2 ANÁLISE ESTÁTICA DA ESTABILIDADE MÉTODO ANALÍTICO.

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1 ANÁISE ESTÁTICA DA ESTABIIDADE MÉTODO ANAÍTICO. Neste capítulo são apresentados conceitos básicos de estabilidade de estruturas, dando maior ênfase à estabilidade de arcos parabólicos com apoios elásticos em seu próprio plano. Os apoios elásticos são modelados como molas horizontais. Utiliza-se, neste capítulo, como alicerce teórico o trabalho desenvolvido por Bradford et al. (7) intitulado In-Plane Stability of Parabolic Arches with PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA Horizontal Spring Supports. I: Theory... Equilíbrio Não inear no Plano. Na mecânica linear dos corpos deformáveis, os deslocamentos são proporcionais aos carregamentos aplicados. Porém, no caso de flambagem, os deslocamentos podem aumentar desproporcionalmente após uma pequena variação de carregamento. Em virtude disso, considera-se a análise de flambagem como um tópico da mecânica não linear. A não linearidade na mecânica de corpos deformáveis pode ser física ou geométrica. Neste trabalho considera-se uma não linearidade geométrica. Assim a relação cinemática não linear para o arco parabólico abatido é definida por: m b onde (.) representa a deformação total do arco parabólico e e são, respectivamente, as deformações de membrana e de flexão que são dadas por: dw z dv dv m p b y d v (.) (.3)

2 8 p 8f onde, como ilustra a Figura., e representam os deslocamentos nas direções OY e OZ, respetivamente. O termo expressa a não linearidade geométrica do sistema, vão PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA (.4) é conhecido como parâmetro focal do arco, expresso em função do e da altura no meio do arco, equação (.4). Figura. - Arco parabólico.... Equação Diferencial de Equilíbrio. A Figura. apresenta um arco parabólico simplesmente apoiado nas extremidades e suportado lateralmente por molas. As hipóteses básicas para a obtenção das equações de equilíbrio são:. O arco é suportado horizontalmente por duas molas elásticas lineares de rigidez k e k, as quais podem representar o tirante, no caso de arco atirantado, ou a rigidez de pilares e outras estruturas de apoio.. O arco está submetido a um carregamento aplicado verticalmente, o qual permanece na mesma direção, pelo que se considera que é um sistema conservativo. Assim, o método da energia pode ser usado na investigação. 3. Assume-se que os arcos são abatidos, de forma que assim ds = +., e 4. O material do arco é elástico linear, obedecendo, portanto, a lei de Hooke.

3 9 5. Assume-se que os deslocamentos horizontais do arco são pequenos em comparação ao comprimento do vão. A energia potencial total do arco é dada por: onde U i V (.5) é a energia interna de deformação e é o potencial gravitacional das cargas externas que é definido como menos o trabalho das forças externas PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA ( = ). Figura. - Arco parabólico suportado por molas horizontais. Para o caso do sistema da Figura., a energia potencial total do arco e das molas é dada por: V / E dv q v k w k w / (.6) A primeira variação da equação (.6) é dada por: V E dv q v k w w k w w (.7) Introduzindo as equações (.), (.) e (.3) na equação (.7), e considerando que a área da seção transversal do arco é constante, chega-se à expressão seguinte: E A m m E I d v d v q v k w w k w w Integrando por partes a equação (.8), tem-se: (.8)

4 3 E A m w E A z d m dv w E A m E A m v p z d E A m d dv d v EA m EA m E A m v p p EI (.9) d v dv d 3v dv d 4v E I E I v 3 4 q v k w w k w w Considerando os deslocamentos virtuais,, as equações d m d m E A w E A (.) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA diferenciais de equilíbrio são obtidas a partir da equação (.9): z d E A m d dv d v EA m EA m E A m v p p EI 4 d v v q v 4 d E A m d dv z d v d 4v EA m EA m E A m E I 4 q p p (.) As equações (.) e (.) correspondem às equações diferencias de equilíbrio na direção horizontal e vertical, respectivamente. Além disso, da equação (.9) obtêm-se também as possíveis condições de contorno do sistema. Para a direção horizontal tem-se: E A m w k w w k w w (.) Enquanto que, para a direção vertical, as condições de contorno são dadas por:

5 3 z dv d 3v E A E A EI v m m x 3 p E I d 3v dv 3 (.3) (.4) Da equação (.) pode-se determinar que a deformação de membrana é constante e dada por: m onde que N AE (.5) representa a força axial de compressão no arco e EA, a rigidez de membrana. Para facilitar a análise, são definidos os seguintes parâmetros (Bradford et al., 7): N EI (.6) q pn N (.7) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA Inserindo as equações (.6) e (.7) na equação (.), obtém-se a seguinte equação diferencial de equilíbrio correspondente à direção vertical: d 4v d v 4 p (.8) Que, em virtude dos parâmetros considerados, torna-se uma equação diferencial linear de quarta ordem não homogênea.... Equação de Equilíbrio Não inear. Da solução da equação diferencial (.8), tem-se para o deslocamento vertical : v(z) c cos( z) c sen( z) z c z c 3 4 p (.9) Para que as constantes da equação (.9) sejam encontradas, utilizam-se as condições de contorno iniciais do sistema, que são: ( )= = ± /. Uma vez substituída as constantes encontradas, obtém-se: ( ) = em

6 3 v(z) cos( z ) cos( ) (z ) p cos( ) (.) (.) Devido ao fato do arco ser suportado lateralmente por molas, o deslocamento horizontal virtual é diferente de zero, ou seja, δw. Assim, da equação (.) tem-se que: ( E A m k w ) w ( E A m k w ) w (.) onde: w E A m ; k w E A m k (.3) Substituindo as equações (.6), (.7) e (.) na equação (.3), obtém-se PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA para os deslocamentos horizontais: 4 E Ix w ; k 4E Ix w k (.4) Por outro lado, a condição de equilíbrio não linear para arcos abatidos pode ser estabelecida pela igualdade entre a deformação de membrana constante, dada pela equação (.5), e o valor médio da deformação de membrana ao longo do arco, equação (.), ou seja: N / d w z d v d v A E / p (.5) O lado esquerdo da equação (.5) é simplificado pela consideração da equação (.6). O termo da esquerda pode ser escrito em função do raio de giração e do parâmetro de estabilidade, ou seja: N rx AE rx (.6) Ix A (.7) A integral do deslocamento horizontal deslocamentos horizontais nos dois apoios, ( / / ( ) é igual à diferença dos ( ) d w 4 EI ( ) / 3 k k / = ), ou seja. (.8)

7 33 Substituindo as equações (.6) e (.8) na equação (.5), pode-se reescrever a equação de equilíbrio na forma: (.9) A B C onde: A tan( ) tan ( ) 3 B tan( ) 3 C Aqui AE k k (.3) (.3) é a constante de esbeltez modificada do arco definida pela igualdade: PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA (.3) f 4rx p rx (.33) A equação (.3) pode ser expressa em termos de relação entre a rigidez axial do arco (, que representa a ) e a rigidez elástica da mola C AE k AE k, ou seja: (.34) (.35) À medida que crescem, tendem a zero, e o coeficiente (.34) toma a forma: C (.36).. Análise da Flambagem. Quando os deslocamentos laterais de um arco parabólico são completamente restritos, o sistema pode flambar no plano de um modo antissimétrico ou de um modo simétrico, como ilustra a Figura.3.

8 34 Figura.3 Modos de Flambagem para arcos parabólicos. (a) Flambagem antissimétrica. (b) Flambagem simétrica. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA O arco pode flambar passando de uma configuração de equilíbrio préflambagem, definida pelos deslocamentos {, }, para uma configuração de equilíbrio adjacente, definida pelos deslocamentos: onde e v f v vb (.37) w f w wb (.38) representam as perturbações nas direções vertical e horizontal, respectivamente, e e representam os deslocamentos totais.... Equação de Equilíbrio Crítico Substituindo as equações (.37) e (.38) na equação (.6), e variando-se o funcional, tem-se: (.39) Integrando por partes a equação (.39), obtêm-se as respectivas equações diferenciais de equilíbrio crítico na direção horizontal: E A d mf (.4) e na direção vertical: d mf E A mf d mf dv f d v f d 4v f z EA EA E A mf E Ix q (.4) p p 4 As possíveis condições de contorno são:

9 35 E A mf w f k w f w f k w f w f z dv f d 3v f EI x E A mf E A mf 3 p E I x d 3v f 3 v f dv f (.4) (.43) (.44) Da equação (.4) pode-se determinar a deformação de membrana ( configuração de flambagem, onde ) na representa a força axial de compressão no arco na configuração de flambagem, sendo dada por. mf Nf AE (.45) PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA Substituindo as equações (.6) e (.7) em (.4), tem-se: d 4vb mb d v d vb 4 rx p (.46) mb mf m (.47) onde: Dependendo da geometria do arco, este pode apresentar um modo de flambagem simétrico ou antissimétrico. Os dois casos são estudados a seguir.... Flambagem Antissimétrica A configuração antissimétrica de flambagem encontra-se infinitamente próxima da configuração de pré-flambagem, assim considera-se que a força axial é igual à força axial e, da equação (.47), tem-se que: mb N N AE AE (.48) Substituindo (.48) na equação (.46), tem-se: d 4 vb d vb 4 (.49) A solução geral da equação (.49) é: vb c c z c3 sen( z) c4 cos( z) (.5) Para a obtenção das constantes se faz uso das condições de contorno. Com o uso da primeira condição ( ) = em = ± /, se encontra:

10 36 z sen( ) vb C sen( z) (/ ) onde (.5) é a amplitude modal. A condição ( ) = juntamente com a condição leva à seguinte equação matricial: sen( ( ) = em ) c cos( ) c * c3 cos( ) c4 cos( ) ) cos( sen( ) sen( ) sen( ) = ± / (.5) Para que o sistema (.5) tenha solução não trivial, é necessário que o PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA determinante da matriz dos coeficientes seja igual zero, ou seja: sin( ) cos( ) 4 (.53) cuja única solução viável é: sin( ) (.54) Assim, da equação (.54), tem-se que as raízes =,,3.. ). A menor raiz é dada por: = = onde (.55) Inserindo a equação (.6) na equação (.55), encontra-se a força de compressão na flambagem: Np EI x (.56) (/ ) A equação (.55) também pode ser inserida nas expressões (.3), (.3) e (.34), as quais podem ser inseridas por sua vez na equação (.9), levando á seguinte equação: (5 ) ( 4 ) As raízes são dadas por: 4 ( ) (.57)

11 Sabendo-se que 48(5 ) 4 ( ) ( 4 ) (.58) e inserindo este valor em (.58), obtém-se: = 48(5 ) 4 ( ) q Ant p Np ( 4 ) (.59) Para encontrar uma solução real da equação (.59), o termo sob a raiz tem que ser maior ou igual zero, ou seja: 48(5 ) 4 ( ) ( 4 ) (.6) (.6) Conclui-se assim que o modo de flambagem antissimétrico de um arco suportado horizontalmente por molas existe somente se a desigualdade (.6) é PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA cumprida. Substituído o valor de na equação (.4), tem-se para os deslocamentos horizontais: w 4 E Ix ; k w 4 E Ix k (.6) Para satisfazer a condição (5) do item (..), tem-se que: 4 E Ix ; k 4 E Ix k (.63)..3. Flambagem Simétrica Para a flambagem simétrica de um arco abatido, o deslocamento vertical é simétrico, além disso, implicitamente, e devem ser iguais. Substituindo-se a equação (.) na equação (.46), chega-se à equação diferencial de equilíbrio crítico: cos( z ) mb mb d d4 v v mb b 4 b dx dx rx p cos( ) rx p rx p Utilizando-se as condições de contorno tem-se a solução da equação (.64), a saber: ( )= ( ) = em (.64) = ± /,

12 38 mb ( )( z ) z sen( z ) cos( z ) sen( ) { [ ] ( rx p 4 ) cos( ) cos( ) (.65) ( )(cos( z ) cos( )) } cos( ) vb ( z ) Substituindo as equações (.37) e (.38) na equação (.), tem-se para a deformação de membrana: mf d d z d z d w( z ) wb ( z ) v( z ) vb ( z ) p p d d d d v( z ) v( z ) vb ( z ) vb ( z ) (.66) Substituindo as equações (.) e (.66) na equação (.47) e linearizando a expressão resultante, tem-se para a deformação de membrana na flambagem: PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA mb d z d d d wb ( z ) vb ( z ) v( z ) vb ( z ) p (.67) Subtraindo as equações (.) e (.4), tem-se: E A mb wb k wb wb k wb wb (.68) Adicionalmente tem-se que: E A mb k wb (.69) E A mb k wb (.7) Igualando-se a deformação de membrana na flambagem ao seu valor médio ( = ), tem-se: d z d d d r wb ( z ) vb ( z ) v( z ) vb ( z ) p x (.7) A partir da equação (.7) pode-se obter uma relação entre os parâmetros e na flambagem. Para isto substituem-se os valores de anteriormente, tendo em conta que, e é constante na equação (.65), e, obtidos pode ser obtido das equações (.69) e (.7). Assim a expressão (.7) toma a forma: A B C (.7) onde: A 7 tan( ) tan( )3 tan( ) 5 tan( ) 5 A B 4 A (.73) (.74)

13 39 C B C Para um dado valor da relação de rigidez esbeltez (.75), o correspondente valor de pode ser obtido da solução das equações (.9) e (.7) em = (que é a solução fundamental para flambagem antissimétrica) e, assim, satisfazer a igualdade de. A relação resultante destas operações é: = (.76) O valor obtido na equação (.76) define o modo de flambagem de um arco abatido, já que, se o valor de é menor, o sistema encontra-se na zona de flambagem simétrica. Tendo o valor de, a solução para encontrar o carregamento de flambagem simétrico e o correspondente valor de esbeltez facilmente. Porém, ao ter o valor de podem ser obtidas conhecido, a solução das equações (.9) e PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA (.7) se realizam mediante processos iterativos, os quais são muito complicados. Por conveniência, uma aproximação para o carregamento de flambagem simétrica com , é proposta da seguinte forma: q sim p.5.63( k 3.88).3( k 3.88) N p k / Quando a rigidez horizontal da mola (.77) (.78) tende ao infinito, a equação (.77) pode ser aproximada por (Bradford et al., 4): (.79) qsim p.5.63 N p O menor valor do carregamento de flambagem simétrico pode ser obtido através do seguinte limite: qp N / N lim lim / (.8) A solução da equação (.8) leva a: qsim p EI x (.8) Da equação (.) se pode encontrar o deslocamento vertical no topo do arco, ou seja, quando = : vc p cos( ) Assim, o deslocamento no topo do arco quando (.8) = é dado por:

14 4 lim vc / 4 6 ( ) 3 p 64 (.83) Da equação (.83), pode-se obter a seguinte relação: ( 3 8 ) (.84) Em resumo, do apresentado anteriormente, tem-se que: 9.3 +, o arco encontra-se na zona de flambagem antissimétrica, equação (.59) < , o arco encontra-se em uma zona onde a flambagem simétrica ou antissimétrica pode ocorrer, equação (.77) ou a solução das equações (.9) e (.7) para o caso PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA simétrico, para o caso antissimétrico a equação (.59) < , o arco encontra-se em uma zona onde somente a flambagem simétrica pode ocorrer, equação (.77) ou a solução das equações (.9) e (.7). < , o arco encontra-se na zona onde não ocorre flambagem. A formulação proposta por Bradford et al. (7), permite, através da escolha criteriosa dos parâmetros e eliminar indiretamente os termos não lineares da formulação. Entretanto dificulta a solução do problema e necessita de processos iterativos para se obter a solução do problema..3. Resultados obtidos da solução analítica Para estudar o comportamento estático do arco parabólico submetido a um carregamento vertical uniformemente distribuído, adotam-se as propriedades físicas e geométricas apresentadas na Tabela.. Tabela. - Propriedades do arco Comprimento do arco Altura da seção transversal Base da seção transversal Módulo de elasticidade () (h) (b) (E) 4. m 45 mm 4 mm 3 96 N/mm

15 4..8 qp Np Para a=.6 Para a=.3 Para a= Para a=7.96 Aproximação (.77). Solução (.9) e (.7) Equação (.59) l Figura.4 - Variação da carga de flambagem para arcos parabólicos suportado horizontalmente por molas em função da esbeltez. PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA A Figura.4 apresenta a variação do carregamento adimensional versus a esbeltez modificada, para as seguintes relações de rigidez / =,.3, 3.98 e A figura mostra como muda o modo de flambagem e a carga crítica ao se variar o valor de, que, por sua vez, é função do parâmetro focal. Por exemplo, se o arco tem uma esbeltez de =, Figura.4, o carregamento crítico adimensional do sistema muda ao se variar a relação de rigidez função da rigidez (que esta em ). Assim, quando o arco apresenta o valor de = 7.96 o arco encontra-se em uma zona onde a flambagem simétrica pode ocorrer, enquanto que se =3.98 o sistema pode flambar de um modo simétrico ou antissimétrico. Finalmente se o sistema tem uma relação de rigidez =.3 ou = o arco encontra-se na zona onde somente a flambagem antissimétrica pode ocorrer. Isto mostra a importância do valor da rigidez da mola, já que, quanto maior o seu valor maior a rigidez do sistema, e, consequentemente, o valor do carregamento crítico adimensional. Uma das hipóteses aqui utilizada é a de que a relação / seja muito pequena, ou seja, / <<, de modo que o arco parabólico possa ser considerado abatido. Na Figura.5 mostra-se novamente a variação do carregamento adimensional / com o parâmetro /, para =,.3, 3.98 e 7.96.

16 4. qp Np.8 Para a=7.96 Para a= Para a=.3 Para a=.4 Aproximação (.77). Solução (.9) e (.7) Equação (.59) f/ Figura.5 - Carregamento de.. flambagem para arcos parabólicos suportado horizontalmente por molas versus /. O caminho não linear de equilíbrio do arco pode ser apresentado mediante a PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA relação do carregamento adimensional adimensional no meio do arco parâmetro rigidez / versus o deslocamento /. Na Figura.6 mostra-se para quatro valores do o comportamento de arcos abatidos considerando três relações de =, 4 e 5. Estes gráficos são obtidos mediante o uso das equações (.9) e (.8). Para os quatro valores de esbeltez o comportamento do arco parabólico, em função da sua rigidez, está apresentada na Tabela.. Tabela. - Tipos de Flambagem para diferentes valores de Rigidez ( ) 4 Esbeltez ( ).75 Não Flamba Não Flamba 4.58 Flambagem simétrica Não Flamba 8.7 Flambagem Simétrica ou Antissimétrica Flambagem simétrica Não Flamba 7.6 Flambagem Antissimétrica Flambagem Simétrica ou Antissimétrica Não Flamba e. 5 Não Flamba Não Flamba Para =.75 (arco muito abatido), independente do valor de, o arco apresenta um caminho não linear sem ponto limite, decrescendo a não linearidade à medida que cresce. À medida que cresce, a não linearidade da resposta

17 43 aumenta e, para pequenos valores de, o arco passa a apresentar dois pontos limites que delimitam o trecho intermediário instável do caminho não linear de equilíbrio. Para arcos abatidos a instabilidade ocorre quando se atinge um destes pontos limites, ocorrendo neste caso a perda de estabilidade no modo simétrico. À medida que o arco se torna menos abatido, pode ocorrer, antes de se atingir o ponto limite, uma bifurcação instável e o arco perde a estabilidade através do modo antissimétrico. Nesses casos quando o arco atinge o carregamento crítico, ou ponto crítico, o sistema salta de um ponto de equilíbrio instável para um ponto de equilíbrio estável, este fenômeno é conhecido como instabilidade por snap qp N p.5 (a) = (b) = qp N p PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA through. (c) = vc/f. (d) = =.4 =4.8 vc/f. =5 Figura.6 Caminhos não lineares de equilíbrio de arcos parabólicos suportado horizontalmente por molas. =,. Método analítico. Na Tabela.3 é apresentado o valor do carregamento e do deslocamento crítico para os casos aqui analisados.

18 44 Tabela.3 - Carregamento Critico ( l α Vc/f (qp/n) analítico PUC-Rio - Certificação Digital Nº 984/CA 7.6 / )crit q (KN/m)