga de trabalho nesta estaca. A sondagens representativa mencionada na Tabela 8 é apresentadas no Apêndice A. Também foram calculadas as frequências naturais de vibração longitudinais destas estacas, esses resultados também são apresentados na Tabela.

8 82 Tabela 8 - Características geométricas e físicas das estacas Característica Estaca E-5 Tipo Hélice Contínua Seção φ7cm Comprimento Ensaiado (m) 23.6 Sondagem Representativa SPT-92 Módulo de Elasticidade (kn/m²) 2544 Peso Específico do Material da Estaca (kn/m³) 24. Área da Seção Transversal da Estaca (m²) Prova de Carga Estática Horizontal E-5. Carga (kn) Deslocamento (mm) Figura 23 - Prova de carga horizontal (E-5)

9 83 Prova de Carga Vertical E-5 Carga Aplicada (kn) Deslocamento (mm) Figura 24 - Prova de carga vertical (E-5) Tabela 9 - Provas de carga e parâmetros do solo Característica Estaca E-5 Comprimento Ensaiado (m) 23.6 Seção φ7cm Carga Máxima no Ensaio Estático Vertical (kn) 333 Deslocamento Máximo no Ensaio Estático Vertical (mm) 6.9 Carga Máxima no Ensaio Estático Horizontal (kn) 72 Deslocamento Máximo no Ensaio Estático Horizontal (mm).62 K f (kn/m) 85 K f K f = (kn/m²) L 367 ksl (kn/m) 944 k s (kn/m²) 4 k k s s = (kn/m³) b 5743 K b (kn/m)

10 84 O valor de k s apresentado na Tabela 9 foi determinados a partir do melhor ajuste entre a solução de Hetenyi (979) para o caso de uma viga embutida em base elástica sujeita a uma carga concentrada em uma das extremidades e as provas de carga horizontais (carregamento no topo). maneira similar ao descrito no item K f foi determinado de Modo Tabela - Frequências de vibração transversais e longitudinais Rayleig Ritz Vibração Transversal (P = kn) Frequências da Estaca E-5 Rayleigh-Ritz Vibração Transversal (P = 65 kn) Rayleigh Ritz Vibração Longitudinal Análise espectral Nesse item são calculadas frequências de vibrações obtidas através da formulação apresentada no capítulo Exemplo de FFT em sinal puro de seno Nesse item é aplicada uma FFT em um sinal puro de uma função seno com uma frequência de vibração de Hz e amplitude de aceleração de - a g dado pela equação f ( t) = sen(2 π ( Hz) t), onde g=9.8m/s².

11 A Transformada de Fourier ideal deve ter um pico de magnitude g na frequência de exatamente Hz, pois toda energia do sinal é decorrente da frequência de Hz, e não há outras frequências contendo energias. É comum espectros de frequência de um sinal gerados pela FFT não serem limpos, pois o desempenho de uma FFT depende de uma série de fatores tais como taxa de amostragem f s ; número de pontos de dados coletados N e tempo total da coleta de dados T, onde. N T = (7-) f s Esta variação de desempenho é analisada com a geração de seis exemplos de FFTs da função senoidal, descrita anteriormente. Os principais parâmetros de cada uma destas FFTs bem como a indicação dos seus resultados são apresentados na Tabela. 85 Exemplo s Tabela - Exemplos de FFT f (Hz) N f (Hz) Resultado I Figura 25 II Figura 26 III Figura 27 IV Figura 28 V Figura 29 VI Figura 3 fs O eixo das frequências de uma FFT varia de a 2 e a saída da uma FFT é em frequências discretas com um intervalo determinado pela resolução f =. T Em cada um dos exemplos é apresentados o gráfico da aceleração no domínio do tempo conforme o número de pontos de dados estabelecidos na Tabela, e como resultado o espectro de frequências em duas escalas, de modo a observar o espectro como um todo, e em detalhe próximo à frequência de interesse. Embora a maioria dos espectros de frequências dos exemplos gerados mostre corretamente um pico ao redor de Hz, este pico não é infinitesimalmente estreito (com exceção da Figura 3 que é a solução exata).

12 Nesses espectros de frequências parece que há componentes significativos no sinal a frequências próxima a Hz. Esse erro não físico na FFT é chamado de leakage e aparece quando a aquisição de dados discreta não pára exatamente na mesma fase em que a onda senóide é iniciada. Em princípio, se um número infinito de pontos de dados discretos é tomado, o erro de leakage não seria um problema. Contudo em sistema de aquisição de dados reais a FFT é realizada em um numero finito de pontos de dados discretos, e sempre haverá algum erro de leakage. Nos exemplos apresentados observa-se que a máxima amplitude da FFT não é exatamente g, é menor que g, uma vez que a amplitude do sinal original era exatamente g. Esta é outra consequência do erro de leakage. De certa forma a energia do sinal da frequência de Hz é distribuído erroneamente entre as frequências próximas a Hz, dessa forma reduzindo a amplitude calculada a Hz. Aumentar a frequência de amostragem melhora amplamente a resolução da função aceleração no tempo, contudo, aumentar a frequência de coleta não melhora o espectro de frequências, conforme mostram a Figura 25 e a Figura 26. Na realidade, a saída do espectro de frequência fica com uma resolução mais pobre. Nessa situação o pico da amplitude do espectro de frequências é menor do que o sinal esperado de g, isto é devido o erro de leakage, que é pior nestes exemplos devido às resoluções pobres. Por outro lado, diminuir a frequência de coleta diminuiu a resolução da onda senóide, mas neste caso a frequência de resolução é muito melhor como é observado na Figura 27, Figura 28 e Figura 29. Ainda há erro de leakage, porém somente muito próximo ao pico. Nestas situações a máxima amplitude é ocorre praticamente nos Hz. A Figura 3 apresenta uma FFT perfeita e teórica, que foi obtida porque o dado coletado se inicia e termina na mesma fase do sinal. A frequência de coleta, nesse caso escolhida é um número inteiro de comprimentos de onda do dado coletado, de modo que o sinal coletado se inicia a termina exatamente na mesma fase. Nesse caso particular T é igual a 2 s, o que corresponde a 2 ciclos completos para a onda senóide de Hz. 86

13 Nesse caso o pico da amplitude é exatamente g e ocorre exatamente em Hz. Não ocorre erro de leakage neste caso, a saída da FFT é exatamente zero para todas as frequências com exceção de Hz. Deve-se ter em mente que uma na Figura 3 é apresentada uma FFT perfeita e que essa é possível somente porque era sabida da frequência original do sinal, que no exemplo é uma onda senóide, e foi selecionada a frequência de coleta apropriada. Em situações reais a frequência é desconhecida (por esta razão a FFT é necessária) e os sinais não são ondas senoidais perfeitas, ou seja, uma FFT perfeita é possível somente em situações de laboratório. 87

14 88 Sinal de Função Seno f(t)=sen(2π(hz)t) (fs=hz, N=256) Tempo (s) Espectro de Frequência (fs=hz, N=256) Espectro de Frequência (fs=hz, N=256) Figura 25 - FFT (fs= Hz, N=256)

15 89 Sinal de Função Seno f(t)=sen(2π(hz)t) (fs=5hz, N=24) Tempo (s) Espectro de Frequência (fs=5hz, N=24) Espectro de Frequência (fs=5hz, N=24) Figura 26 - FFT (fs=5 Hz, N=24)

16 9 Sinal de Função Seno f(t)=sen(2π(hz)t) (fs=2hz, N=256) Tempo (s) Espectro de Frequência (fs=2hz, N=256) Espectro de Frequência (fs=2hz, N=256) Figura 27 - FFT (fs=2 Hz, N=256)

17 9 Sinal de Função Seno f(t)=sen(2π(hz)t) (fs=25hz, N=256) Tempo (s) Espectro de Frequência (fs=25hz, N=256) Espectro de Frequência (fs=25hz, N=256) Figura 28 - FFT (fs=25 Hz, N=256)

18 92 Sinal de Função Seno f(t)=sen(2π(hz)t) (fs=25hz, N=52) Tempo (s) Espectro de Frequência (fs=25hz, N=52) Espectro de Frequência (fs=25hz, N=52) Figura 29 - FFT (fs=25 Hz, N=52)

19 93 Sinal de Função Seno f(t)=sen(2π(hz)t) (fs=25.6hz, N=52) Tempo (s) Espectro de Frequência (fs=25.6hz, N=52) Espectro de Frequência (fs=25.6hz, N=52) Figura 3 - FFT (fs=25.6 Hz, N=52)

20 Exemplo de FFT em sinal periódico amortecido Neste item é aplicada uma FFT em um sinal gerado a partir de função periódica amortecida conhecida. Neste exemplo f ( t ) possui sete modos de vibração conforme a equação (7-2). f ( t) = [45 sen(2 π(25 Hz) t)) + 35 sen(2 π(75 Hz) t)) + 6 sen(2 π(4 Hz) t)) + 45 sen(2 π(95 Hz) t)) + 3 sen(2 π(25 Hz) t)) + (7-2) + 5 sen(2 π(3 Hz) t) + 5 sen(2 π(4 Hz) t))] e Um sinal da função f ( t ) foi gerado simulando uma taxa de amostragem de 5Hz, um número de pontos de dados coletados de 24 e tempo total da coleta de dados de.246s. Estes valores de carregamento dinâmico em estacas. 5t f s, N e T são usuais em ensaios de A Figura 3 ilustra o sinal gerado e a FFT correspondente. Os resultados apresentados na Figura 3 demostram a aplicabilidade da FFT em ensaios de carregamento dinâmico. Aceleração f(t) 3 2 f(t) Tempo (s) FFT de f(t) Amplitude de f(t) Figura 3 - Função periódica amortecida e FFT

21 Exemplo de FFT aplicado em estacas As estacas modeladas matematicamente no item foram ensaiadas dinamicamente. Foram realizados ensaios de carregamento dinâmico, ou seja, foram induzidas vibrações forçadas nestas estacas através de golpes aplicados com martelos de cravação. A Tabela 2 resume os golpes aplicados na estaca PI- 3, a Tabela 3 resume os golpes aplicados na estaca PI-a e a Tabela 4 resume os golpes aplicados na estaca PI-. Tabela 2 - Vibração forçada na estaca PI-3 energias aplicadas Peso do Martelo no Ensaio (kn) 8 Golpe Altura de Queda (m) Energia (kn.m) Tabela 3 - Vibração forçada na estaca PI-a energias aplicadas Peso do Martelo no Ensaio (kn) 8 Golpe Altura de Queda (m) Energia (kn.m)

22 96 Tabela 4 - Vibração forçada na estaca PI- energias aplicadas Peso do Martelo no Ensaio (kn) 54 Golpe Altura de Queda (m) Energia (kn.m) Foram registrados sinais de aceleração no tempo gerados pelos golpes aplicados no topo das estacas. A Figura 32 apresenta os sinais de aceleração obtidos na estaca PI-3, a Figura 33 apresenta os sinais de aceleração obtidos para a estaca PI-a e a Figura 34 apresenta os sinais de aceleração obtidos para a estaca PI-. A taxa de amostragem do ensaio foi de 5Hz, o número de pontos de dados coletados foi de 24 e tempo total da coleta de dados foi de.246s. Estaca PI Aceleração (g's) Tempo (s) Golpe [E=5.7 knm] Golpe 2 [E=3. knm] Golpe 3 [E=45.3 knm] Golpe 4 [E=68. knm] Golpe 5 [E=83.8 knm] Golpe 6 [E=6.2 knm] Golpe 7 [E=5.8 knm] Golpe 8 [E=28. knm] Golpe 9 [E=59. knm] Figura 32 - Acelerações geradas na estaca PI-3 pelos golpes aplicados

23 97 Estaca PI-A 2 5 Aceleração (g's) Tempo (s) Golpe [E=4.6 knm] Golpe 2 [E=24.3 knm] Golpe 3 [E=37. knm] Golpe 4 [E=55.2 knm] Golpe 5 [E=7.8 knm] Golpe 6 [E=87.3 knm] Golpe 7 [E=5.5 knm] Golpe 8 [E=26. knm] Golpe 9 [E=48. knm] Golpe [E=54.2 knm] Golpe [E=6.2 knm] Figura 33 - Acelerações geradas na estaca PI-a pelos golpes aplicados Estaca PI- Aceleração (g's) Tempo (s) Golpe [E=22.7 knm] Golpe 2 [E=3.7 knm] Golpe 3 [E=42.6 knm] Golpe 4 [E=49.4 knm] Golpe 5 [E=45. knm] Golpe 6 [E=45. knm] Golpe 7 [E=44.4 knm] Golpe 8 [E=46.8 knm] Figura 34 - Acelerações geradas na estaca PI- pelos golpes aplicados Foi aplicada a técnica da FFT para cada um dos sinais coletados. Na Figura 35 é apresentado o espectro de frequências naturais encontrado para a estaca PI- 3, na Figura 36 é apresentado o espectro de frequências naturais encontrado para a estaca PI-a e na Figura 37 é apresentado o espectro de frequências naturais encontrado para a estaca PI-. Estas figuras apresentam para cada estaca os

24 98 espectros na escala melhor os picos dos espectros. f s e em uma escala ampliada de modo a se visualizar 2 Estaca PI-3 Amplitude Golpe [E=5.7 knm] Golpe 2 [E=3. knm] Golpe 3 [E=45.3 knm] Golpe 4 [E=68. knm] Golpe 5 [E=83.8 knm] Golpe 6 [E=6.2 knm] Golpe 7 [E=5.8 knm] Golpe 8 [E=28. knm] Golpe 9 [E=59. knm] Estaca PI Amplitude Golpe [E=5.7 knm] Golpe 2 [E=3. knm] Golpe 3 [E=45.3 knm] Golpe 4 [E=68. knm] Golpe 5 [E=83.8 knm] Golpe 6 [E=6.2 knm] Golpe 7 [E=5.8 knm] Golpe 8 [E=28. knm] Golpe 9 [E=59. knm] Figura 35 - Espectro de acelerações da estaca PI-3

25 99 Estaca PI-A Amplitude Golpe [E=4.6 knm] Golpe 2 [E=24.3 knm] Golpe 3 [E=37. knm] Golpe 4 [E=55.2 knm] Golpe 5 [E=7.8 knm] Golpe 6 [E=87.3 knm] Golpe 7 [E=5.5 knm] Golpe 8 [E=26. knm] Golpe 9 [E=48. knm] Golpe [E=54.2 knm] Golpe [E=6.2 knm] Estaca PI-A Amplitude Golpe [E=4.6 knm] Golpe 2 [E=24.3 knm] Golpe 3 [E=37. knm] Golpe 4 [E=55.2 knm] Golpe 5 [E=7.8 knm] Golpe 6 [E=87.3 knm] Golpe 7 [E=5.5 knm] Golpe 8 [E=26. knm] Golpe 9 [E=48. knm] Golpe [E=54.2 knm] Golpe [E=6.2 knm] Figura 36 - Espectro de acelerações da estaca PI-a

26 Estaca PI- Amplitude Golpe [E=22.7 knm] Golpe 2 [E=3.7 knm] Golpe 3 [E=42.6 knm] Golpe 4 [E=49.4 knm] Golpe 5 [E=45. knm] Golpe 6 [E=45. knm] Golpe 7 [E=44.4 knm] Golpe 8 [E=46.8 knm] Estaca PI Amplitude Golpe [E=22.7 knm] Golpe 2 [E=3.7 knm] Golpe 3 [E=42.6 knm] Golpe 4 [E=49.4 knm] Golpe 5 [E=45. knm] Golpe 6 [E=45. knm] Golpe 7 [E=44.4 knm] Golpe 8 [E=46.8 knm] Figura 37 - Espectro de acelerações da estaca PI- As frequências naturais de vibração obtidas para as estacas em questão através da técnica da FFT foram comparadas com os valores obtidos da modelagem matemática no item A Tabela 5 apresenta a comparação das frequências obtidas pelos dois métodos.

27 Modo Tabela 5 - Frequências naturais longitudinais obtidas pela FFT Rayleigh Ritz (n=5) PI-3 PI-a PII- Fast Fourrier Transform (FFT) Rayleigh Ritz (n=5) Fast Fourrier Transform (FFT) Rayleigh Ritz (n=5) Fast Fourrier Transform (FFT)