CPV O cursinho que mais aprova na GV

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1 O cursinho que mais aprova na GV FGV ADM Objetiva Turma A 24/outubro/2010 matemática 01. O gráfico de uma função polinomial do primeiro grau passa pelos pontos de coordenadas (x; y) dados abaixo. Podemos concluir que o valor de k + m é: 02. Sandra fez uma aplicação financeira, comprando um título público que lhe proporcionou, após um ano, um montante de R$ ,00. A taxa de juros da aplicação foi de 10% ao ano. Podemos concluir que o juro auferido na aplicação foi: a) 1, b) 1, c) 17, d) 18, e) 19, x 0 m 7 y 8 14 k a) R$ 1.000,00 b) R$ 1.009,09 c) R$ 900,00 d) R$ 909,09 e) R$ 800,00 Consideremos a função do primeiro grau y = ax + b. Temos, portanto, segundo a tabela: = a (0) + b (I) 8 = a (m) + b (II) 14 = a () + b (III) k = a (7) + b (IV) De (I), temos b =, que substituído em (III) nos fornece a = 3 2. Sendo C o capital inicial investido, temos: C. (1 + 10%) = C = 9.090,91 Então, podemos afirmar que o juro auferido na aplicação foi , 91 = 909,09 reais. Alternativa D Substituindo b = e a = 3 2 nas equações (II) e (IV), temos m = 2 e k = 1,, donde chegamos a k + m = 17,. Alternativa C 1

2 2 FGV 24/10/2010 o cursinho que mais aprova na GV 03. Em uma escola, a razão entre o número de alunos e o de professores é de 0 para 1. Se houvesse mais 400 alunos e mais 1 professores, a razão entre o número de alunos e o de professores seria de 40 para 1. Podemos concluir que o número de alunos da escola é: a) 1000 b) 100 c) 1100 d) 110 e) 1200 Sejam A e P a quantidade de alunos e professores, respectivamente. Desta forma, temos que: A 0 = P 1 A = P A = P 0 A = 40P + 40 A = 1200 P = 24 Logo, o número de alunos da escola é Alternativa E 04. Uma pequena empresa fabrica camisas de um único modelo e as vende por R$ 80,00 a unidade. Devido ao aluguel e a outras despesas fixas que não dependem da quantidade produzida, a empresa tem um custo fixo anual de R$ 9.000,00. Além do custo fixo, a empresa tem que arcar com custos que dependem da quantidade produzida, chamados custos variáveis, tais como matéria-prima, por exemplo; o custo variável por camisa é R$ 40,00. Em 2009, a empresa lucrou R$ 0.000,00. Para dobrar o lucro em 2010, em relação ao lucro de 2009, a quantidade vendida em 2010 terá de ser x% maior que a de O valor mais próximo de x é: a) 120 b) 100 c) 80 d) 0 e) 40 Sejam C e R o custo de fabricação e a receita de n camisetas, respectivamente, temos: C(n) = 40n R(n) = 80n O lucro é dado por: L(n) = R(n) C(n) L(n) = 40n Em 2009 o lucro foi de 0.000: = 40n \ n 1 = 3900 Em 2010 o lucro foi de : = 40n \ n 2 = 400 Assim, 3900 x = 400 \ x = 40 Alternativa E

3 o cursinho que mais aprova na GV FGV 24/10/ Em um grupo de 300 pessoas sabe-se que: 0% aplicam dinheiro em caderneta de poupança. 30% aplicam dinheiro em fundos de investimento. 1% aplicam dinheiro em caderneta de poupança e fundos de investimento simultaneamente. 0. O gráfico abaixo apresenta os lucros anuais (em milhões de reais) em 2008 e 2009 de três empresas A, B e C de um mesmo setor. Sorteando uma pessoa desse grupo, a probabilidade de que ela não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é: a) 0,0 b) 0,20 c) 0,3 d) 0,0 e) 0, Observe o seguinte diagrama: poupança fundo de investimentos 3% 1% 1% 3% Portanto, a probabilidade de que a pessoa não aplique em caderneta de poupança nem em fundos de investimento é 3% = 0,3. Alternativa C A média aritmética dos crescimentos percentuais dos lucros entre 2008 e 2009 das três empresas foi de aproximadamente: a) 8,1% b) 8,% c) 8,9% d) 9,3% e) 9,7% Temos que: L A L A L B L B L C L C = = 1,0 \ aumento % = = 1,0... \ aumento,7% = = 1,12 \ aumento 12,% 400 Logo, a média aritmética dos crescimentos é: % +, 7% + 12, % M = = 8,1% 3 Alternativa A

4 4 FGV 24/10/2010 o cursinho que mais aprova na GV 07. O gráfico de uma função quadrática f (x) tem as seguintes características: O vértice é o ponto (4; 1). Intercepta o eixo das abscissas no ponto (; 0). O ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas é: a) (0; 14) b) (0; 1) c) (0; 1) d) (0; 17) e) (0; 18) 08. No plano cartesiano, uma circunferência, cujo centro se encontra no segundo quadrante, tangencia os eixos x e y. Se a distância da origem ao centro da circunferência é igual a 4, a equação da circunferência é: a) x 2 + y 2 + (2 10 )x (2 10 ) y +10 = 0 b) x 2 + y 2 + (2 8 )x (2 8 ) y + 8 = 0 c) x 2 + y 2 (2 10 )x + (2 10 ) y +10 = 0 d) x 2 + y 2 (2 8 )x + (2 8 ) y + 8 = 0 e) x 2 + y 2 4x + 4y + 4 = 0 Temos a figura: y P 4 = a 2 \ a = 2 2 C(, ) r = 2 2 C a 4 a (x ) 2 + (y 2 2 ) 2 = 8 x 2 + y 2 + ( 4 2) x ( 4 2) x + 8 = 0 x 2 + y 2 + (2 8) x (2 8) y + 8 = 0 Alternativa B x Da forma fatorada: y = a(x 3). (x ) Substituíndo o vértice, temos: 1 = a(4 3). (4 ) Þ a = 1 \ y = (x 3). (x ) Assim, f(0) = (0 3). (0 ) = 1 \ P(0; 1) Alternativa B

5 o cursinho que mais aprova na GV FGV 24/10/ A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto, é dada por f (x) = , x + 3 sen p x, em que x = 1 corresponde a janeiro de 2011, x = 2 corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante. A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é: a) 308, b) 309,0 c) 309, d) 310,0 e) 310, Use a aproximação decimal 3 = 1,7. π f(1) = , sen = 102 previsão para janeiro f(2) = , sen 2 π = 103, previsão para fevereiro 3π f(3) = , sen = 104, previsão para março \ f(1) + f(2) +f(3) = 310,0 Alternativa D 10. O sistema linear nas incógnitas x, y e z: x y = 10 + z y z = x z + x = 7 + y pode ser escrito na forma matricial AX = B, em que: x X = y z 10 e B = 7 Nessas condições, o determinante da matriz A é igual a: a) b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 O sistema reescrito é: x y z = 10 x + y z = x y + z = Logo A = \ det A = 4 Alternativa B

6 FGV 24/10/2010 o cursinho que mais aprova na GV 11. As saladas de frutas de um restaurante são feitas misturando pelo menos duas frutas escolhidas entre: banana, laranja, maçã, abacaxi e melão. 12. No plano cartesiano, a reta tangente à circunferência de equação x 2 + y 2 = 8, no ponto P de coordenadas (2; 2), intercepta a reta de equação y = 2x no ponto: Quantos tipos diferentes de saladas de frutas podem ser feitos considerando apenas os tipos de frutas e não as quantidades? a) 2 b) 24 c) 22 d) 30 e) 28 Com frutas podemos fazer saladas de frutas misturando pelos menos duas frutas dos seguintes modos: a) b) c) d) e) 7 ; ; ; ; ; 3 escolhendo-se 2 frutas: C,2 = 10 maneiras 3 frutas: C,3 = 10 maneiras 4 frutas: C,4 = maneiras t y frutas: C, = 1 maneira Assim, o total de tipos de saladas de frutas que podem ser feitos é dado por = 2. Alternativa A C P x P Î à circunferência, pois: = 8 A reta tangente é perpendicular à reta que passa pelo centro e o ponto P. m CP = = 1 Þ m t = 1 A equação da reta tangente é: y 2 = 1 (x 2) Þ y = x + 4 O ponto em questão é a solução do sistema: y = x + 4 Þ x = 4 y = 2x 3 e y = S = 3 ; 8 3 Alternativa D

7 o cursinho que mais aprova na GV FGV 24/10/ O polinômio P(x) = x 4 x 3 + 3x 2 + x 4 tem o número 1 como raiz dupla. O valor absoluto da diferença entre as outras raízes é igual a: a) b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 Como x = 1 é raiz dupla do polinômio p(x) = x 4 x 3 + 3x 2 + x 4, temos: Assim, p(x) = (x 1) 2. (x 2 3x 4) = (x 1) 2. (x 4). (x + 1) e as outras duas raízes são 4 e 1, cuja diferença em módulo é 1 4 =. Alternativa A 14. A sequência de termos positivos (a 1, a 2, a 3,... a n,...) é uma progressão geométrica de razão igual a q. Podemos afirmar que a sequência (log a 1, log a 2, log a 3,... log a n...) é: a) Uma progressão aritmética de razão q. b) Uma progressão geométrica de razão q. c) Uma progressão aritmética de razão log q. d) Uma progressão geométrica de razão log q. e) Uma progressão aritmética de razão (log a 1 log q). Sendo (a 1, a 2, a 3,..., a n,...) uma P.G. da razão q, temos: (log a 1, log a 2, log a 3,..., log a n,...) = = (log a 1, log (a 1 q), log (a 1 q 2 ),..., log (a 1 q n 1 ),...) = (log a 1, log a 1 + log q, log a 1 + log q 2,..., log a 1 + log q n 1,...) = (log a 1, log a 1 + log q, log a log q,..., log a 1 + (n 1) log q,...) Logo, a sequência (log a 1, log a 2, log a 3,..., log a n,...) é uma progressão aritmética de razão log q. Alternativa C

8 8 FGV 24/10/2010 o cursinho que mais aprova na GV 1. Após t horas do início de um vazamento de óleo de um barco em um oceano, constatou-se ao redor da embarcação a formação de uma mancha com a forma de um círculo cujo raio r varia com o tempo t mediante a função r (t) = 30 p t0, metros. A espessura da mancha ao longo do circulo é de 0, centímetro. Desprezando a área ocupada pelo barco na mancha circular, podemos afirmar que o volume de óleo que vazou entre os instantes t = 4 horas e t = 9 horas foi de: comentário da prova de matemática Consideramos a prova objetiva de Matemática de nível adequado, com cobertura ampla de assuntos, consolidando o modelo apresentado no semestre passado. Levando em conta a intenção dessa primeira prova, de fazer uma seleção dos candidatos em primeira instância, acreditamos que a meta da Banca foi atingida. a) 12, m 3 b) 1 m 3 c) 17, m 3 d) 20 m 3 e) 22, m 3 Temos que o volume da mancha é dado pelo volume de um cilindro: V(t) = π. (r (t)) 2 0,. 100 Þ V(t) = π t, 0,. π 100 área altura da base da mancha (em m) Þ V(t) = 4, t Assim, o volume de óleo que vazou é V(9) V(4) = 4, (9) 4, (4) = 22, m 3 Alternativa E