FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO

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1 FLEXIBILIDADE E SUPORTAÇÃO AULA DEFLEXÕES USANDO MÉTODOS DE ENERGIA PROF.: KAIO DUTRA

2 Trabalho Externo e Energia de Deformação O método da energia é baseada no princípio da conservação de energia. O princípio da conservação de energia pode ser enunciado matematicamente como

3 Trabalho Externo e Energia de Deformação Trabalho Externo Trabalho externo força. Quando uma força F passa por um deslocamento dx na mesma direção que a força, o trabalho realizado é due = F dx. Se o deslocamento total é x, o trabalho torna-se

4 Trabalho Externo e Energia de Deformação Trabalho Externo Trabalho externo momento. O trabalho de um momento é definido pelo produto da magnitude do momento M e o ângulo dθ através do qual ele gira, isto é, due = M dθ. Se o ângulo total da rotação é θ radianos, o trabalho torna-se

5 Trabalho Externo e Energia de Deformação Energia de Deformação Energia de deformação força axial. Quando uma força axial N é aplicada gradualmente à barra, ela vai tracionar o material de tal maneira que o trabalho externo realizado por N será convertido em energia de deformação, que é armazenada na barra. N/A = E (Δ/L), e a deflexão final é: Substituindo P=N, a energia de deformação na barra fica:

6 Trabalho Externo e Energia de Deformação Energia de Deformação Energia de deformação flexão. A energia de deformação, ou trabalho armazenado no elemento, é determinada da equação : Tendo em vista que o momento interno é gradualmente desenvolvido. Logo, A energia de deformação para a viga é determinada integrando este resultado através do comprimento inteiro da viga L. O resultado é

7 Princípio do Trabalho Virtual O princípio do trabalho virtual proporciona um meio geral de se obter o deslocamento e a inclinação em um ponto específico em uma estrutura, seja ela uma viga, pórtico ou treliça. Em geral, o princípio do trabalho e energia enuncia:

8 Princípio do Trabalho Virtual O princípio do trabalho virtual proporciona um meio geral de se obter o deslocamento e a inclinação em um ponto específico em uma estrutura, seja ela uma viga, pórtico ou treliça. Em geral, o princípio do trabalho e energia enuncia:

9 Princípio do Trabalho Virtual Em geral, o princípio do trabalho e energia enuncia: Podemos escrever a equação de trabalho virtual como:

10 Princípio do Trabalho Virtual Carga externa. Vamos considerar o deslocamento vertical Δ do nó B da treliça na figura. A equação de trabalho virtual para a treliça é, portanto,

11 Princípio do Trabalho Virtual Temperatura. Podemos determinar o deslocamento do nó de uma treliça selecionada em razão da sua mudança de temperatura da equação de trabalho virtual, escrita como Erros de fabricação e contraflecha. Se um membro da treliça é mais curto ou mais longo do que o intencionado, o deslocamento de um nó da treliça da sua posição esperada pode ser determinado a partir da aplicação direta da equação de trabalho virtual, escrita como

12 Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.1

13 Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.1

14 Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.1

15 Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.3

16 Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.3

17 Princípio do Trabalho Virtual Exemoplo 9.3

18 Teorema de Castigliano O método que é chamado de segundo teorema de Castigliano, ou o método do trabalho mínimo, aplica-se somente a estruturas que têm temperatura constante, apoios sem recalques, e resposta do material elástica linear. Tendo em vista que o trabalho externo realizado por essas cargas é igual à energia de deformação interna armazenada no corpo, podemos escrever

19 Teorema de Castigliano Tendo em vista que o trabalho externo realizado por essas cargas é igual à energia de deformação interna armazenada no corpo, podemos escrever O trabalho externo é uma função das cargas externas:

20 Teorema de Castigliano O trabalho externo é uma função das cargas externas: Agora, se qualquer uma das forças, digamos Pi, for aumentada por um montante diferencial dpi, o trabalho interno também é aumentado de tal maneira que a nova energia de deformação torna-se

21 Teorema de Castigliano A aplicação adicional das cargas P1, P2,..., Pn, que deslocam o corpo Δ1, Δ2,..., Δn, resulta na energia de deformação. Tendo em vista que estas duas equações têm de ser iguais, é necessário que

22 Teorema de Castigliano Para Treliças Substituindo a equação da energia interna no Teorema de Castigliano: No caso geral L, A e E são constantes para um dado membro e, portanto, podemos escrever

23 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.4

24 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.4

25 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.4

26 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.6

27 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.6

28 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.6

29 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.6

30 Teorema de Castigliano Para Treliças Exemplo 9.6

31 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Somar os efeitos sobre todos os elementos dx ao longo da viga exige uma integração e, portanto, a equação de trabalho virtual torna-se:

32 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Tendo em vista que o trabalho do momento binário unitário é 1 θ, então:

33 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.7

34 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.7

35 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.7

36 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.8

37 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.8

38 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.8

39 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.8

40 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.8

41 Método do Trabalho Virtual: Vigas e Pórticos Exemplo 9.8

42 Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos A energia de deformação de flexão interna para uma viga ou pórtico é dada pela Equação: Em vez de elevar ao quadrado a expressão para o momento interno M, integrando, e então tomando a derivada parcial, geralmente é mais fácil diferenciar antes da integração:

43 Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos Se a inclinação θ em um ponto será determinada, temos de calcular a derivada parcial do momento interno M em relação a um momento binário externo Mʹ atuando no ponto, isto é:

44 Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos Exemplo 9.14

45 Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos Exemplo 9.14

46 Teorema de Castigliano Para Vigas e Pórticos Exemplo 9.14