Questão 21. Questão 24. Questão 22. Questão 23. alternativa D. alternativa C. alternativa A. alternativa D. a) 1/1/2013 d) 1/1/2016

Transcrição

1 Questão a) //0 d) //0 b) //0 e) //07 c) //0 Um supermercado adquiriu detergentes nos aromas limão e coco. A compra foi entregue, embalada em 0 caixas, com frascos em cada caixa. Sabendo-se que cada caixa continha frascos de detergentes a mais no aroma limão do que no aroma coco, o número de frascos entregues, no aroma limão, foi a) 0 d) 0 b) 0 e) 0 c) 0 Seja n, n N, o número de frascos de detergentes no aroma limão por caixa. Então havia n detergentes no aroma coco e, portanto, n n n. Logo o número de frascos entregues no aroma limão foi 0 0. Questão alternativa D Como ambos os filhos nasceram em º de janeiro, o primeiro dia será º de janeiro de um certo ano 000 x, x. Temos que o mais velho receberá um valor proporcional a x, o mais novo um valor proporcional a x e, além disso, x 0,7 x x. Assim, o primeiro dia no qual o testamento poderá ser cumprido é //0. Questão Sabe-se que x é raiz da equação (cos α) x ( cosα senβ) x sen β 0, sendo α e β os ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da figura abaixo. Pode-se então afirmar que as medidas de α e β são, respectivamente, O menor número inteiro positivo que devemos adicionar a 97 para que a soma seja o quadrado de um número inteiro positivo é a) 7 b) c) d) e) alternativa A Como 9 e 0, o menor quadrado de um inteiro positivo maior do que 97 é 0, ou seja, o número procurado é a) e b) e c) e Questão d) e e) e O Sr. Reginaldo tem dois filhos, nascidos respectivamente em //000 e //00. Em testamento, ele estipulou que sua fortuna deve ser dividida entre os dois filhos, de tal forma que () os valores sejam proporcionais às idades; () o filho mais novo receba, pelo menos, 7% do valor que o mais velho receber. O primeiro dia no qual o testamento poderá ser cumprido é: alternativa D Temos que α e β são ângulos agudos complementares, logo senβ cosα > 0. Sabemos ainda que é raiz da equação dada. Assim: (cos α)x ( cos αsenβ) x sen β 0 cos α cos α cos α 0 cos cos cos α α α α e β.

2 matemática Questão Na figura, ABC e CDE são triângulos retângulos, AB, BC ebe DE. Logo, a medida de AE é D C Se h d, então d vale a) b) c) d) 0 e) Podemos estabelecer o seguinte sistema de coordenadas: E A B a) b) c) 7 d) e) Na figura, AC ( ). Como os triângulos retângulos ABC e EDC têm o ângulo C em comum, são semelhantes e, assim: AC AB BE CE DE BE BE Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo 7 ABE, AE. Questão Suponha que um fio suspenso entre duas colunas de mesma altura h, situadas à distância d (ver figura), assuma a forma de uma parábola. Suponha também que (i) a altura mínima do fio ao solo seja igual a ; (ii) a altura do fio sobre um ponto no solo que dista d de uma das colunas seja igual a h. Sendo o fio simétrico em relação ao eixo y, a equação da parábola que o contém é y ax c. d Como os pontos (0; ), ; h d ; d e d ;h d ; d pertencem à parábola, a 0 c d a d c d a d c c c d ad d d d ad d ad c d a

3 matemática Questão 7 Participam de um torneio de voleibol 0 times distribuídos em chaves, de times cada. Na ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra todos em cada chave, sendo que os melhores de cada chave passam para a ª fase. Na ª fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é a) 9 b) c) d) e) 7 Como a soma das áreas dos triângulos PBC, PAC e PAB é igual à área do triângulo ABC, temos: d d d h h d d d 9 Questão 9 A figura abaixo mostra uma pirâmide reta de base quadrangular ABCD de lado e altura EF. Sendo G o ponto médio da altura EF e α a medida do ângulo AGB, então cosα vale alternativa E Na ª fase, em cada chave, os times jogam entre si uma única vez. Portanto cada par de times corresponde a um jogo, ou seja, o número de jogos por chave é 0 e o total de jogos na ª fase é 0 0. Para a ª fase classificam-se os melhores de cada chave, totalizando times. Como em cada jogo um time é eliminado, são necessários mais 7 jogos para se chegar ao campeão. O número de jogos para se apurar o campeão do torneio é Questão A soma das distâncias de um ponto interior de um triângulo equilátero aos seus lados é 9. Assim, a medida do lado do triângulo é a) d) b) e) 9 c) 7 a) b) c) d) e) Consideremos na figura a seguir o triângulo eqüilátero ABC de lado e altura h e um ponto P em seu interior distando d, d e d dos lados tal que d d d 9. Supondo a base ABCD da pirâmide um quadrado de lado, temos AF BF. Aplicando o teorema de Pitágoras aos triângulos retângulos AFG e BFG, temos (AG) (GF) (AF) (BG). Pela lei dos co-senos no AGB: (AB) (AG) (BG) AG BG cosα (AB) (AG) (AG) cosα cos cos α α. Obs.: do enunciado pode-se concluir apenas que a base da pirâmide é um losango de lado. Sendo d AF e d BF as medidas das metades

4 matemática das diagonais do losango, d d, AG d, BG d e AG BG AB cosα AG BG d d d d. Sendo x d ef(x) ( d )( d ) ( x)( x) x x, o valor máximo ( ) de f é 9 e, considerando que ( ) d d e d >0 0 < d <, f(x) > f(0) e f(x) > f(). Assim, < f(x) 9 < f(x) cosα <. Das alternativas, a única que apresenta um valor possí- vel para cosα é a B. Questão 0 Os pontos D e E pertencem ao gráfico da função y loga x,coma > (figura abaixo). Suponha que B (x, 0),C (x, 0) e A (x, 0). Então, o valor de x, para o qual a área do trapézio BCDE é o triplo da área do triângulo ABE, é alternativa A A partir do gráfico, E (x, log a x) e D (x, log a(x )). Conseqüentemente, BE AB log a x log a x área (ABE), (BE CD) BC área (BCDE) (log a x log a(x )) log a x log a(x ) e, para que a área do trapézio BCDE seja o triplo da área do triângulo ABE, log a x log a(x ) log a x log a(x ) log a x log a(x ) log a x x x x>0 x > 0 x. Obs.: como log a x 0 x, A (x ;0) ;0 e <, a posição de A indicada na figura está incorreta. Na verdade, A está entre a origem e (; 0), ponto de intersecção do gráfico com o eixo x. Questão Sejam a e b números reais tais que: (i) a, b e a b formam, nessa ordem, uma PA; (ii) a, e b formam, nessa ordem, uma PG. Então o valor de a é: a) b) c) d) 7 e) a) b) c) d) e) alternativa E As condições dadas são equivalentes a: a (a b) b b a a b a b ( ) b a a a Questão b a Na figura, ABCD é um quadrado de lado, DEB e CEA são arcos de circunferência de raio. Logo, a área da região destacada é

5 matemática O triângulo ADE é eqüilátero de lado. Além disso, m (BAE) o o o m (CDE) Logo a área da região destacada é a área de um quadrado de lado menos a soma das áreas de dois setores circulares de raio e ângulo central 0 o com a área de um triângulo eqüilátero de lado, ou seja,. a) c) e) b) d)