Capítulo 5 Carga Axial

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Herman Galindo Casqueira
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1 Capítulo 5 Carga Axial Resistência dos Materiais I SIDES 05 Prof. MSc. Douglas M. A. Bittencourt prof.douglas.pucgo@gmail.com

2 Objetivos do capítulo Determinar a tensão normal e as deformações em elementos carregados axialmente Calcular as reações de apoio quando as equações de equilíbrio estático forem insuficientes Estudar o efeito da tensão térmica 2

3 5.1 Princípio de Saint-Venant 3

4 5.1 Princípio de Saint-Venant 4

5 5.1 Princípio de Saint-Venant A tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes da região de aplicação de cargas serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região. 5

6 5.1 Princípio de Saint-Venant 6

7 5.2 Deformação elástica de um elemento sob carga axial Consideremos a viga genérica sob carga axial: Carga varia ao longo de x Área varia ao longo de x Elasticidade varia ao longo de x Tensão uniforme em cada seção P (x) A (x) E (x) Saint-Venant 7

8 5.2 Deformação elástica de um elemento sob carga axial Vamos calcular a deformação no elemento dx: P( x) A( x) d dx E P( x) A( x) E( x) d dx ei de Hooke!!! d P( x) dx A( x) E( x) 8

5.2 Deformação elástica de um elemento sob carga axial Para o comprimento total da barra, tem-se: P( x) dx A( x) E( x 0 ) δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a um outro ponto.

9 5.2 Deformação elástica de um elemento sob carga axial Para o comprimento total da barra, tem-se: P( x) dx A( x) E( x 0 ) δ = deslocamento de um ponto na barra relativo a um outro ponto. = distância original entre os dois pontos. P(x) = força axial interna na seção, localizada a uma distância x de uma extremidade. A(x) = área da seção transversal da barra, expressa em função de x. E(x) = módulo de elasticidade do material, expresso em função de x. 9

10 5.2 Deformação elástica de um elemento sob carga axial Elemento com P, A e E constantes (ao longo do comprimento P A E 0 dx P A E Quando o elemento é constituído de segmentos: P A E 10

11 5.2 Deformação elástica de um elemento sob carga axial Convenção de sinais + Tração / Alongamento Compressão / Contração 11

12 Exemplo

13 Exemplo

14 5.3 Princípio da Superposição A tensão ou o deslocamento resultante no ponto podem ser determinados se antes se determinar a tensão ou o deslocamento causado por cada componente de carga agindo separadamente sobre o elemento. Metodologia: Subdividir o carregamento em componentes; Calcular os efeitos em separado; Somar os resultados. 14

15 5.3 Princípio da Superposição Condições necessárias para aplicação do método: A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou com o deslocamento a ser determinado: Exemplos: P A P AE A carga não deve provocar mudanças significativas na geometria ou na configuração original do elemento. embrar da hipótese de pequenos deslocamentos! 15

16 5.3 Princípio da Superposição Condições necessárias para aplicação do método: Contra exemplo (o princípio não é válido): P d P 1 d 1 P 2 d 2, porque d d d 1 2 No curso o princípio sempre será válido, a menos que se explicite o contrário, como no caso de flambagem de colunas 16

17 5.4 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Um elemento é considerado estaticamente indeterminado quando as equações de equilíbrio são insuficientes para a determinação das reações Uma forma de se resolver o problema consiste em adicionar mais uma equação ao sistema, chamada equação de compatibilidade ou cinemática, que relaciona o deslocamento ao equilíbrio 17

18 5.4 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Exemplo: Equilíbrio: 0 F v F A F B P 0 Duas incógnitas e apenas uma equação! Equação de compatibilidade A / B zero 18

19 5.4 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Exemplo: Percebendo-se que a força interna no segmento AC é +F A, e que no segmento CB é -F B, a equação de compatibilidade pode ser escrita como: FA A E A AC / C B / C 0 FB A E CB 0 19

20 5.4 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Exemplo: FA A E AC FB A E CB 0 F A FB AC CB Substituindo na equação de equilíbrio estático: FB F B AC CB CB F AC B AC P P F B F B CB AC P 1 AC P F A P CB 20

21 Exemplo

22 Exemplo

23 Exemplo

24 5.5 Tensão Térmica A partir de estudos da Física, pode-se deduzir: T T α: coeficiente linear de expansão térmica [T] -1 ΔT: variação de temperatura do elemento : comprimento inicial do elemento δ T : variação no comprimento do elemento 24

25 5.5 Tensão Térmica Se a mudança na temperatura ou o deslocamento mudar ao longo do comprimento: T 0 T dx Observação: quando o elemento é estaticamente indeterminado, os deslocamentos térmicos podem ser restringidos pelos apoios, o que produz tensões térmicas que devem ser consideradas em projeto. 25

26 Exemplo mm E aço = 200 GPa 10 mm 1 m α aço = 12x10-6 ºC -1 26

27 Exemplo mm 10 mm 1 m 27

28 Exemplo 5.6 E aço = 200 GPa α aço = 12x10-6 ºC -1 E Al = 73,1 GPa α Al = 23x10-6 ºC -1 28

29 Exemplo

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