84 x a + b = 26. x + 2 x

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1 Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A, pagando R$ 96,00, e unidades do produto B, pagando R$ 84,00. Sabendo-se que o total de unidades compradas foi de 6 e que o preço unitário do produto A excede em R$,00 o preço unitário do produto B, determine o número de unidades de A que foi comprado. Sejam a e b as quantidades dos produtos A e B, respectivamente, e (x + ) e x, os preços, em reais, de cada unidade desses produtos. Das condições propostas, tem-se: 96 a = (I) x + a. (x + ) = b. x = 84 b = (II) x a + b = = 6 (III) x + x Da equação (III), tem-se = 6 48x + 4(x + ) = x (x + ) x + x x 64x 84 = 0 x = 6, pois x > 0 Substituindo nas equações (I) e (II), conclui-se que a = e b = 4. Foram adquiridos produtos A, por R$ 8,00 cada um e 4 produtos B, por R$ 6,00 cada um. Resposta: unidades FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

2 Diz-se que a matriz quadrada A tem posto se uma de suas linhas é não-nula e as outras são múltiplas dessa linha. Determine os valores de a, b e c para os quais a matriz x A = a b + c b + c a tem posto. Para que a matriz quadrada A tenha posto, devemos ter: a b + c = 4 a + b + c = a + b + c = a b + c 6 = = b + c a c a + b = = c = a + b + c = a + b + c = 6 c a + b c = a + b + c = a = c = b = a = Resposta: a =, b = e c = FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

3 Uma seqüência de números reais a, a, a,... satisfaz à lei de formação a n+ = 6a n, se n é ímpar a n+ = a n, se n é par. Sabendo-se que a =, a) escreva os oito primeiros termos da seqüência. b) determine a 7 e a 8. ) Se (a n ) é uma seqüência tal que 6 a n, se n é ímpar a n + = a n, se n é par então os termos de ordem ímpar formam uma progressão geométrica de razão e os termos de ordem par formam outra progressão geométrica de razão, pois: n = m a m = 6a m n = m a m + = a m n = m + a m + = 6a m + a m + = a m, com m * a m + = a m ) Para n = a = 6a a = 6 ) A seqüência (a n ) é (, 6,,, 4, 4, 8, 48, ) 4) a 7 de (a n ) é o décimo nono termo de (,, 4, ), ou seja,. 8 = 5) a 8 de (a n ) é o décimo nono termo de (6,, 4, 48, ), ou seja, 6. 8 =. Respostas: a) Os 8 primeiros termos de (a n ) são, 6,,, 4, 4, 8 e 48. b) O termo de ordem 7 é = 7. 7 O termo de ordem 8 é. 7 9 = 9. 9 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

4 4 A figura representa duas circunferências de raios R e r com centros nos pontos A e B, respectivamente, tangenciando-se externamente no ponto D. Suponha que: a) As retas t e t são tangentes a ambas as circunferências e interceptam-se no ponto C. b) A reta t é tangente às circunferências no ponto D. Calcule a área do triângulo ABC, em função dos raios R e r. Seja h = DC a altura relativa ao lado AB do triângulo ABC. No triângulo AOB, de acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se: (AB) = (AO) + (OB) (R + r) = (R r) + (h) 4Rr = 4h h = Rr Assim, a área S do triângulo ABC é dada por: AB. h (R + r) Rr S = S = Resposta: (R + r) Rr FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

5 5 Na figura abaixo A, B e D são colineares e o valor da abscissa m do ponto C é positivo. Sabendo-se que a 5 área do triângulo retângulo ABC é, determine o valor de m. Pela figura, temos ABC ~ AOD, então: A ABC ( AC = AD A AOD ) ) 5/ ( m 5 = (m ) = m = m = + (pois m > 0) Resposta: 5 m = + FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

6 6 Na figura acima, as circunferências têm todas o mesmo raio r; cada uma é tangente a duas outras e ao quadrado. Sabendo-se que cada uma das retas suporte das diagonais do quadrado tangencia quatro das circunferências (ver figura), e que o quadrado tem lado 7, determine r. De acordo com a figura acima, pode-se afirmar que: 4r + r = r + 7 Assim: 7 r( + ) = 7 r = r = 7 ( ) + Resposta: 7 ( ) FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

7 7 Determine todos os valores de x pertencentes ao intervalo [0,π] que satisfazem a equação cos x = sen x. cos x = sen x ( sen x) = sen x 8 sen 4 x 6sen x + = 0 sen x = ou sen x = 4 sen x = ± ou sen x = ± Os valores de x, x [0; π] são: π/4, π/4 5π/4, 7π/4, π/6, 5π/6, 7π/6 e π/6 Resposta: π/6, π/4, π/4, 5π/6, 7π/6, 5π/4, 7π/4 e π/6 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

8 8 A base ABCD da pirâmide ABCDE é um retângulo de lados AB = 4 e BC =. As áreas dos triângulos ABE e CDE são, respectivamente, 4 0 e 7. Calcule o volume da pirâmide. ) A área do triângulo ABE é 4 0 e assim a altura FE relativa ao lado AB desse triângulo é tal que: 4. FE = 4 0 FE = 0 ) A área do triângulo CDE é 7 e assim a altura GE relativa ao lado DC desse triângulo é tal que: 4. GE = 7 GE = 7 ) Sendo h a altura da pirâmide e também do triângulo EFG, em relação ao lado FG e x a projeção ortogonal de GE sobre FG, tem-se: h + x = 7 { h + ( x) = 40 Assim: x = e, portanto: h + = 7 h = 6 4) O volume V da pirâmide é dado por um terço do produto da área do retângulo ABCD pela altura h. Assim: V =. (4. ). 6 V = 4 Resposta: 4 unidades de volume FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

9 9 Seja f(x) = ax + ( a) x +, onde a é um número real diferente de zero. Determine os valores de a para os quais as raízes da equação f(x) = 0 são reais e o número x = pertence ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. A função f:, definida por f(x) = ax + ( a). x +, com a 0, deve ter raízes reais, e o número deve pertencer ao intervalo fechado compreendido entre as raízes. Assim sendo: a. f() 0 e a 0 a. [a. + ( a). + ] 0 e a 0 a(9a + a + ) 0 e a 0 a(6a + 4) 0 e a 0 a(a + ) 0 e a 0 a < 0, pois o gráfico de g(a) = a(a + ) é do tipo Resposta: a < 0 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

10 0 Uma pessoa dispõe de um dado honesto, que é lançado sucessivamente quatro vezes. Determine a probabilidade de que nenhum dos números sorteados nos dois primeiros lançamentos coincida com algum dos números sorteados nos dois últimos lançamentos. Supondo que o dado honesto tenha seis faces e os seis números dessas faces sejam diferentes, temos: ) A probabilidade de se obter dois números iguais no lançamento de dados é 6 = 6 6 e a de se 0 5 obter dois números diferentes é =. 6 6 ) Se os dois primeiros números forem iguais, a probabilidade de os dois últimos números serem diferentes dos dois primeiros é. = ) Se os dois primeiros números forem diferentes, a probabilidade de os dois últimos números serem diferentes dos dois primeiros é. = ) A probabilidade pedida é, portanto, = = = Resposta: 7 FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005

11 Comentário Com cinco questões de álgebra, três de geometria, uma de trigonometria e uma de geometria analítica, a banca examinadora elaborou uma excelente prova de Matemática, na qual podemos destacar a clareza e a precisão dos enunciados, o equilíbrio quanto ao grau de dificuldade dos exercícios e a originalidade de algumas questões, tais como as de geometria e a de probabilidade. FUVEST - (ª Fase) Janeiro/005