Torção Não-Uniforme - UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA INDUSTRIAL METALÚRGICA DE VOLTA REDONDA SALETE SOUZA DE OLIVEIRA BUFFONI

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1 - UNIVERSIDADE FEDERA FUMINENSE ESCOA DE ENGENHARIA INDUSRIA MEAÚRGICA DE VOA REDONDA SAEE SOUZA DE OIVEIRA BUFFONI RESISÊNCIA DOS MAERIAIS orção Não-Uniforme A barra não precisa ser prismática e os torques aplicados podem agir em qualquer lugar ao longo do eixo da barra. Nesse caso aplica-se a fórmula de torção pura em segmentos individuais da barra e somam-se os resultados, ou aplicam-se as fórmulas para elementos diferenciais e integra-se, Caso Barra consistindo de segmentos prismáticos com torque constante ao longo de cada segmento, como na Figura. Figura - Barra em torção não-uniforme em-se que os torques abaixo são constantes ao longo do comprimento de seu segmento: = + () CD BC 3 = () = (3) AB Salete Souza de Oliveira Buffoni

2 Convenção de sinal Um torque interno é positivo quando seu vetor aponta para fora da seção cortada e negativa quando seu vetor aponta em direção a seção. Caso o torque tenha sinal positivo, isso quer dizer que ele está na direção assumida, caso contrário, ele age na direção oposta. Ângulo de torção O ângulo de torção total de uma extremidade da barra em relação à outra é então obtido através da soma algébrica, da seguinte maneira: φ - Ângulo de torção para o segmento. φ - Ângulo de torção para o segmento φ = φ K + (4) + φ + φn E assim por diante, onde n é o número total de segmentos. Fórmula geral do ângulo de torção n i= n i i φ = φi = (5) G i= i ( I ) O subscrito i é um índice numérico para os vários segmentos, i é o torque interno, i é o comprimento, G i é o módulo de cisalhamento e ( I é o momento de inércia polar. P i ) i P Caso - Barra com seções transversais variando continuamente e torque constante A tensão de cisalhamento máxima ocorre na seção que tem o menor diâmetro. Consideremos um elemento de comprimento dx à distância x de uma extremidade da barra, como na Figura. O ângulo de rotação diferencial d φ para esse elemento é: dx dφ = (6) GI P ( x) Figura - Barra em torção não-uniforme. Salete Souza de Oliveira Buffoni

3 Em que I P ( x) é o momento polar de inércia da seção transversal à distância x da extremidade. O ângulo de torção para toda a barra é a soma dos ângulos de rotação diferenciais. 0 dx φ = dφ = (7) GI 0 P ( x) Resolução da integral: Analítica ou numericamente. Caso 3 - Barra com seções transversais variando continuamente e torque variando continuamente como na Figura 3. Ângulo de torção para o caso 3 Figura 3 Barra em torção não-uniforme 0 0 ( x) dx ( x) φ = dφ = (8) GI P imitações As análises descritas são válidas para barras feitas de materiais elásticos lineares com seções transversais circulares (sólidas ou vazadas). As tensões determinadas são válidas em regiões distantes de concentração de tensão. Salete Souza de Oliveira Buffoni 3

4 Exercício. Um eixo sólido de aço ABCD, Figura 4, tendo diâmetro d=30 mm gira livremente em mancais nos pontos A e E. O eixo é comandado pela engrenagem em C, que aplica um torque =450 N.m na direção ilustrada na figura. As engrenagens em B e D são giradas pelo eixo e tem torques de resistência =75 N.m e 3 =75 N.m, respectivamente, agindo na direção oposta ao torque. Os segmentos BC e CD têm comprimentos BC = 500 mm e CD =400 mm, respectivamente, e o módulo de elasticidade de cisalhamento G=80 GPa. Determine a tensão de cisalhamento máxima em cada parte do eixo e o ângulo de torção entre as engrenagens B e D. Solução Figura 4 - Eixo de aço em torção. Figura 5 Diagramas de corpo livre. Resposta: τ BC = 5,9 MPa, τ CD = 33,0 MPa, φ o BD = 0, 6 Estudar o exercício resolvido 3.5 do Gere pág. 55 Salete Souza de Oliveira Buffoni 4

5 ransmissão de Potência por eixos Circulares Utilidade: ransmitir potência mecânica de um dispositivo ou máquina para outro (eixo propulsor de um navio, eixo de uma bicicleta). A potência é transmitida através do movimento rotatório do eixo e a quantidade de potência transmitida depende da magnitude do torque e da velocidade de rotação. Problema comum Determinar o tamanho do eixo de tal forma que ele transmita uma quantidade específica de potência numa velocidade de rotação especificada sem exceder as tensões admissíveis do material. Analise a Figura 6 Figura 6 - Eixo transmitindo um torque constante a uma velocidade angular w. rabalho realizado por um torque de magnitude constante W = ψ (9) Onde W é o trabalho realizado pelo torque e ψ é o ângulo de rotação em radianos Potência é a taxa em que o trabalho é realizado dw dψ P = = t (0) dt dt Onde P é a potência e t é o tempo. A velocidade angular, ω é dada por: dψ ω = dt () Substituindo-se () em (0) dw P = = tω dt ϖ = rad s () Salete Souza de Oliveira Buffoni 5

6 Essa fórmula da física, fornece a potência transmitida por um eixo em rotação transmitindo um torque constante Unidades: SI= orque em N/m -> Potência em Watt (W). Watt = Nm/seg = joule/seg orque em libra-pés -> Potência em pé-libras/seg Velocidade Angular Substituindo-se (3) em () ω = πf (ω em rad/s, f =Hz=s - ) (3) P = πf (f =Hz=s - ) (4) Número de revoluções por minuto (rpm), denotada pela letra n é dada por: Substituindo-se (5) em (4) n = 60 f (5) πn P = (6) 60 Prática da engenharia nos estados unidos Potência é expressa em Cavalos (hp) -> hp=550 ft-lb/s Exercício:. Um motor rotacionando um eixo circular sólido transmite 40 hp para uma engrenagem em B, Figura 7. A tensào de cisalhamento admissível no aço é 6000 psi (a) Qual é o diâmetro d necessário do eixo se ele é operado a 500 rpm? (b) Qual é o diâmetro d necessário se ele é operado a 3000 rpm? Resposta: (a) d=,6 in (b) d=0,89 in Figura 7: Eixo de aço em torção. Resolver o exercício 3.8 do Gere pág. 65 Salete Souza de Oliveira Buffoni 6

7 Membros de orção Estaticamente Indeterminados As reações e torque internos não podem ser mais obtidos através das equações de equilíbrios. Utilizam-se as equações de compatibilidade. Passos para se resolver o problema - Escrever as equações de equilíbrio a partir de diagramas de corpo livre. As quantidades desconhecidas são os torques, tanto internos como de reação. - Formular equações de compatibilidade, as incógnitas são os ângulos de torção. 3- Relacionar os ângulos de torção aos torques pelas relações de torquedeslocamento, como φ = GI P, depois de colocar essas relações nas equações de compatibilidade, elas também se tornam equações tendo os torques como incógnitas. 4- Obter os torques desconhecidos resolvendo simultaneamente as equações de equilíbrio e compatibilidade. Salete Souza de Oliveira Buffoni 7

8 Ilustração do método de solução: Suponha a barra composta AB apresentada na Figura 8. A Extremidade A é engastada e em B existe uma placa rígida. é igual à carga aplicada, e dessa forma a equação de equilíbrio é: = + (7) Figura 8 Barra estaticamente indeterminada em torção. Quando o torque é aplicado à barra composta, a placa na extremidade rotaciona através de um pequeno ângulo φ E os torques e são desenvolvidos na barra sólida e tudo, respectivamente. Do equilíbrio sabemos que a soma desses torques Incógnitas: e Consideração dos deslocamentos de rotação. Os ângulos de torção devem ser iguais por que a barra e o tubo estão unidos seguramente à placa rígida e rotacionam com ela. φ = φ (8) Relações de orque deslocamento φ =, GI P φ = (9) G I P onde G e G são os módulos de elsaticidade de cisalhamento dos materiais, Ip e Ip são os momentos de inércia polar das seções transversais. Substituindo-se (9) em (8) Assim, G I = G P P = (0) G I GI P I + G I G I P = () GI P + G I P A análise estaticamente indeterminada está completa. As tensões e ângulos de torção podem agora ser encontrados a partir dos torques P P Salete Souza de Oliveira Buffoni 8

9 Exercício:. A barra ACB ilustrada na Figura 9.a e b está engastada em ambas as extremidades carregadas por um torque o no ponto C. Os segmentos AC e CB da barra têm diâmetros d A e d B, os comprimentos A e B e momentos de inércia polar I PA e I PB, respectivamente. O material da barra é o mesmo ao longo de ambos os segmentos. Obtenha fórmulas para (a) os torques de reação A e B nas extremidades, (b) As tensões de cisalhamento máximas τ AC e τ CB em cada segmento da barra e (c) o ângulo de rotação φ C na seção transversal em que a carga o é aplicada. Figura 9- Barra estaticamente indeterminada em torção Resposta: B I = PA A o B I PA + AI ; AI PB = PB B o B I PA + AI PB d o B A o A B τ AC = ; τ CB = ; ( B I PA + AI PB ) ( B I PA + AI PB ) d φ C = G ( I + I ) B o PA A B A PB Salete Souza de Oliveira Buffoni 9

10 Referências Bibliográficas:. BEER, F.P. e JOHNSON, JR., E.R. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Makron Books, Gere, J. M. Mecânica dos Materiais, Editora homson earning 3. HIBBEER, R.C. Resistência dos Materiais, 3.º Ed., Editora ivros écnicos e Científicos, 000. Observações: - O presente texto é baseado nas referências citadas. - odas as figuras se encontram nas referências citadas. Salete Souza de Oliveira Buffoni 0