CPV 82% de aprovação na ESPM

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1 8% de aprovação na ESPM ESPM NOVEMBRO/00 Prova E MATemática. Assinale a alternativa cujo valor seja a soma dos valores das demais: a) 0 + b) 5% c) d) 75% de 3 e) log 0,5 a) ,5 5 b) 5 % ,5 c) - 4 0,5 d) 75% de ,5 e) log 0,5 log. Dividindo-se 8 ou 7 pelo natural n, obtém-se resto. Dividindo-se n por obtém-se resto igual a: a) 3 b) 0 c) d) e) 5 Temos: nq nq q n 7 nq + nq 6 6 q n Logo, concluímos que n mdc (07,6) 3, e o resto da divisão de n por é. Alternativa C Assim, a alternativa B é igual a soma das demais. Alternativa B espm0nov

2 espm 4//00 cpv especializado na espm 3. Sabendo-se que x + y 7 e que x 4y, o valor da expressão x + y é igual a: a) 49 b) 47 c) 45 d) 43 e) 4 x + y x y x xy y ( ) 7 49 x 4y x 4y x 4y + x y 49 xy x + y 49. 4y. y x 4y Assim, x + y 4 Alternativa E 4. Uma pessoa fez um investimento em ações. No primeiro semestre, ela perdeu 30% do capital aplicado e no segundo semestre ela recuperou 60% do que havia perdido. Em relação ao investimento inicial, seu prejuízo nesses semestres foi de: a) % b) % c) 8% d) 4% e) 6% Sendo C o investimento inicial, temos: o semestre: ( 0,3). C 0,7 C o semestre: (C 0,7 C). 0,6 0,8 C Assim, nestes semestres, a pessoa ficou com 0,88 C, ou seja, teve um prejuízo de %, Alternativa B espm0nov

3 cpv especializado na espm espm 4// A composição de uma certa população, por faixa etária, é verificada na tabela abaixo: 6. A figura abaixo representa o gráfico cartesiano da função f (x). Num gráfico de setores, o ângulo central correspondente à população de jovens medirá, aproximadamente: a) 86 b) 54 c) 78 d) 67 e) 94 No gráfico de setores temos: 00% 360º 4% θ θ º 6% 4% θ 38% 3% Alternativa A Sabendo-se que f (), o valor de f [f (π)] é igual a: a) b) 3/ c) 3/4 d) e) 5/ Para x. temos que f (x) Ax + B, assim: f ( ) A ( ) + B A B + A e B 3 f ( 0) B 3 B \ f (x) x + 3 Como f (), usando o gráfico temos: f ( x) x +, se x 3 f ( x), se < x < 4 f (π) 3π \ f [f (π)] f [] Alternativa D espm0nov

4 4 espm 4//00 cpv especializado na espm 7. Numa população de 5000 alevinos de tambacu, estima-se que o número de elementos com comprimento maior ou igual a x cm seja dado, aproximadamente, pela expressão 5000 n x +. Pode-se concluir que o número aproximado de alevinos com comprimento entre 3 cm e 7 cm é igual a: a) 600 b) 500 c) 400 d) 00 e) 00 O número de alevinos com comprimento entre 3 cm e 7 cm será dado pela seguinte expressão: S 3 S ( 3) + ( 7) alevinos Alternativa C 5x + y ( 0, ) 5 8. O valor de y no sistema é igual a: x y ( 0, 5) a) 5/ b) /7 c) /5 d) 3/5 e) 3/7 Resolvendo o sistema, temos: 5x+ y 5 ( 0, ) 5x+ y 5 5 ( 0, 5) x y x y ( 5x+ y) 5 5 5x y ( x y) x + y x 7 e y 3 7 Alternativa E espm0nov

5 cpv especializado na espm espm 4// Dadas as matrizes A x e B x, a diferença entre os valores de x, tais que Det (A. B) 3x, pode ser igual a: a) 3 b) c) 5 d) 4 e) Temos que det (A. B) 3x Þ det A. det B 3x Þ (x ). ( + x) 3x Þ x 4 3x Þ x 3x 4 0 Þ x ou x 4 Portanto, a diferença entre os valores seria 30. Numa empresa, 60% são homens, dos quais, 0% são fumantes. Sabe-se que 5% das mulheres são fumantes. Escolhendo-se ao acaso um dos fumantes dessa empresa, a probabilidade de ser uma mulher é igual a: a) 5% b) 5% c) 0% d) 30% e) 0% Analisando a tabela, temos: Homem Mulher Total Fumante 6% % 8% Não fumante 54% 38% 9% Total 60% 40% 00% 4 5 ou 4 ( ) 5 Alternativa C A probabilidade de ser uma mulher entre os fumantes será % 8% 4 0,5 5% Alternativa A espm0nov

6 6 espm 4//00 cpv especializado na espm 3. Uma parede retangular cujo comprimento mede o dobro da altura, foi revestida com azulejos quadrados, inteiros e de mesmo tamanho, sendo que, em todo o contorno externo, foi feita uma faixa decorativa com 68 peças mais escuras, como na figura exemplo abaixo. O número de azulejos mais claros usados no interior da parede foi de: a) 60 b) 46 c) 68 d) 3 e) 0 Pela figura e pelo enunciado, temos que o número de azulejos escuros é dado por (x) + (x) 4 68 Þ x Assim, o número de azulejos totais é x. x 88. Portanto, o número de azulejos claros é As progressões aritméticas (, 9, 6,..., k) e (38, 370, 358,..., k) são finitas e têm o mesmo número de termos. O valor de k é igual a: a) 56 b) 70 c) 35 d) 4 e) 8 (, 9, 6,..., k) Þ PA de razão 7 e n termos k + (n ). 7 Þ k 7n 5 (I) (38, 370, 358,..., k) Þ PA de razão e n termos k 38 + (n ) ( ) Þ k n (II) Igualando (I) e (II), temos 7n 5 n Þ n Portanto, k Alternativa D Alternativa E espm0nov

7 cpv especializado na espm espm 4// A soma dos n primeiros termos de uma sequência numérica é dada pela expressão Sn 8n. Pode-se afirmar que seu décimo termo é igual a: a) 8 b) 3 c) 46 d) 50 e) 5 Como S n indica a soma dos n primeiros termos, temos: S0 a + a a9 + a0 S9 a + a a9 Assim, a 0 S 0 S 9 Como Sn 8n, temos: 34. Define-se max(a; b) a, se a b e max(a; b) b, se b a. A soma dos valores de x, para os quais se tem max(x x + ; + x ) 50, é igual a: a) b) 0 c) d) 3 e) 5 Se x x + + x Þ x então, máx (x x + ; + x ) x x + ou seja, queremos x x + 50 x x 48 0 x 6 x 8 (não convém) S S \ a Alternativa E Se + x x x + Þ x então, máx (x x + ; + x ) + x ou seja, queremos: x + 50 x 49 Þ x 7 (não convém) x 7 \ a soma dos valores será: Alternativa A espm0nov

8 8 espm 4//00 cpv especializado na espm 35. Sobre um segmento de reta de extremidades A( 9; ) e B(6; 9) são marcados alguns pontos que o dividem em n partes iguais. Um desses pontos pertence ao eixo das ordenadas. O número n pode ser igual a: a) 4 b) 6 c) 8 d) 0 e) Se um dos pontos que dividem o segmento em n partes iguais pertence ao eixo das ordenadas, temos, para este ponto, x 0. Então a razão entre as distâncias do ponto A para o ponto da abscissa 0 e deste para o ponto B é: 0 ( 9) 9 6 ( 9) 5 Portanto, n deve ser múltiplo de k k k Alternativa C 36. Os pontos A, B, C e D são vértices consecutivos de um polígono regular com 0 diagonais, cujo lado mede. O comprimento do segmento AD é igual a: a) b) + c) d) + e) Seja n o número de vértices do polígono regular e como este polígono possui 0 diagonais, segue-se: n ( n - 3) 0 Þ n n ou 3n 40 0 Þ 8 n 5 ( não convém) Assim, cada ângulo interno do polígono será dado por: a 80 ( 8 - ) 35º 8 Ao desenharmos os vértices ABCD, temos: B C 45º x x 45º A x H x D Do triângulo ABH, temos: x + x Þ x Þ x Þ x \ AD + x + x Alternativa B espm0nov

9 cpv especializado na espm espm 4// O volume e a altura de um prisma são expressos pelos polinômios V(x) x 3 3x + x + 6 e A(x) x +, respectivamente, sendo x um real estritamente positivo. O menor valor que a área da base desse prisma pode assumir é igual a: 38. Um reservatório de água é constituído por uma esfera metálica oca de 4 m de diâmetro, sustentada por colunas metálicas inclinadas de 60 com o plano horizontal e soldadas à esfera ao longo do seu círculo equatorial, como mostra o esquema abaixo. a) b),5 c) d),5 e) 3 O volume de um prisma é dado pelo produto da área da base pela altura. Sendo assim, a área da base em questão pode ser obtida dividindo-se o volume V(x) x 3 3x + x + 6 pela altura A(x) x +. Utilizando o dispositivo de Briott-Ruffini, temos Donde temos a área da base B(x) x 4x + 6, cujo valor mínimo é obtido por ( ) 4 4 ( )( 6 ). 4a 4( ) Alternativa C Sendo a altura h da esfera em relação ao solo é aproximadamente igual a: a),40 m b),80 m c) 3,0 m d) 3,40 m e) 3,60 m Da figura sugerida na questão, podemos destacar o triângulo retângulo abaixo: 60 o 5 3 No triângulo retângulo, temos: tg60º x 3 x x 3 3 m 3 3 Substituindo 3,73, temos x 5,9 m A altura h pedida pode ser calculada subtraindo-se o raio da esfera da altura obtida, ou seja, 5,9 3,9 m. x Alternativa C espm0nov

10 0 espm 4//00 cpv especializado na espm 39. A circunferência de equação (x + ) + (y ) tangencia os eixos coordenados nos pontos A e B. A circunferência λ, de centro C, passa pelo ponto B e tangencia o eixo das abscissas no ponto D. 40. Sendo log a e log 3 b, o valor do log 9 60 é igual a: a) 4a + b 4a + b) b c) a + 3b 4b + d) a a + e) 3b Se os pontos A, B e C estão alinhados, podemos concluir que a abscissa do centro C é igual a: a) + b) + c) d) + e) O coeficiente angular da reta A C é D y, ou seja, o ângulo Dx entre a reta e o eixo x é de 45º. log 9 60 log ( 4. 0 ) log 4 + log 0 log 3 log 3 4. log + log 0 4a +. log 3 b comentário do Alternativa B A prova de Matemática do processo seletivo da ESPM 0 (Dez-00) seguiu a tendência dos últimos anos, apresentando questões de bom nível de dificuldade e de criatividade, com abrangência de quase todo o programa. Observamos que as questões exigiam bastante interpretação e raciocínio dos candidatos, privilegiando aqueles que se prepararam com mais disciplina e rigor às provas. r 45º (r ) (r ) Acreditamos que a Banca Examinadora alcançou o objetivo de selecionar os melhores candidatos. No triângulo retângulo podemos aplicar o teorema de Pitágoras: (r ) + (r ) r Þ r + Portanto, a abscissa do ponto de tangência é r + + Alternativa B espm0nov