RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II TORÇÃO PARTE II

Transcrição

1 RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS II TORÇÃO PARTE II Prof. Dr. Daniel Caetano

2 Objetivos Calcular deformações (rotações) por torção Capacitar para o traçado de diagramas de momento torçor em barras

3 Material de Estudo Material Apresentação Acesso ao Material (Aula 6) Material Didático Resistência dos Materiais (Hibbeler) Parte 1 / 2 Páginas 153 a 166.

4 RELEMBRANDO: CISALHAMENTO E A TORÇÃO

5 Deformação por Torção Torção é a deformação por efeito do torque Torque é um esforço que deforma... Em torno do eixo longitudinal

6 Deformação por Torção Pode-se definir a deformação por ângulo φ(x) φ(x) : varia com a distância do engastamento Engastamento

7 Deformação por Torção Deformação causada pelo cisalhamento τ MAX

8 Deformação por Torção γ dx = ρ dφ γ = ρ dφ dx ρ L γ ρ φ Como calcular φ?

9 CÁLCULO DO ÂNGULO DE TORÇÃO

10 Ângulo de Torção De maneira geral, podemos considerar: γ = ρ dφ dx Isolando dφ: dφ = γ dx ρ

11 Ângulo de Torção De maneira geral, podemos considerar: γ = ρ dφ dx Isolando dφ: dφ = γ dx ρ Pela lei de Hooke... τ = G γ γ = τ G

12 Ângulo de Torção Continuando... dφ = γ dx ρ γ = τ G Resulta em: dφ = τ G dx ρ

13 Ângulo de Torção Continuando... dφ = τ G dx ρ

14 Ângulo de Torção Continuando... dφ = τ G dx ρ Pela fórmula do cisalhamento na torção... Então... τ = dφ = T x. ρ J(x) T x. ρ J x. G dx ρ

15 Ângulo de Torção Continuando... dφ = dφ = T x. ρ J x. G dx ρ T x J x. G dx φ = 0 L T x J x. G dx

16 Ângulo de Torção Considerando T e J constantes... φ = φ = φ = 0 L T J. G T J. G dx L dx 0 T. L J. G [rad] δ = P. L E. A

17 Exemplo: Eixo Maciço Lembrando que J, para um eixo maciço: J = ρ 2 π R4. da = 2 A y da O ρ R dρ x

18 Exemplo: Eixo Maciço Lembrando que para um eixo maciço π R4 J = 2 Como... T. L φ = G. J Então T. L φ = π R 4. G [rad m ]

19 Exemplo: Eixo Maciço Um momento torçor de 1MN.m age sobre um eixo de aço, G=75GPa, com raio 10cm (seção circular). Qual é a rotação entre os dois extremos do eixo, distantes 10m entre si? π R4 J = 2 J = π ( ) 4 2 π 10 4 J = = 5 π

20 Exemplo para Eixo Maciço Um momento torçor de 1MN.m age sobre um eixo de aço, G=50GPa, com raio 10cm (seção circular). Qual é a rotação entre os dois extremos do eixo, distantes 10m entre si? J = 5 π 10 5 φ = T. L G. J φ = π 10 5

21 Exemplo para Eixo Maciço Um momento torçor de 1MN.m age sobre um eixo de aço, G=50GPa, com raio 10cm (seção circular). Qual é a rotação entre os dois extremos do eixo, distantes 10m entre si? Logo... φ = π 10 5 φ = π = 4 π rad

22 RESUMO DE FÓRMULAS

23 Fórmulas para Torção Pelo que vimos até agora... T. L φ = G. J τ MAX = T J. R Então... A partir do momento torçor T calculamos tudo? P = T. ω

24 DIAGRAMA DE MOMENTO TORÇOR

25 Convenção de Sinais Sinal é dado pela regra da mão direita Seta saindo da superfície: +

26 Diagramas Planos Momentos Torçores Concentrados 200kN.m T: + 200kN.m

27 Diagramas Planos Momentos Torçores Concentrados 200kN.m T: - 200kN.m

28 Diagramas Planos Momentos Torçores Concentrados 100kN.m 200kN.m T: + 100kN.m + 200kN.m

29 Diagramas Planos Momentos Torçores Concentrados 300kN.m 200kN.m T: - 100kN.m + 200kN.m

30 Diagramas Planos Momentos Torçores Concentrados 200kN.m 50kN.m 150kN.m 100kN.m T: kN.m

31 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados T: + 200kN.m 200kN.m

32 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados T: 100kN.m + 300kN.m 200kN.m - 200kN.m

33 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados T: 3m 10kN

34 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados T: 3m 10kN

35 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados T: 3m 10kN 0

36 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados T: 3m 10kN 0

37 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados T: 3m 10kN + 10kN.m 10kN 10kN.m 0

38 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m 10kN

39 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m 10kN

40 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 0

41 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 0

42 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 0

43 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m 10kN 10kN 10kN.m kN.m

44 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m + 10kN 0 10kN.m

45 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m kN 0 10kN.m

46 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 2m kN 0 10kN.m

47 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN 20kN T: 10kN 2m 10kN 10kN.m 20kN.m kN.m

48 Diagramas Tridimensionais Momentos Torçores Concentrados 20kN T: 10kN.m 30kN 2m 10kN 10kN.m kN.m

49 EXEMPLO COMPLETO

50 Exemplo A barra abaixo, que possui G = 20GPa, tem R = 10 cm. Calcule quanto ponta da barra irá girar com relação ao engastamento e o τ MAX. 2m 30kN.m 10kN.m

51 Exemplo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? 2m 30kN.m 10kN.m Passo 1: Diagrama de Torção T: 20kN.m kN.m

52 Exemplo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m Passo 2: Cálculo de J... E φ... 2m - 1 φ = J = T. L G. J kN.m π. R4 2 = 2. T. L G. π. R 4

53 Exemplo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m kN.m Passo 3: Cálculo de φ 1 φ 1 = 2. T. L G. π. R 4 φ 1 = 2. ( 2) π. ( ) 4 = π

54 Exemplo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m kN.m Passo 4: Cálculo de φ 2 φ 2 = 2. T. L G. π. R 4 φ 2 = π. ( ) 4 = π

55 Exemplo G = 20GPa R = 10 cm φ=? τ MAX =? T: 20kN.m 2m kN.m Passo 5: Cálculo de φ = φ 1 + φ 2 φ = π φ = π π rad 0, rad 0,55

56 Exemplo G = 20GPa R = 10 cm φ=-0,55 o τ MAX =? T: 20kN.m 2m kN.m 1 Passo 6: Cálculo deτ MAX T. R 2. T. R τ MAX = = J π. R 4 2. T = π. R 3 τ MAX = π ( ) 3 = π 12,7MPa

57 EXERCÍCIO

58 Exercício (Em Dupla) A barra abaixo, que possui G = 20GPa, tem R = 10 cm. Calcule quanto ponta da barra irá girar com relação ao engastamento e o τ MAX. 20π kn.m 20π kn.m Calcule qual seria a diferença de rotação e cisalhamento máximo se a barra fosse oca, com o raio interno igual a 5cm?

59 PARA TREINAR

60 Para Treinar em Casa Hibbeler (Bib. Virtual), Pág. 161 a 166 Mínimos: Exercícios 5.42, 5,45, 5.46, 5.49 Extras: Exercícios 5.43, 5.44, 5.47, 5.52 Adote essas conversões: 1 ksi = 7MPa 1hp = 1000W 1 pol = 25mm

61 Para Treinar em Casa

62 CONCLUSÕES

63 Resumo É possível determinar o ângulo de torção A partir do momento torçor é possivel calcular a maioria das grandezas de interesse Os diagramas de torção permitem determinar o ponto de máximo momento de torção Exercitar Exercícios Hibbeler

64 Próxima Aula E se a torção ocorrer em eixo bi-engastado? E se o eixo não possuir seção transversal circular?

65 PERGUNTAS?

66 BOM DESCANSO A TODOS!