PME-2350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #7: VASOS DE PRESSÃO DE PAREDE ESPESSA 1

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1 PME-2350 MECÂNICA DOS SÓLIDOS II AULA #7: VASOS DE PRESSÃO DE PAREDE ESPESSA Introdução e hipóteses gerais Vimos na aula anterior as equações necessárias para a solução de um problema geral da Teoria da Elasticidade Clássica (TEC), ou seja, para a determinação dos campos de deslocamentos, deformações e tensões em todos os pontos do sólido em análise, perfazendo um total de 15 campos escalares a serem obtidos. Vimos também que a solução do problema envolvia os seguintes tipos de equações: Equações diferenciais de movimento (ou de equilíbrio); Relações deformações-deslocamentos; Equações constitutivas. Em seguida, utilizando o sistema de coordenadas cartesianas como exemplo, todas as incógnitas e equações necessárias para a solução foram apresentadas, deixando claro que outros sistemas de coordenadas poderiam ser utilizados conforme a conveniência. Também é importante registrar que as hipóteses gerais admitidas na solução de problemas da TEC são: Continuidade do meio material; Homogeneidade do meio material; Isotropia do meio material; Elasticidade linear; Linearidade geométrica. Nesta aula, veremos como podemos aplicar os três conjuntos de equações para a solução de dois problemas de particular interesse da engenharia mecânica: o problema da distribuição de tensões em vasos de pressão cilíndricos de parede espessa e o problema da distribuição de tensões em vasos de pressão esféricos de parede espessa. Também veremos, a partir da solução obtida para vasos de parede espessa, que a solução proposta pela Resistência dos Materiais para vasos cilíndricos e esféricos de parede fina fornece bons resultados quando Notas de Aula preparadas pelo Prof. Dr. Roberto Ramos Jr., rramosjr@usp.br Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 1

2 Como elementos motivadores que reforçam a importância deste estudo, as figuras 1 e 2 a seguir mostram algumas aplicações destes equipamentos na indústria. A figura 1 apresenta uma imagem de um duto sanduíche (pipe-in-pipe) que consiste em dois tubos metálicos separados por um espaço anular (de material polimérico ou um cimento especial) cuja função é servir de isolante térmico 2. As três camadas devem ser projetadas para resistir de forma combinada às pressões externa e interna simultaneamente. Fig. 1 Duto sanduíche (pipe-in-pipe) para o transporte de óleo e gás [1]. A figura 2 mostra um tampo hemisférico de parede espessa fabricado por uma indústria do setor metalúrgico. O diâmetro interno do tampo ilustrado é de 1800 mm e sua espessura é de 190 mm (razão 5,24); o vaso é fabricado em aço SA Fig. 2 Tampo hemisférico de parede espessa [2]. 2 A necessidade do isolamento térmico é evitar que o óleo transportado perca calor e se transforme em parafina, o que poderia interromper o escoamento de óleo. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 2

3 7.2. Vaso de pressão cilíndrico de parede espessa 3 Além das hipóteses gerais indicadas em 7.1, faremos algumas considerações adicionais acerca da forma do carregamento aplicado ao vaso e de sua geometria. Assim, admitiremos também que: A distribuição de pressões (interna e externa) é uniforme ao longo de toda a superfície cilíndrica (interna e externa), não havendo variação na intensidade das pressões seja com a coordenada axial (ou longitudinal) z, seja com a coordenada angular θ; O vaso também pode ser solicitado por forças axiais (na direção z) centradas (ou seja, não geram momento fletor), porém quaisquer efeitos de extremidade 4 são ignorados; As tensões (e deformações) decorrentes das forças distribuídas no volume são desprezíveis face às tensões (e deformações) decorrentes da ação dos esforços distribuídos nas superfícies (pressões interna e externa e forças axiais); Os esforços são aplicados quase-estaticamente de tal forma que as forças de inércia podem ser desprezadas; Seções transversais, que eram planas e ortogonais ao eixo central do vaso (antes da aplicação do carregamento), continuarão planas e ortogonais ao eixo central do vaso (após o carregamento); As superfícies laterais (interna e externa do vaso) são perfeitamente cilíndricas, não havendo qualquer tipo de ovalização ou variação de espessura ao longo do vaso; Problemas de instabilidade decorrentes da aplicação da pressão externa ou de uma força axial de compressão no vaso não estão considerados nesta formulação. Consideremos, assim, que sejam fornecidos os seguintes parâmetros (dados de entrada): : raio interno do vaso; : raio externo do vaso; : pressão (manométrica) aplicada internamente ao vaso; : pressão (manométrica) aplicada externamente ao vaso; : força axial aplicada às seções extremas; : módulo de elasticidade do material do vaso; : coeficiente de Poisson do material do vaso. 3 Ver, por exemplo, Timoshenko e Goodier [3] ou Sadd [4]. 4 Em geral, os efeitos de extremidade se restringem a porções pequenas do vaso, da ordem de seu raio médio ou menos. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 3

4 A figura 3 ilustra o carregamento aplicado ao vaso cilíndrico, consistindo das pressões interna e externa e da força axial aplicada a qual pode ser proveniente, ou não, da ação da pressão interna e/ou externa. p o F F j Fig. 3 Esforços externos aplicados ao vaso cilíndrico. Em virtude das hipóteses admitidas, podemos considerar de imediato que são válidas as seguintes simplificações para o problema em análise: (deslocamentos radiais independem das coordenadas e ); 0 (deslocamentos circunferenciais não são esperados); (deslocamentos axiais devem ser os mesmos para todos os pontos de uma dada seção). Utilizando inicialmente as relações deformações-deslocamentos em coordenadas cilíndricas, virá: Eq.(1) Eq.(2) Eq.(3) Eq.(4) Eq.(5) Eq.(6) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 4

5 Vemos, portanto, que todas as distorções, medidas segundo os pares de direções,,, e,, são nulas (contudo, como veremos adiante, há distorções entre outras direções, já que não se trata de um estado hidrostático de tensões). Utilizando agora as equações constitutivas do material, podemos determinar as tensões em função das deformações (e, portanto, em função dos deslocamentos ou de suas derivadas): = = = = = = = = 0 = = 0 = = 0 Eq.(7) Eq.(8) Eq.(9) Eq.(10) Eq.(11) Eq.(12) Como esperado, não podemos ter tensões cisalhantes nos planos de normal em virtude da simetria (estrutura simétrica sob carregamento simétrico: = 0 e = 0), e de normal, também em virtude da simetria (estrutura simétrica sob carregamento simétrico: = 0 e = 0). Substituindo, finalmente, as expressões (7-12) nas três equações diferenciais de equilíbrio, teremos: Na direção radial ( ): Levando a: = 0 Eq.(13) = = = 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 5

6 Na direção circunferencial ( ): = 0 0 = 0 Eq.(14) (equação automaticamente satisfeita!!) Na direção longitudinal ( ): Levando a: = 0 Eq.(15) = 0 Ou seja, o alongamento axial é constante ao longo do vaso, nas condições do problema. Retornando à equação diferencial obtida a partir de Eq.(13), teremos: + 1 = 0 = + Onde e são constantes de integração a serem obtidas a partir das condições de contorno do problema. Considerando que as condições de contorno estejam associadas ao conhecimento dos carregamentos nos contornos, teremos: 1 = : = = = 0 = = Logo: = Logo: = : 1 = = = 0 = = = Substituindo a solução encontrada para em Eq.(7), teremos: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 6

7 = = Aplicando as condições de contorno, teremos o seguinte sistema linear de equações nas incógnitas e : = Cuja solução fornece: = 2 = 2 + = Substituindo as relações acima em Eq.(7-9), teremos o campo de tensões dado por: = = = = Eq.(16) Eq.(17) = = Eq.(18) E, para o caso particular em que a pressão externa é nula: = = = Eq.(19) Eq.(20) Eq.(21) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 7

8 Deve-se observar ainda que as equações (16-18) são válidas também para o caso de um cilindro maciço submetido à pressão externa. Neste caso, fazendo simplesmente = 0, virá: = = = 2 + Eq.(22) Eq.(23) 7.3. Vaso de pressão esférico de parede espessa 5 Como no caso anterior, serão necessárias algumas considerações adicionais acerca da forma do carregamento aplicado ao vaso esférico e de sua geometria. Assim, admitiremos também que: A distribuição de pressões (interna e externa) é uniforme ao longo de toda a superfície esférica (interna e externa) do vaso, não havendo variação na intensidade das pressões seja com a coordenada angular φ, seja com a coordenada angular θ; As tensões (e deformações) decorrentes das forças distribuídas no volume são desprezíveis face às tensões (e deformações) decorrentes da ação dos esforços distribuídos nas superfícies (pressões interna e externa); Os esforços são aplicados quase-estaticamente de tal forma que as forças de inércia podem ser desprezadas; As superfícies laterais (interna e externa do vaso) são perfeitamente esféricas, resultando numa espessura constante em todos os pontos da superfície de meia-espessura; Problemas de instabilidade decorrentes da aplicação da pressão externa no vaso não estão considerados nesta formulação. Consideremos que sejam fornecidos os seguintes parâmetros (dados de entrada): : raio interno do vaso; : raio externo do vaso; : pressão (manométrica) aplicada internamente ao vaso; : pressão (manométrica) aplicada externamente ao vaso; : módulo de elasticidade do material do vaso; : coeficiente de Poisson do material do vaso. 5 Ver, por exemplo, Timoshenko e Goodier [3] ou Sadd [4]. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 8

9 A figura 4 ilustra o carregamento aplicado ao vaso esférico (pressões interna e externa). p o z y p i x Fig. 4 Pressões aplicadas ao vaso esférico. Em virtude das hipóteses admitidas, podemos considerar de imediato que são válidas as seguintes simplificações para o problema em análise: (deslocamentos radiais independem das coordenadas angulares e φ); 0 (deslocamentos segundo a direção não são esperados); 0 (deslocamentos segundo a direção não são esperados); Utilizando inicialmente as relações deformações-deslocamentos em coordenadas esféricas, virá: Eq.(29) Eq.(24) Eq.(25) Eq.(26) Eq.(27) Eq.(28) Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 9

10 Vemos, portanto, que todas as distorções, medidas segundo os pares de direções,,, e,, são nulas (contudo, como veremos adiante, haverá distorções entre outras direções, já que não se trata de um estado hidrostático de tensões). Utilizando agora as equações constitutivas do material, podemos determinar as tensões em função das deformações (e, portanto, em função dos deslocamentos ou de suas derivadas): = = = = = = = = 0 = = 0 = = 0 Eq.(30) Eq.(31) Eq.(32) Eq.(33) Eq.(34) Eq.(35) Como esperado, não podemos ter tensões cisalhantes nos planos de normal em virtude da simetria (estrutura simétrica sob carregamento simétrico: = 0 e = 0), e de normal, também em virtude da simetria (estrutura simétrica sob carregamento simétrico: = 0 e = 0). Substituindo, finalmente, as expressões (30-32) nas três equações diferenciais de equilíbrio, teremos: Na direção radial ( ): Levando a: = 0 Eq.(36) = 0 ( + 2) = 0 Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 10

11 Na direção ( ): = 0 0 = 0 Eq.(37) (equação automaticamente satisfeita!!) Na direção ( ): = 0 0 = 0 Eq.(38) (equação automaticamente satisfeita!!) Retornando à equação diferencial obtida a partir de Eq.(36), teremos: = 0 = + Onde e são constantes de integração a serem obtidas a partir das condições de contorno do problema. Considerando que as condições de contorno estejam associadas ao conhecimento dos carregamentos nos contornos, teremos: 1 = : = = = 0 = = Logo: = Logo: = : 1 = = = 0 = = = Substituindo a solução encontrada para em Eq.(30), teremos: Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 11

12 = Aplicando as condições de contorno, teremos o seguinte sistema linear de equações nas incógnitas e : = Cuja solução fornece: = 4 = = Substituindo as relações acima em Eq.(30-32), teremos o campo de tensões dado por: = = = Eq.(39) Eq.(40) E, para o caso particular em que a pressão externa é nula: = 1 3 = = Eq.(41) Eq.(42) Deve-se observar ainda que as equações (39-40) são válidas também para o caso de uma esfera maciça submetida à pressão externa. Neste caso, fazendo simplesmente = 0, virá: = = = Eq.(43) Somente neste último caso é que o estado de tensões se reduz a um estado hidrostático de tensões, não havendo tensões de cisalhamento em nenhum plano passando por qualquer ponto do sólido. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 12

13 7.4. Referências [1] [2] [3] Timoshenko, S.P.; Goodier, J.N., Theory of Elasticity, 3 rd ed., Mc-Graw-Hill, Inc., 1970, 567p. [4] Sadd, M.H., Elasticity: theory, applications, and numerics, 2 nd ed., Elsevier, Inc., 2009, 536p. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo Departamento de Engenharia Mecânica 13