CAPÍTULO 4: DEFLEXÃO DE VIGAS

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1 urso de Engenharia iil Uniersidade Estadual de Maringá entro de Tecnologia Departamento de Engenharia iil PÍTUO : DEFEXÃO DE VIGS. Euação Diferencial da inha Elástica inha Elástica é a cura ue representa o eio da iga após a deformação. inha Elástica defleão é o deslocamento de ualuer ponto no eio da iga.

2 . Euação Diferencial da inha Elástica Quando a iga é fleionada, ocorrem em cada ponto ao longo do eio uma defleão () e uma rotação (θ). O ângulo de rotação θ é o ângulo entre o eio e a tangente à cura da linha elástica. dθ dθ. Euação Diferencial da inha Elástica Da figura emos ue: dθ ρ. d θ ds k ρ dθ ds dθ em radianos

3 . Euação Diferencial da inha Elástica Da figura emos ue: dθ d d tg θ Inclinação da inha Elástica d θ arctg d d cosθ ds e : d senθ ds. Euação Diferencial da inha Elástica Vigas com Peuenos Ângulos de Rotação: θ ds tgθ θ d dθ k ρ d d d θ, sendo θ em radianos. ogo, faendo: d θ d k ρ d d d d Euação álida para peuenas rotações

4 . Euação Diferencial da inha Elástica Para materiais elástico lineares (ei de Hooke): σ d y M E k ogo: σ Eε y d d d M M e ε E ( k y) y d M E k I y k y ρ M k M E I Euação Diferencial da inha Elástica. Euação Diferencial da inha Elástica onenções de Sinais: y() ()Eios: () () Defleão: () () Rotações: d d e θ y () () uratura k:

5 . Euação Diferencial da inha Elástica onenções de Sinais: (5) Momentos: () arregamentos:. Euação Diferencial da inha Elástica Euações dicionais: dm d dv d M V ; e d d

6 . Euação Diferencial da inha Elástica Vigas Não Prismáticas : seção ariáel com. d d M ( ) d ( ) d M dm d dv d V d d V d ( ) d d d d ( ) d. Euação Diferencial da inha Elástica Vigas Prismáticas: rigide () constante Momento Fletor: d d M d d M Força de isalhamento: M dm d dv d V arregamento: d V V d d d ''''

7 . Euação Diferencial da inha Elástica ondição de ontorno: relatias às defleões e rotações nos apoios. e M e M e. Euação Diferencial da inha Elástica ondição de ontorno: relatias às defleões e rotações em igas iapoiadas. e e pois M pois M

8 . Euação Diferencial da inha Elástica ondição de ontorno: relatias às defleões e rotações em igas engastadas. e pois pois M V. Euação Diferencial da inha Elástica ondição de ontinuidade: No ponto : ( ) ( ) ( ) ( )

9 . Euação Diferencial da inha Elástica Eemplo: Determine a euação da inha Elástica para a iga aaio. Determine tamém a defleão máima δ má e os ângulos de rotação θ e θ nos apoios.. Euação Diferencial da inha Elástica a) Epressão para o Momento Fletor: Reações de apoio: R V R V Momento Fletor: M

10 . Euação Diferencial da inha Elástica ) Euação da inha Elástica: '' M [.(d)] '' d d d '' d d d ' ( ) ª integração ª integração. Euação Diferencial da inha Elástica ondições de ontorno: (I) (II) e (I) (II).....

11 . Euação Diferencial da inha Elástica defleão inha Elástica. Euação Diferencial da inha Elástica rotação θ rotação

12 . Euação Diferencial da inha Elástica c) Defleão máima /: má má má Euação Diferencial da inha Elástica d) Ângulos de rotação: θ e θ θ θ

13 . Euação Diferencial da inha Elástica Eemplo : alcular a defleão e a inclinação (rotação) do ponto D indicado na iga representada aaio, adotando E GPa.,kN/m,m D m cm cm a) Reações de apoio:, 5, RV RV, KN. Euação Diferencial da inha Elástica ) Euação diferencial da linha elástica: '''',,,,,

14 . Euação Diferencial da inha Elástica c) ondições de ontorno: (I) (II) V, KN, M (III),.,,, (IV) 7,. Euação Diferencial da inha Elástica d) Rotações e defleões: kn E GPa m h,, I,8.,8kN m 5 (,,5 7,) m (,5,5 7, ).

15 . Euação Diferencial da inha Elástica e) Defleão e Rotação no Ponto D: Para,m,8,8 (,,,5, 7,) 7,9 rad (,5,,5, 7,,) 5,5 m. Euação Diferencial da inha Elástica Eemplo : Determine a euação da inha Elástica para uma iga engastada mostrada aaio. Determine tamém θ e δ na etremidade lire.

16 . Euação Diferencial da inha Elástica Reações de apoios: R V M M M a) Momento Fletor na iga:. Euação Diferencial da inha Elástica ) Euação da inha Elástica: Defleão Rotação M ' ''

17 . Euação Diferencial da inha Elástica ondição de ontorno: (I) ' (II) (I) (II) ( ) ( ). Euação Diferencial da inha Elástica Rotação: ' ' ( ) θ

18 . Euação Diferencial da inha Elástica Defleão: ( ) δ 8. Euação Diferencial da inha Elástica Eemplo : Determine a euação da inha Elástica, os ângulos de rotação θ e θ nos apoios, a defleão máima δ má e a defleão δ no ponto médio.

19 . Euação Diferencial da inha Elástica Reações de apoio: R V P e R V Pa a) Momentos Fletores: M M P ( a) P P ( a) (a ). Euação Diferencial da inha Elástica ) Euação da inha Elástica: P P P ( a) ( a ) (a )

20 . Euação Diferencial da inha Elástica Integrando temos: Rotações P P P ( a) Integrando noamente: Defleões P P P ( a). Euação Diferencial da inha Elástica ondição de ontorno: (I) (II) (III) (IV) a es dir a es dir

21 . Euação Diferencial da inha Elástica ondição de ontorno: ) ( (II) a P P (I) ) ( (III) a P a Pa Pa a. Euação Diferencial da inha Elástica ( ) ( ) (II) P P P P ) ( (IV) a a a a a a a P Pa a Pa a ondição de ontorno:

22 . Euação Diferencial da inha Elástica Defleões: ( ) ( ) a) ( P P P ( ) ) (a ) ( a P P ( ) ( ) P a P P. Euação Diferencial da inha Elástica Rotações: ( ) ( ) a) ( P P P ( ) ( ) ) (a ' a P P ( ) ( ) P a P P

23 . Euação Diferencial da inha Elástica ( ) ( ) Pa P θ álculo de θ : ) ( ) (. Euação Diferencial da inha Elástica ( ) ( ) a P P θ ( ) P a Pa P ) ( álculo de θ : ()

24 . Euação Diferencial da inha Elástica Defleão máima δ má : Ponto de máimo ( ) ) (a 9 ) ( para P P má má má δ má ( ) P. Euação Diferencial da inha Elástica Defleão no ponto médio /: ( ) ) (a 8 para P P P δ

25 . Vigas Estaticamente Indeterminadas São igas em ue o número de reações ecede o número de euações de euilírio da estática. F F M Y H R M R. R. reações euações Estaticamente Indeterminadas. Vigas Estaticamente Indeterminadas São necessárias euações adicionais para oter todas as reações. O número de reações em ecesso ao número de euações de euilírio é chamado de Grau de Hiperestaticidade. Grau (nº Reações) (nº Euações) ssim, a iga analisada é hiperestática de grau.

26 . Vigas Estaticamente Indeterminadas s euações adicionais podem ser otidas considerando as deformações da estrutura. ogo, pode-se usar uma das três euações diferenciais da linha elástica: M Q '''' O procedimento para resolução é o mesmo usado para igas isostáticas.. Vigas Estaticamente Indeterminadas omo eemplo, analisaremos a iga anterior determinando as rotações e defleões da iga.

27 ,. Vigas Estaticamente Indeterminadas a) Estaticidade da estrutura: H M F Y, R V, R V reaçõesdesconheci das e M euações de euilírio Grau Estrutura estaticamente indeterminada de grau ) Euações de euilírio: () R R () M V R V V. Vigas Estaticamente Indeterminadas c) Euação no momento fletor: Reação redundante reação em ecesso ue pode ser lierada da estrutura, porém, deiando-a estáel e estaticamente determinada. Escolhemos R V como reação redundante, e as outras reações serão escritas em função desta. R M V R M R V V R V M ( R ) V R V.

28 . Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Euação diferencial da inha Elástica: M Integrando: ( R ) V R V ( RV ) RV ( RV ) RV incógnitas, e R V São necessárias condições de contorno. Vigas Estaticamente Indeterminadas e) ondições de contorno: (I) ' (II) (III) ( I ) ( II )

29 . Vigas Estaticamente Indeterminadas R R V V 8 R - R V V 8 R V ( ) R R (III) V V. Vigas Estaticamente Indeterminadas f) Rotações e Defleões: 8 8 ' 8 8 ( ) ' ( ) 5 8

30 . Vigas Estaticamente Indeterminadas g) Reações nos apoios: R M R V V 8 RV 8. Método da Superposição Em uma iga sumetida a árias cargas, os deslocamentos em um ponto ualuer pode ser otido somando-se algericamente os deslocamentos, no mesmo ponto, correspondente à cada carga agindo isoladamente. Eemplo : P

31 . Método da Superposição P ( ) 8 ( ) P P ( θ ) ( θ ) P P. Método da Superposição ( ) ( ) P 8 P θ ( θ ) ( ) θ P P

32 . Método da Superposição Eemplo :. Método da Superposição δ c ( ) ( ) θ ( ) θ ( ) P ( ) ( ) P P θ θ ( ) 5 8 ( ) P P 8 ( ) ( ) ( ) ( ) P P P

33 . Método da Superposição δ 5 8 P 8 θ θ P. Método da Superposição Eemplo : Determine δ e θ

34 . Método da Superposição M af ap F P. Método da Superposição Viga Engastada: ( ) ( ) 8 F F F P δ 8 8 9

35 . Método da Superposição P Viga poiada: θ θ θ a ( ) Pa δ θ δ a 8a a a a P a a P 9a Pa 8 θ 8a P 9a θ θ Pa 8. Método da Superposição Eemplo : Determinar θ ; δ ; θ ; θ D kn/m kn e δ D kn/m kn D m m m Sistema Euialente: kn/m kn kn kn/m kn m m knm m D

36 . Método da Superposição Rotação em : θ θ P 8 8 M 8,5 δ Flecha em : 5 5 P M δ ,5. Método da Superposição Rotação em : θ 7 P 8 M θ ,875

37 . Método da Superposição Flecha em D: θ δ D δ ' D 7,875 5,75 θ θ D δ D δ '' D 8 7, δ D '' D δ δ ' D 7, 5,75 8,7. Método da Superposição Rotação em D : θ δ D θ D ' D θ D δ D θ θ θ ' D 5, 5, 7,875,5

38 . Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas Eemplo 5: Determine as reações dos apoios da iga aaio usando o Método da Superposição. a) Estaticidade: Grau (e.) (reações) Hiperestática Reação Redundante R V. Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas ) Euação de Euilírio: F Y R V R V R V R V M M RV M R V

39 . Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas c) ompatiilidade de deslocamento: ( δ ) ( δ ) R V 8 R V R V 8. Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Reações dos apoios: R R V M R V V 8 RV 8

40 . Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas Eemplo : Determinar: a) a reação em cada apoio; ) a decliidade da linha elástica na etremidade. / / a) Estaticidade: - Hiperestática R V Reação Redundante. Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas ) Euações de Euilírio: F X R H FY M R V R R V V R. R V V R. V R R V V R V R V

41 . Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas c) ompatiilidade de deslocamento: / / R V / /. Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas ( ) ( ) ( δ ) P ( ) ( ) ( δ ) RV RV V ( R ) ( δ ) V, onde, onde RV 7 9 R V

42 . Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas Saendo-se ue δ e R V R V ( δ) ( ) δ RV δ RV,, RV, 88 ogo: RV,88, R V R V R,88,, 7 V. Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Decliidade no apoio : ( θ) ( θ) RV θ ( θ ) ( θ ) ( ) Pa R V R V ( θ ) R V 8,88 7,98

43 . Método da Superposição plicado em Vigas Estaticamente Indeterminadas d) Decliidade no apoio : θ,98,79 plicações plicação : Saendo ue a iga E é um perfil laminado de aço S7,, ue 5kN/m, a,5m e E GPa, determinar: (a) a decliidade em ; () a defleão no centro da iga. Perfil S7, mm ; I 9,7 mm ; I y,9 mm D E a a a

44 plicações plicação : Para a iga em alanço com carregamento mostrado, determine a decliidade e a defleão nos pontos e D. D a a a plicações plicação : iga em alanço tem seção circular com diâmetro de 5mm e está sumetida ao carregamento mostrado. Determine a inclinação e a defleão nos pontos e. onsidera E GPa.,kN/m,kN,75m,5m

45 plicações plicação : Para o carregamento mostrado na figura, saendo-se ue as igas e D têm mesma rigide à fleão, determine a reação em. kn/m