Energia cinética de rotação:

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3 comenta a) Energia cinética de translação: Energia cinética de rotação: Todos os pontos que constituem o aro têm a mesma velocidade tangencial em relação ao seu centro. Por isso, sua energia cinética de rotação é. Isso pode ser verificado com maior clareza analisando-se cada elemento de comprimento R << 2πR e massa m i da figura abaixo. A energia cinética de rotação desse elemento é. Portanto, a energia cinética de rotação de todo o aro é. Sabendo que o somatório Σm i fornece a massa do aro, então. Energia cinética total: b) Conservação de energia: E c + E PG = E c + E PG 2mV 2 + 2mgR = 2mgh MÁX Equação de TORRICELLI: 3

4 4 Na equação anterior, θ é o ângulo de inclinação do plano inclinado.

5 comenta a) Seja h a altura do centro de massa da bola de borracha em relação ao solo no instante inicial. Pelo princípio da conservação de energia, a velocidade dos corpos imediatamente antes do choque com o solo é calculada como segue: Imediatamente após o choque perfeitamente elástico da bola de borracha com o solo, sua velocidade tem módulo, com sentido orientado para cima. Até que seja estabelecida essa velocidade, não há choque entre a bola de borracha e a esfera metálica, pois consideramos que entre os corpos há uma separação inicial muito pequena. Desse modo, cabe analisar o choque entre os corpos quando estes têm velocidade de mesmo módulo e direção, mas sentidos opostos, de acordo com o indicado na figura abaixo. Conservação do momento linear: P INICIAL = P FINAL mv MV = mv m + MV M Na equação I, V m e V M são as velocidades da esfera metálica e da bola de borracha, respectivamente, imediatamente antes de colidirem entre si. 5

6 Coeficiente de restituição: O coeficiente de restituição de um choque perfeitamente elástico é unitário. Portanto, denotando por A a esfera metálica e B a bola de borracha, podemos escrever. Somando V aos dois lados da equação, temos: V + V M = 3V + V m Equações I e II : II Assim, a velocidade aproximada com que a esfera metálica se separa da bola de borracha na subida é, assumindo M << m. b) A distância vertical percorrida pela esfera metálica na subida, d s, é determinada através da equação de Torricelli, como segue: A distância vertical percorrida pela esfera metálica na descida, d s, é h R. Portanto, Usando a aproximação M<<m, temos: d s = d D. 6

7 comenta a) Observando a figura do enunciado, podemos indicar a parcela da carga dos íons que é interna à região cúbica da célula cristalina. Apenas o íon Na + central contribui completamente com a carga positiva da célula cristalina. Os outros 12 íons Na + contribuem somente com 1/4 de carga elementar, cada. Desse modo, a carga positiva da célula cristalina é calculada como segue: Q = 1. 1, (1/4). 1, Q = 6, C O volume da célula cristalina é: V = a 3 V = (5, ) 3 V = 175, m 3 V = 175, cm 3 7

8 b) Portanto, c) A energia necessária para separar essas cargas a uma distância infinita é igual à energia potencial elétrica no estado inicial. Portanto, 8

9 comenta A diferença de potencial entre as placas condutoras é igual à diferença de potencial entre a esfera condutora e a referência. Denotando por 1 a esfera condutora e por 2 o capacitor de placas paralelas, podemos escrever: Na equação acima, C 1 e C 2 são as capacitâncias, e Q 1 e Q 2 são as cargas elétricas armazenadas. Sabe-se que a capacitância de uma esfera condutora de raio R é C ESFERA = R/K e que a capacitância de um capacitor de placas paralelas é, em que A é a área e d é a separação entre placas. Aplicando essas equações ao problema, temos escrita como segue:, em que se a substituição. A equação I pode ser e b) Da equação II e da conservação de carga elétrica, temos: A intensidade do campo elétrico a uma distância 2R do centro da esfera é. Então, 9

10 comenta Através da relação entre energia e frequência do fóton, E = hf, e da equação da equivalência massa-energia, E = mc 2, obtemos a massa inercial efetiva do fóton: pela conservação de energia, temos: Aplicando r + na equação acima, temos que. Assim, 10

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12 comenta Pela Lei de Fourier: Sabe-se que e 2 = 2e 1 e K 2 = 3K 1. Então, Substituindo T 1 = 100 C e T 2 = 200 C na sequência acima, verificamos que T 3 = 140 C. No intervalo 0 < x < e 1, temos:, onde T é a temperatura na posição x. Sabe-se que. Então, podemos escrever: 12

13 Procedimento semelhante é realizado para o intervalo e 1 < x < e 1 + e 2, como segue: Gráfico do perfil de temperatura T(x): b) Como descrito no problema, a Lei de Fourier pode ser escrita como segue: T =. R T Desse modo, a resistência térmica, R T, depende do material e dos aspectos construtivos do condutor térmico. a resistência térmica é, então, definida como, onde R é a espessura do condutor térmico, A é sua área de condução e K é o coeficiente de condutibilidade térmica. A diferença de potencial térmico pode ser escrita para cada intervalo como segue: 0 < x < e 1 : T 3 T 2 =. R 1 I e 1 < x < e 1 + e 2 : T 1 T 3 =. R 2 II 0 < x < e 1 + e 2 : T 1 T 2 =. R EQ III 13

14 Somando as equações I e II, temos: (T 3 T 2 ) + (T 1 T 3 ) = R 1 + R 2 T 1 T 2 = (R 1 + R 2 ) IV Comparando as equações III e IV, verificamos que R EQ = R 1 + R 2. A resistência equivalente, R EQ, é então calculada como segue: comenta 14

15 Pela geometria do problema, temos p + p = L, onde p é a distância entre o objeto e a lente e p é a distância entre a lente e a imagem. Inserindo essa condição na equação dos pontos conjugados, temos: A equação do 2º grau acima possui duas soluções válidas, pois ƒ < L/4, ou seja, L 2 4ƒL > 0. As soluções da equação são: Observe que a = p + p. Desse modo, Então, podemos escrever p + e p como segue: b) Os aumentos lineares podem ser escritor como segue: Observe que p + + p = L. Então, os aumentos lineares podem ser escritos como. A relação entre os aumentos lineares é: 15

16 comenta A luz incidente sobre a fronteira entre dois meios, quando provinda do meio de menor índice de refração, sofre reversão de fase. De modo contrário, quando provinda do meio de maior índice de refração, a onda de luz não sofre mudança de fase. Assim, a onda refletida em 1 sofre reversão de fase, enquanto a onda refletida em 2 não sofre mudança de fase. A partir dessas considerações, podemos verificar que a condição para que ocorra interferência construtiva é dada por: Na equação acima, e é a espessura da película e λ n é o comprimento de onda da luz no meio de índice de refração n = 1,33. Da relação que define, em que λ é o compri- o índice de refração, podemos concluir que mento de onda no ar. Portanto, as três menores espessuras da película podem ser obtidas fazendo-se m igual a 0,1 e 2 na equação. m = 0: m = 1: m = 2: Will: /Rev.:Mar/Tales OSG: 8456/09 16