Resposta: Uma pirâmide de base quadrada é construída recortando-se e dobrando-se uma cartolina quadrada de 100 cm de lado, como mostrado nesta figura:

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1 Uma pirâmide de base quadrada é construída recortando-se e dobrando-se uma cartolina quadrada de 00 cm de lado, como mostrado nesta figura:. DETERMINE a altura da pirâmide em função de a.. DETERMINE o volume da pirâmide em função de a.. DETERMINE os valores de a para os quais se pode construir uma pirâmide da maneira descrita.. h + (50 a) = a h = 0 a 5cm V = A.H. pir B 0 V = (00 a) a 5 cm. a 5 > 0 e 5cm < a < 50cm 00 a > 0

2 (Constituída de três itens.) Observe esta figura: Nessa figura, L e L são segmentos de reta que ligam os pontos (0,), (,) e (4,0). Uma função f : [0,4] IR é definida associando-se a cada t [0,4] o valor da área da região limitada pelas retas x = 0, x = t, y = 0 e a poligonal formada pelos segmentos L e L. 5 Por exemplo, o valor de f é a área da região sombreada na figura.. DETERMINE os valores de f () e f ().. DETERMINE as expressões de f ( t ) para 0 t e para < t 4.. ESBOCE o gráfico da função f ( t ). Resposta :. f() = f() = /. f(t) = t, 0 t t ( ) ( ) f(t) = 6 t t + 4t = 4 +, se < t 4.

3 QUESTÃO 0 (Constituída de três itens.) Sejam C e C circunferências de, respectivamente, centros O e O e raios r e r. A equação de C é x + y 0 y + 5 = 0 e a equação de C é x + y + 0 x + 5 = 0. Sejam A e B os pontos de interseção de C e C.. DETERMINE as coordenadas de O e O e os raios r e r.. DETERMINE as coordenadas de A e B.. CALCULE a área do quadrilátero AO BO. O. C : x + y (0,5) 0y + 5 = 0 R = 0 O C : x + y ( 0,0) + 0x + 5 = 0 R = 85. Intersecções x + y 0y + 5 = 0 (C ) x + y + 0x + 5 = 0 (C ) De C e C : 0y = 0x y = x Substituindo em C : x' = x + 4x + 0x + 5 = 0 x" = A(,) e B(,6).

4 Seja p(x) = x + ax + bx + um polinômio em que a e b são números inteiros. Sabe-se que + é uma raiz de p(x).. DETERMINE os coeficientes a e b.. DETERMINE todas as raízes de p(x). p(x) = x + ax + bx +, a e b inteiros.. ( + ) + a( + ) + b( + ) + = 0 a = 4 e b =. Como + é raiz e os coeficientes são inteiros então também é raiz. Soma das raízes = a = K = 4 K = As raízes são +, e Observe esta figura: A t C T t C T B Nessa figura, as retas t e t são tangentes às circunferências C e C, respectivamente, nos pontos T e T. A reta AB é perpendicular à reta que passa pelos centros O e O das circunferências. Sabe-se, também, que AT = AT ; o raio de C é 5 e o raio de C é ; e OO =. Assim sendo, CALCULE OB eob.

5 A a h a +5 a T 5 B x -x T a +5 h = a + 5 x = a + (-x) x=7 (duas vezes o teorema de Pitágoras) OB = 7 OB = 5 Observe esta figura: Nessa figura, os comprimentos dos segmentos AB e AC são iguais. O comprimento do segmento BC é.. CALCULE o comprimento do segmento CP.. CALCULE a área do triângulo ACP.

6 P A 0 x 0 x. Lei dos senos x = sen75 sen x = 4 = (+ 6 ) B C A =.x.x.sen0. APC + A = DETERMINE todos os números complexos que satisfazem estas condições: z + z = + 6i z < 4 Z= a+ bi z + z = + 6i (a+ ) + bi (a bi) = + 6i z < 4 (a + ) + b = ( + a) + (6 b)i 6 b = 0 b = e (a + )² + b² = + a a' = (nao! serve, pois z < 4) ou a'' = z = + i Para um grupo de pessoas, serão sorteadas viagens para três cidades distintas A, B e C. Cinco dessas pessoas irão para a cidade A; quatro, para a cidade B; e três, para cidade C. Nesse grupo, estão Adriana, Luciana e Sílvio, que são amigos e gostariam de ir para a mesma cidade. RESPONDA:. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para a cidade A?. De quantas maneiras distintas se podem sortear as viagens de modo que Adriana, Luciana e Sílvio viajem para a mesma cidade?. Qual é a probabilidade de Adriana, Luciana e Sílvio viajarem para a mesma cidade?

7 . C 9,. C 7,4. C, = 60. para A: 60 para B: C 9,5. C 4,. C, = 504 para C: C 9,5. C 4,4 = 6 Soma: P = = C.C.C 44,5 7,4, Observe esta figura: Nessa figura, está representada uma seqüência infinita de círculos C, C, C,..., que tangenciam as retas s e t. Cada círculo C n tangencia o próximo círculo C n +. Para todo número natural positivo n, r n é o raio do círculo C n. Sabe-se que: α = 60 ; r =. rn+. MOSTRE que = para todo n. rn. DETERMINE r n em função de n.. CALCULE a soma das áreas de todos os círculos C, C, C,... 0 r r n+ n. r n 0 r n+ x r n+ r n+

8 rn+ rn sen0 = = = x x + r + r. rk+ = r r = r = k n n+ x = rn+ e x + r + r = r n n+ n rn+ = r n r =. rn = n 4 9π. Soma = π (r + r + r +...) S = π = π. = 8 9

9 MATEMÁTICA Equipe de Correção Prof. Paulo Prof. Ronney Prof. Rommel Soldado Projeto Gráfico e Coordenação de Produção Rafael Tunes Controle de Produção Antônio A. Vitor Diagramação Leandro Verassani Renata Paganotto Daniel Reis Márcio Lara Letícia Uematu Internet Rogério Souza