Deflexão em vigas de eixo reto

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1 10 de novembro de 2016

2 Linha elástica da flexão é a curva formada pelo eixo de uma viga inicialmente retilíneo, devido à aplicação de momentos de flexão. Figura : Exemplo de viga em flexão

3 Antes da aplicação das cargas, a superfície neutra se encontra contida em um plano horizontal. Com a aplicação das cargas a superfície neutra se transforma em uma superfície curva. Figura : Exemplo de viga em flexão

4 A curva da superfície neutra representa a deformação de toda a viga. Esta curva se denomina curva elástica e, por simplicidade, é representada pela interseção do plano de simetria com a superfície neutra. Desta forma, a curva elástica representa os deslocamentos dos centros de gravidade de todas as seções transversais que formam a viga. Figura : Representação plana da deflexão da viga

5 Matematicamente a curva elástica ou simplesmente elástica se representa pela equação no plano de simetria. Se o eixo das deflexões for representado por v a curva elástica se torna uma função v (x), que dependera também das cargas aplicadas e das propriedades mecânicas do material que compõe a viga. A Figura mostra uma representação plana da deflexão da viga, onde x coincide com o eixo da viga e v=v(x) é o deslocamento no caso vertical, de cada seção da viga. Figura : Representação plana da deflexão da viga

6 Além deste movimento, no caso descendente, no plano vertical, deve-se observar também que as seções transversais, que inicialmente eram retas e perpendiculares ao eixo continuam, após a flexão, retas e perpendiculares ao eixo.

7 Desta forma, as seções transversais sofrem uma rotação θ = θ(x) em torno do eixo de rotação.

8 Objetivo O objetivo, portanto, deste capítulo é o de determinar as equações do(s) deslocamento(s) v(x) e da(s) rotação(ções) θ(x) para diversos tipos de vigas.

9 Equação diferencial da linha elástica dθ ρ M y A A B B eixo M seções A e B: duas seções adjacentes da viga. Antes da aplicação do carregamento estas seções estavam paralelas e distantes entre si dx.

10 Equação diferencial da linha elástica dθ ρ M y A A B B eixo M ds=ab: o comprimento do trecho do eixo compreendido entre A e B

11 dθ ρ M y A A B B eixo M A B : um segmento de reta paralelo ao eixo e de comprimento ds+dsε x = ds(1+ε x ) y: a distância entre A e A, B e B

12 dθ ρ M y A A B B eixo M ρ: o raio de curvatura do trecho AB do eixo da barra após a atuação de M; dθ: o ângulo de curvatura do trecho do eixo entre AB que, por conseqüência, também é o ângulo de curvatura de A B

13 Conceitos já conhecidos: As tensões normais na flexão se relacionam com o momento fletor atuante da seguinte forma: Lei de Hooke: σ x = M z I z y (1) ε x = σ x E = M z EI z y (2)

14 dθ ρ M A y A B B eixo M O comprimento de AB após atuação do carregamento é ds pode ser relacionado comρedθ da seguinte forma: ds=ρdθ dθ ds = 1 ρ A curvaturaκda barra é expressa como: (3) κ= 1 ρ = dθ ds (4)

15 dθ ρ M A y A B B eixo M Para pequenas deformações, pode-se fazer a seguinte simplificação: ds dx= κ= 1 ρ = dθ dx (5)

16 M dθ A y A B ρ B eixo M σ x = M z I z y ε x = σ x E = M z EI z y ds=ρdθ dθ ds = 1 ρ Para pequenas deformações: ds dx= dθ ds dθ dx du=dθy= ε x = du dx = dθ dx y Logo: dθ dx = M z EI z

17 S dθ T Ρ S T dφ dφ=dθ φ=θ Sendo tanφ o coeficiente angular da reta tangente à LE v numa posição x e considerando a hipótese de pequenos deslocamentos e deformações tem-se: tanφ φ(x)= dv dx e dφ dx = d2 v dx 2

18 S dθ T Ρ S T dφ dθ ds dθ dx = M z EI z dφ=dθ φ=θ tanφ φ(x)= dv dx e d 2 v dx 2 = M z EI z dφ dx = d2 v dx 2

19 d 2 v dx 2 = M z EI z Para adequar a equação acima ao referencial de sinais que adota flecha positiva para baixo e rotações positivas no sentido horário e considerando a convenção de momento fletor positivo tracionado as fibras situadas abaixo da linha neutra, faz-e necessário a inclusão do sinal negativo na equação do momento fletor: d 2 v dx 2 = M z EI z d 3 v= 1 dm z dx 3 EI z dx = Q v EI z d 4 v= 1 dq v dx 4 EI z dx = q(x) EI z

20 d 2 v dx 2 = M z EI z d 3 v= 1 dm z dx 3 EI z dx = Q v EI z d 4 v= 1 dq v dx 4 EI z dx = q(x) EI z Para se determinar v(x) basta resolver uma das equações diferenciais acima. As constantes de integração são determinadas a partir da consideração das condições de contorno (apoios). Essas condições representam os valores conhecidos das funções em determinados pontos da viga e as mais usadas estão resumidas na Tabela a seguir. Se uma única coordenada x não puder ser usada para expressar a equação da inclinação ou da linha elástica, então devem ser usadas condições de continuidade para calcular algumas das constantes de integração.

21 Apoios e articulações (extraída de Hibbeler (2008)). Apoio do 1 0 gênero Apoio do 2 0 gênero de extremidade de extremidade M A = 0 M A = 0 v A = 0 v A = 0 θ A 0 θ A 0 Apoio interno do 1 0 gênero Apoio interno do 2 0 gênero v A = v B = 0 v A = v B = 0 θ A =θ B 0 θ A =θ B 0

22 Apoios e articulações (extraída de Hibbeler (2008)). Apoio do 3 0 gênero Extremidade livre M A 0 M A = 0 Q A 0 Q A = 0 v A = 0 v A 0 θ A = 0 θ A 0 Pino ou articulação interna M= 0 (no pino) Q A = Q B v A = v B θ A θ B

23 Exemplo 1 - Viga simplesmente apoiada com carga distribuída

24 Equação de momento - Equação diferencial da LE Integração M= qlx 2 qx2 2 EI d2 v dx 2= qlx 2 + qx2 2 EIθ=EI dv dx EIθ= qlx2 4 + qx3 6 + C 1 EIv= qlx qx C 1x+C 2

25 EIθ= qlx2 4 + qx3 6 + C 1 EIv= qlx qx C 1x+C 2 Condições de contorno As constantes de integração C 1 e C 2 são obtidas a partir das condições de contorno: para x=0 v=0 C 2 = 0 para x=l v=0 C 1 = ql3 24

26 Pontos de interesse EIθ= qlx2 4 + qx3 6 + ql3 24 EIv= qlx qx qxl3 24 v max = 5qL4 384EI θ a = θ b = ql3 24EI

27 Exemplo 2 - Viga simplesmente apoiada com carga concentrada

28 Equações de momento - Equações diferenciais da LE Integração Para 0 x a M= Pbx L EI d2 v= Pbx dx 2 L Para a x L P(x a) + P(x a) M= Pbx L EI d2 v= Pbx dx 2 L EIθ= Pbx2 2L + C 1 EIθ= Pbx2 2L + P(x a)2 2 + C 2 EIv= Pbx3 6L + C 1x+C 3 EIv= Pbx3 6L + P(x a)3 6 + C 2 x+c 4

29 EIθ= Pbx2 2L + C 1 (1) EIθ= Pbx2 2L + P(x a)2 6L + C 1x+C 3 (2) EIv= Pbx3 6L EIv= Pbx3 2 + C 2 (3) + P(x a)3 6 + C 2 x+c 4 (4) Condições de contorno x=0 v=0 (2) C 3 = 0 x=l v=0 (4) C 2 L+C 4 = PbL2 6 Pb3 6 Condição de continuidade x=a θ(a) (1) =θ(a) (3) C 1 = C 2 x=a v(a) (2) = v(a) (4) C 1 a=c 2 a+c 4 C 4 = 0

30 EIθ= Pbx2 2L + C 1 (1) EIθ= Pbx2 2L + P(x a)2 EIv= Pbx3 6L + C 1x+C 3 (2) EIv= Pbx3 6L C 3 = C 4 = 0 Equações da LE: Para: (0 x a) Para: (a x L) C 2 = C 1 = Pb 6L (L2 b 2 ) EIθ= Pb 6L (L2 b 2 3x 2 ) ELv= Pbx 6L (L2 b 2 x 2 ) EIθ= Pb 6L (L2 b 2 3x 2 )+ P(x a)2 2 ELv= Pbx 6L (L2 b 2 x 2 )+ P(x a) C 2 (3) + P(x a)3 6 + C 2 x+c 4 (4)

31 Caso Equações v = deflexão na direção y v = dv dx =θ=inclinação da linha elástica v B = v(l)= deflexão na extremidade direita da viga θ B = inclinação na extremidade direita da viga (1) v= qx2 θ= qx 24EI (6L2 4Lx+x 2 ) 6EI (3L2 3Lx+x 2 ) θ B = ql3 6EI v B = ql4 8EI

32 (2) Caso v= qx2 θ= qx Equações 24EI (6a2 4ax+x 2 ) 6EI (3a2 3ax+x 2 ) v= qa3 24EI θ= qa3 6EI 0 x a 0 x a a x L Para x=a:v= qa4 8EI v B = qa3 24EI (4L a) θ= qa3 6EI θ B= qa3 6EI

33 (3) Caso Equações v= qx2 12EI (3bL+3ab 2bx) 0 x a θ= qbx 2EI (L+a x) 0 x a v= q 24EI (x4 4Lx 3 + 6L 2 x a 3 x+a 4 ) a x L θ= q 6EI (x3 3Lx 2 + 3L 2 x a 3 ) a x L Para x=a:v= qa2 b 12EI (3L+a) Para x=a:θ= qabl 2EI v B = q 24EI (3L4 4a 3 L+a 4 ) θ B = q 6EI (L3 a 3 )

34 (4) (5) Caso v= Px2 v= Px2 6EI (3a x) v= Pa2 6EI (3L x) v B = PL3 3EI 6EI (3x a) Para x=a: Equações Px θ= v B = Pa2 6EI (3L a) Px θ= 2EI (2L x) θ B = PL2 2EI 2EI (2a x) Pa2 θ= 2EI v= Pa3 3EI 0 x a a x L θ= Pa2 2EI θ B= Pa2 2EI (6) v= Mx2 2EI v B = ML2 2EI θ= Mx EI θ B = ML EI

35 (7) (8) Caso v= q 0x 2 θ= q 0x Equações 120LEI (10L3 10L 2 x+5lx 2 x 3 ) 24LEI (4L3 6L 2 x+4lx 2 x 3 ) v B = q 0L 4 30EI θ B = q 0L 3 24EI v= q 0x 2 θ= q 0x 120LEI (20L3 10L 2 x+x 3 ) 24LEI (8L3 6L 2 x+x 3 ) v B = 11q 0L 4 120EI θ B = q 0L 3 8EI

36 Caso Equações v=deflexão na direção y v = dv dx =θ=inclinação da linha elástica v C = v(l/2)= deflexão no meio do vão x 1 = distância da A ao ponto de deflexão máxima v max = deflexão máxima θ A = ângulo na extremidade esquerda da viga θ B = ângulo na extremidade direita da viga (1) v= qx 24EI (L3 2Lx 2 + x 3 ) θ= q 24EI (L3 6Lx 2 + 4x 3 ) v C = v max = 5qL4 384EI θ A =θ B = ql3 24EI

37 (2) Caso Equações v= qx 384EI (9L3 24Lx x 3 ) 0 x L 2 θ= q 384EI (9L3 72Lx+64x 3 ) 0 x L 2 v= ql 384EI (8x3 24Lx L 2 x L 3 ) L 2 x L θ= ql v C = 5qL4 768EI 384EI (24x2 48Lx+17L 2 ) L 2 x L θ A = 3qL3 128EI θ B = 7qL3 384EI

38 (3) (4) Caso Equações v= Px 48EI (3L2 4x 2 ) 0 x L 2 θ= P 16EI (L2 4x 2 ) 0 x L 2 v C = v max = PL3 48EI θ A =θ B = PL2 16EI v= Pbx θ= Pb 0 x a 0 x a 6LEI (L2 b 2 x 2 ) 6LEI (L2 b 2 3x 2 ) θ A = Pab(L+b) 6LEI θ B = Pab(L+a) 6LEI Se a b, v C = Pb(3L2 4b 2 ) Se a b, x 1 = 48EI L 2 b 2 3 e v max = Pb(L2 b 2 ) 3/2 9L 3EI

39 Caso Equações (5) v= qx 24LEI... (a 4 4a 3 L+4a 2 L 2 + 2a 2 x aLx 2 + Lx 3 ) 0 x a θ= q 24LEI... (a 4 4a 3 L+4a 2 L 2 + 6a 2 x aLx 2 + 4Lx 3 ) 0 x a v= qa2 24LEI ( a2 L+4L 2 x+a 2 x 6Lx 2 + 2x 3 ) a x L θ= qa2 θ= qa2 24LEI (4L2 + a 2 12Lx+6x 2 ) a x L 24LEI (4L2 + a 2 12Lx+6x 2 ) a x L θ a = qa2 24LEI (a2 4aL+4L 2 ) θ B = qa2 24LEI (2L2 a 2 )

40 (6) Caso v= Px Equações 6EI (3aL 3a2 x 2 ) 0 x a θ= P 2EI (al a2 x 2 ) 0 x a v= Pa 6EI (3Lx 3x2 a 2 ) a x L 2 θ= Pa 2EI (L 2x) a x L 2 θ A = Pa(L a) 2EI v C = v max = Pa 24EI (3L2 4a 2 ) (7) v= Mx 6LEI (2L2 3Lx+x 2 ) θ= M 6LEI (2L2 6Lx+3x 2 ) v C = ML2 16EI θ A ( = ML 3EI ) x 1 = L 1 e 3 3 v max = ML2 9 3EI θ B = ML 6EI

41 (8) (9) Caso Equações v= Mx 24LEI (L2 4x 2 ) 0 x L 2 θ= M 24LEI (L2 12x 2 ) 0 x L 2 v C = 0 θ A = ML 24EI θ B = ML 24EI v= Mx 6LEI... (6aL 3a 2 2L 2 x 2 ) 0 x a θ= M 6LEI... (6aL 3a 2 2L 2 3x 2 )0 x a Para x=a:v= Ma 3LEI (3aL 2a2 L 2 ) Para x=a:θ= M 3LEI (3aL 3a2 L 2 ) θ A = M 6LEI (6aL 3a2 2L 2 ) θ B = M 6LEI (3a2 L 2 )

42 (10) Caso v= q 0x Equações 360LEI (7L4 10L 2 x 2 + 3x 4 ) θ= q 0 360LEI (7L4 30L 2 x x 4 ) v C = 5q 0L 4 768EI θ A = 7q 0L 3 360EI θ B = q 0L 3 45EI x 1 = 0,5193L v max = 0,00652 q 0L 4 EI

43 Demonstrar que a flecha no meio do vão da viga da Figura é 5M ol 2 16EI. Calcule também as rotações nos apoios. Resolva por integração direta e também utilizando a tabela através de superposição de efeitos. Resposta:θ A = 7M 0L 6EI ;θ B= 4M 0L 3EI 2M o 3M o L

44 Para a viga da Figura, determine os valores de v C, v D,θ A eθ B. Dado EI= 2, knm 2. Resposta: v C = 1, m ; v D = 1, m ;θ A = θ B = 1, rad (horário);

45 Para a viga da Figura, determine os valores de v C, v D,θ A eθ B. Dado EI= 2, knm 2 Resposta: v C = 1, m ; v D = 3, m ;θ A = 0,001 rad (anti-horário);θ B = 0,002 rad (horário);

46 Para a viga da Figura, determine os valores de v C, v D,θ A eθ B. Dado EI= 2, knm 2 Resposta: v C = 2, m ; v D = 1, m ;θ A = rad (horário);θ B = rad (horário);

47 Para a viga da Figura determine os valores de v C, v D,θ A eθ B. Dado EI= 4600 knm 2. Resposta:θ A = 0,01014 rad (horário);θ B = 8, rad (anti-horario); v C = 0, m ev C = 8, m

48 Problemas estaticamente indeterminados

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