Resistência dos materiais 1

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Terezinha Cabral de Almeida
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1 Resistência dos materiais 1 Prof. Dr. Iêdo Alves de Souza Assunto: torção em barras de seção transversal circular DECE: UEMA & DCC: IFMA

2 Plano de estudo

3 Plano de estudo Introdução

4 Plano de estudo Introdução Torção em barras de seção circular cheia

5 Plano de estudo Introdução Torção em barras de seção circular cheia Torção em barras de seção circular vazada

6 Plano de estudo Introdução Torção em barras de seção circular cheia Torção em barras de seção circular vazada Aplicação

7 Plano de estudo Introdução Torção em barras de seção circular cheia Torção em barras de seção circular vazada Aplicação Referências

8 Plano de estudo Introdução Torção em barras de seção circular cheia Torção em barras de seção circular vazada Aplicação Referências

9 Introdução Convenção de sinal e classificação da estrutura

10 Introdução Cálculo da reação T A : equação de equiĺıbrio

11 Introdução Cálculo da reação T A : esforços solicitantes

12 Introdução Cálculo da reação T A : esforços solicitantes

13 Introdução Efeitos causados pelo momento torçor

14 Introdução Efeitos causados pelo momento torçor Uma seção transversal gira em relação a outra Aparecem tensões de cisalhamento variando de forma linear

15 Introdução Efeitos causados pelo momento torçor Uma seção transversal gira em relação a outra Aparecem tensões de cisalhamento variando de forma linear

16 Introdução Efeitos causados pelo momento torçor

17 Introdução Efeitos causados pelo momento torçor τ l.dxdr.dt = τ.dtdr.dx = τ l = τ

18 Introdução Efeitos causados pelo momento torçor τ l.dxdr.dt = τ.dtdr.dx = τ l = τ

19 Introdução Teorema de Cauchy e segurança contra a ruptura Em planos perpendiculares, as tensões de cisalhamento são iguais entre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta.

20 Introdução Teorema de Cauchy e segurança contra a ruptura Em planos perpendiculares, as tensões de cisalhamento são iguais entre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta. bb = dφ D 2 = γdx dφ. D 2 dφ.r = γdx γ r dx γ r = 2r D γ b 1b 1 = dφr = γ r dx τ = Gγ G = E 2(1+ν) p/γ = r τ r = Gγ r γ r = τr G Nota: ν = coeficiente de Poisson τ r = 2r D τ, fazendo o raio igual a D 2

21 Introdução Teorema de Cauchy e segurança contra a ruptura Em planos perpendiculares, as tensões de cisalhamento são iguais entre si, e convergem ou divergem de uma mesma aresta. bb = dφ D 2 = γdx dφ. D 2 dφ.r = γdx γ r dx γ r = 2r D γ b 1b 1 = dφr = γ r dx τ = Gγ G = E 2(1+ν) p/γ = r τ r = Gγ r γ r = τr G Nota: ν = coeficiente de Poisson τ r = 2r D τ, fazendo o raio igual a D 2 τ τ = τr C s

22 Seção transversal circular cheia tensão de cisalhamento

23 Seção transversal circular cheia tensão de cisalhamento M t = A τ r da.r = M t = D 2 0 M t = πτd3 16 τ = 16Mt πd 3 2r D τ.2πrdr.r

24 Seção transversal circular cheia tensão de cisalhamento M t = A τ r da.r = M t = D 2 0 M t = πτd3 16 τ = 16Mt πd 3 2r D τ.2πrdr.r

25 Seção transversal circular cheia Deslocamento

26 Seção transversal circular cheia Deslocamento Giro de uma seção genérica x: ϕ(x) 0 dϕ = x 0 ϕ(x) = x 2 0 GD. 16Mt dx = 32 x M t πd 3 π 0 dx = 32Mtx GD 4 πgd 4 ϕ(x) = Mtx GI t 2 GD.τdx

27 Seção transversal circular cheia Deslocamento Giro de uma seção genérica x: ϕ(x) 0 dϕ = x 0 ϕ(x) = x 2 0 GD. 16Mt dx = 32 x M t πd 3 π 0 dx = 32Mtx GD 4 πgd 4 ϕ(x) = Mtx GI t 2 GD.τdx

28 Seção transversal circular vazada Tubo de parede grossa: tensão cisalhante Considera-se tubo de parede grossa quando e > d 20

29 Seção transversal circular vazada Tubo de parede grossa: tensão cisalhante Considera-se tubo de parede grossa quando e > d 20

30 Seção transversal circular vazada Tubo de parede grossa: deslocamento angular ϕ(x) 0 dϕ = x 0 2 GD. 16M td π(d 4 d 4 ) dx

31 Seção transversal circular vazada Tubo de parede grossa: deslocamento angular ϕ(x) 0 dϕ = x 0 2 GD. 16M td π(d 4 d 4 ) dx

32 Seção transversal circular vazada Tubo de parede grossa: deslocamento angular ϕ(x) 0 dϕ = x 0 2 GD. 16M td π(d 4 d 4 ) dx ϕ(x) = 32Mtx πg(d 4 d 4 ) = Mtx GI t = I t = π(d4 d 4 ) 32

33 Seção transversal circular vazada Tubo de parede fina: tensão de cisalhamento Considera-se tubo de parede fina quando e d 20

34 Seção transversal circular vazada Tubo de parede fina: deslocamento angular ϕ(x) 0 dϕ = x 0 2 GD.τdx = x 0 2 GD. 2Mt πd m 2 e dx

35 Seção transversal circular vazada Tubo de parede fina: deslocamento angular ϕ(x) 0 dϕ = x 0 2 GD.τdx = x 0 2 GD. 2Mt πd m 2 e dx ϕ(x) = 4Mtx πgd 3 m e = Mtx GI t = I t = πdm3 e 4

36 Aplicação Exemplo-01 1 Resp.: φ A = 5, 19

37 Aplicação Exemplo-01 Dois eixos maciços de aço (G = 77 GPa) são conectados pelas engrenagens mostradas (Figura abaixo). Determinar o ângulo de torção da extremidade A, quando nesse ponto um torque T de 340 N.m é aplicado 1. 1 Resp.: φ A = 5, 19

38 Aplicação Exemplo-02 2 Resp.: τ I = 0, 33 t cm 2 ; τ II = 0, 32 t cm 2 ; τ III = 0, 38 t cm 2 ; φ I = 8, 15(10) 3 rad; φ II = 2, 18(10) 3 rad; φ III = 8, 47(10) 3 rad.

39 Aplicação Exemplo-02 No eixo mostrado abaixo, calcule τ máx indicando onde ocorre. Sendo G= 800 t cm 2, calcule os giros que o eixo sofre nas seções I, II e III 2. 2 Resp.: τ I = 0, 33 t cm 2 ; τ II = 0, 32 t cm 2 ; τ III = 0, 38 t cm 2 ; φ I = 8, 15(10) 3 rad; φ II = 2, 18(10) 3 rad; φ III = 8, 47(10) 3 rad.

40 Aplicação Exemplo-03 3 Resp.: T= 4,12 kn.m

41 Aplicação Exemplo-03 As extremidades A e D de dois eixos maciços de aço, AB e CD, estão engastadas. As extremidades B e C são conectadas por engrenagens, como indicado. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é 50 MPa para cada eixo, determinar o maior torque T que pode ser aplicado na engrenagem B 3. 3 Resp.: T= 4,12 kn.m

42 Aplicação Exemplo-04 4 Resp.: (a)m A = 9,68 kn.m; M C = 2,82 kn.m;(b) τ AB = 29, 7MPa (c) τ BC = 34, 1MPa

43 Aplicação Exemplo-04 Os cilindros maciços AB e BC estão unidos em B e engastados em A e C. Sabendo-se que AB é de alumínio (G al =26 GPa) e BC é de latão (G l =39 GPa), determinar para o carregamento mostrado: (a) a reação em cada extremidade fixa; (b) a máxima tensão cisalhante em AB; (c) a máxima tensão cisalhante em BC 4. 4 Resp.: (a)m A = 9,68 kn.m; M C = 2,82 kn.m;(b) τ AB = 29, 7MPa (c) τ BC = 34, 1MPa

44 Aplicação Exemplo-05 5 Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05

Aplicação Exemplo-05 O eixo composto mostrado consiste em uma camisa de latão (G l =39 GPa) com 5,5 mm de espessura, colado a um núcleo de aço (G a =77 GPa) com diâmetro de 40 mm.

45 Aplicação Exemplo-05 O eixo composto mostrado consiste em uma camisa de latão (G l =39 GPa) com 5,5 mm de espessura, colado a um núcleo de aço (G a =77 GPa) com diâmetro de 40 mm. Sabendo-se que o eixo é submetido a um torque de 600 N.m, determinar: (a) a máxima tensão cisalhante na camisa de latão; (b) a máxima tensão cisalhante no núcleo de aço; (c) o ângulo de torção de B, relativo a A 5. 5 Resp.: (a)17,47 MPa; (b)27,6 MPa; (c) 2,05

46 Aplicação Exemplo-06 6 Resp.: T = 12, 566 t.cm

47 Aplicação Exemplo-06 Calcular o momento torçor T admissível para a Figura abaixo. Dados: E = t ; G = 700 t ; σ = 1, 2 t ; τ = 0, 8 t. As cm 2 cm 2 cm 2 cm 2 barras AB e CD têm 1 centímetro de diâmetro e 1 metro de comprimento 6. 6 Resp.: T = 12, 566 t.cm

48 Aplicação Exemplo-07

49 Aplicação Exemplo-07 Sendo G= 800 kn/cm 2, calcular qual deve ser o o coeficiente de mola k (kn/cm 2 ), indicado na Figura abaixo, para que o giro da barra rígida seja 0,01 radiano.

50 Referências

51 Referências BEER, F.P. et al. Resistência dos materiais. Ed. McGraw-Hill. 3 DI BLASI, C.G. Resistência dos materiais. Liv. Freitas Bastos. 4 HIGDON, A. et al. Mecânica dos materiais. Ed. Guanabara Dois. 5 LANGENDONCK, T. et al. Resist. dos materiais. Ed. da USP. 6 NASH, W.A. Resistência dos materiais. Ed. McGraw-Hill. 7 RACHID, M. et al. Exercícios de resistência dos materiais. Ed. da UFSCar. 8 SCHIEL, F. Introdução à Resistência de materiais. Ed. HARBRA. 9 SHAMES, I.H. Introdução à mecânica dos sólidos. Ed. Prentice-Hall. 10 TIMOSHENKO, S.P. e GERE, J.E. Mecânica dos sólidos. Livros Técnicos e Científicos Ed..

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