( )( ) = =

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1 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão Assinale a alternativa verdadeira: (A) 06 0 < <( 06 ) (B) < 06 0 <( 06 ) (C) <( 06 ) < 06 0 (D) 06 0 <( 06 ) < ( ) < < (E) Gabarito: Letra C. Vejaque: 06 0 = Analogamente, = ( 06 0 )( 06 0 ) = 06 0 = 06 0 ( ) = Finalmente, Mas, 06 0 < < < < <( ) < Questão O sistema de inequações abaixo admite k soluções inteiras. Pode-se afirmar que: (A) 0 k < (B) k < (C) k < 6 (D) 6 k < 8 (E) k 8 x x > x x

2 OBJETIVAS /0/ Gabarito: Letra D. Se 0 < x : x x > x x x > 0 (x 7) (x ) > 0 Como x > 0, x > 0 x 7 > 0 pois o produto é positivo. Logo, x > 7 x = 8, 9, 0, ou já que x. Se x < 0: x x < x (x 7) (x ) < 0 x < 0 x 7 < 0 x > 0 pois o produto é negativo. Logo, < x < 0 x = pois x. Então, k = = 6 6 k < 8 Questão Sejam Z e Z números complexos tais que Z é imaginário puro e Z Z = Z. Para quaisquer valores de Z e Z que atendam a essas condições tem-se que: (A) Im(Z ) > 0 (B) Im(Z ) 0 (C) Z Z (D) Re(Z ) 0 (E) Re(Z ) Im(Z ) Gabarito: Letra C. Como Z Z = Z, podemos, por desigualdade triangular, afirmar que Z = Z Z Z Z Z Z, logo Z Z. Prova-se que as outras alternativas são falsas por contraexemplo: Fazendo Z = 0 e Z = i, ou Z = 0 e Z = i, prova-se que A e B são falsas. Fazendo Z = i e Z = i, prova-se que D é falsa Fazendo novamente Z = 0 e Z = i, prova-se que E é falsa Im Z Z Obs.: Não era necessária a condição que Z é imaginário puro. Re

3 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão No desenvolvimento de 0 x senβ cosβ x valor do termo independente de x é igual a 6/6. Considerando que β é um número real, com 0 < β < π/8 e x 0, o valor de β é: (A) π/9 (B) π/ (C) π/6 (D) π/8 (E) π/ Gabarito: Letra E. 0 T x senβ cos β, 0 β π, x 0 x com < 8 k Temosque Tk = 0 x 0 k ( sen β) k cosβ x k k k k Tk = 0 x x 0 0 sen β ( ) (cos β) k k k k Tk = x sen β cos β k Termoindependente k 0 =0 k = Logo, 0 T6 = sen β cos β = sen β 6 Como T6 =, temos: 6 sen β 6 = 6 sen β = sen β = π π π Como0< β <, temos β 0,. Daí, β = 8 6 π β =

4 OBJETIVAS /0/ Questão Calcule o valor de sen α cos α, sabendo-se que senα cos α =. 6 6 sen α cos α (A) (B) (C) Gabarito: Letra B. (D) (E) 6 (I) sen α cos α = ( sen α cos α) = () sen α sen α cos α cos α= sen α cos α = sen α cos α (II) sen α cos α = ( sen α cos α) = () 6 6 sen α sen α cos α sen α cos α cos α = 6 6 sen α cos α sen α cos α(sen α cos α) = 6 6 sen α cos α = sen α cos α Então, sen α cos α = sen α cos α 6 6 sen α cos α sen α cos α (III) senα cosα = sen α cos α = Portanto: = =.

5 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão 6 a Seja A = a com a R. Sabe-se que det(a A I) = 6. A soma dos valores de a que satisfazem essa condição é: (A) 0 (B) (C) (D) (E) Obs.: det(x) denota o determinante da matriz X Gabarito: Letra D. Como A e I comutam, podemos usar o produto notável: det (A A I) = det (A I) = [det (A I)] = 6 det (A I) = ± 0 a det( A I) = a 0 = 8a =± a= ou a= 0 Somando: = Questão 7 Seja a equação log y y log = y y 6, y > 0 O produto das raízes reais desta equação é igual a: (A) (D) (B) (E) (C) Gabarito: Letra A. log Sendo x = y y x = ( y (x > 0) log y ) log y = y = y log y.

6 OBJETIVAS /0/ Substituindo: x = x 6 x x 6 = 0 x = ou x = log y x = y =. x = não é possível, já que x > 0. log Elevando ao quadrado: y y = 9. Como y : log y 9 = log y log y = log y. Sendo u = log y: u = u u u = 0 (raízes u e u ) u u = log (y y ) = y y = =. Questão 8 Seja f(x) = x x x... x 07. O valor mínimo de f(x) está no intervalo: (A) (,008] (B) (008,009] (C) (009,00] (D) (00,0] (E) (0, ) Gabarito: Letra B. Usaremos a desigualdade triangular: a b a b. x x 07 = x 07 x 06 x x 06 = x 06 x 0 x x 0 = x 0 x 0 *... x 008 x 00 = x x x Somando tudo: (f(x))² (**) Para atingir esse mínimo, x deve ser igual a 009, pois a igualdade deve ocorrer em cada linha de *. Em (**), f(x) mín = = = Daí, 008² < f(x) mín < 009² f(x) mín (008, 009) 6

7 GABARITO IME MATEMÁTICA Questão 9 Sejam x, y e z números complexos que satisfazem ao sistema de equações abaixo: O valor da soma x y z é: (A) 0 (B) (C) 0 (D) 0 (E) x y z = 7 x y z = = x y z Gabarito: Letra B. x y z = 7 () i x y z = () ii xy yz xz = = ( iii) x y z xyz Elevando (i) ao quadrado, temos: ( x y z) = x y z ( xy yz xz) = 7 = 9 ( xy yz xz) = xy yz xz = Substituindo em (iii) = xyz = 8 xyz Então, x, y, z são raízes do polinômio: a 7a a 8 = 0 Utilizando a soma de Newton: S 7S S 8S = 0 S = 0 0 S = 8 7= 7

8 OBJETIVAS /0/ Questão 0 Um hexágono é dividido em 6 triângulos equiláteros. De quantas formas podemos colocar os números de a 6 em cada triângulo, sem repetição, de maneira que a soma dos números em três triângulos adjacentes seja sempre múltiplo de? Soluções obtidas por rotação ou reflexão são diferentes, portanto as figuras abaixo mostram duas soluções distintas. (A) (B) (C) 6 (D) 8 (E) 96 Gabarito: Letra D. 6 6 Considere os números na congruência módulo três. Temos os números 0, 0,,,,. É fácil ver que com dois números iguais consecutivos o problema não pode ser resolvido (00, 00, 0,, 0 e ). Definindo um dos triângulos (6 possibilidades) o próximo deve ter uma congruência diferente ( possibilidades). Uma vez definido os dois primeiros a congruência do terceiro está definida ( possibilidades). Daí em diante todos os números já estão definidos. 6 6 = 8 Questão Sejam uma progressão aritmética (a, a, a, a,...) e uma progressão geométrica (b, b, b, b,...) de termos inteiros, de razão r e razão q, respectivamente, onde r e q são inteiros positivos, com q > e b > 0. Sabe-se, também, que a b =, a b = 6. O valor de b é: (A). (D). (B). (E). (C). Gabarito: Letra A. a b = Do enunciado, temos ; r > 0; q > ; b i > 0 a b = 6 Colocando em função de a, r, b, q: a bq = a r bq = 6 8

9 GABARITO IME MATEMÁTICA Subtraindo uma da outra para eliminar a : r b q(q ) = Se q = ou q =, então r b q(q ) é múltiplo de, logo não pode ser. Se q 6, então q(q ) 0 e r b q(q ) >. Logo, q = e r b 0 = Como r > 0 e b > 0, isso implica r = b = Questão Sejam os pontos A(0,0), B(,), C(,), D(,) e E(, ). A reta r passa por A e corta o lado CD, dividindo o pentágono ABCDE em dois polígonos de mesma área. Determine a soma das coordenadas do ponto de interseção da reta r com a reta que liga C e D. (A) 7 (B) (C) 6 7 (D) (E) 7 7 Gabarito: Letra C. y r C(,) B(,) D(,) A(0,0) E(,/ ) x Um ponto I no segmento CD pode ser representado como: I = t C ( t) D = (t, t) ( t, t) = ( t, t) 9

10 OBJETIVAS /0/ Como I está no segmento CD, podemos escolher os vértices no sentido anti-horário e igualar as áreas: 0 0 t t = t 0 0 / t 0 8 6t t = t t t = 9 Soma das coordenadas = t t = t = Questão 9 = = Dado um quadrado ABCD, de lado a, marcam-se os pontos E sobre o lado AB, F sobre o lado BC, G sobre o lado CD e H sobre o lado AD, de modo que os segmentos formados AE, BF, CG e DH tenham comprimento igual a. A área do novo quadrilátero formado pelas interseções dos segmentos AF, BG, CH, e DE mede: a (A) a² (B) a² 8 (C) a² 6 (D) a² 9 (E) a² Gabarito: Letra A. 0 A a a E B a θ α α H θ I a α L J a α θ K F α a α θ D a G C a

11 GABARITO IME MATEMÁTICA Perceba que os triângulos ABF, BCG, DCH e ADE são todos congruentes. Assim: AFB=BGC=CHD=DEA= ˆ ˆ ˆ ˆ α ˆ ˆ ˆ ˆ o BAF=CBG=DCH=EDA= θ=90 α Além disso, pelas relações trigonométricas básicas em qualquer de um dos triângulos retâgulos anteriores: cos α = sen θ = a/ a / = = ( a / )² a² a / sen α = cos θ = a a = = ( a / )² a² a / Pelo paralelismo existente na figura e as consequentes marcações dos ângulos, temos: ˆ ˆ ˆ ˆ o BJF=CKG=DLH=EIA=90 CGB=GBA ˆ ˆ = α AB//DC AED=EDC ˆ ˆ = α Como consequência, veja que AEI, BJF, CGK, HLD também são triângulos retângulos congruentes e os quadrilatéros EBJI e DGKL são dois trapézios retângulos congruentes. Portanto: ÁREA IJKL = ÁREA ABCD ÁREA AED ÁREA EBJI Mas: ÁREA ABCD = a a = a² ÁREA AED = a a = a² 8 a a (EIBJ) (AE cosα BFsen α) a ÁREA EBJI = IJ= EBsenα = 9a a 0 0 a a a a ÁREA EBJI = ² = = 0 00 Logo: ÁREA IJKL = a² a² a² = 8 00 a² a² 00a² 7a² a² a² a² = a² = = =

12 OBJETIVAS /0/ Questão Um tronco de pirâmide regular possui vértices. A soma dos perímetros das bases é 6 cm, a soma das áreas das bases é 0 cm e sua altura mede cm. Calcule o volume do tronco de pirâmide. (A) 0 cm (B) (C) (D) (E) cm cm cm cm Gabarito: Letra E. Como ambas as faces são hexágonos, logo R = x e r = y. Como A=6 A= h V = ( A B A B A b A b) V= R Rr r Logo V = R Rr r comoab Ab R r R r 0 ( ), = ( ) = 0 = 0 e P P = 6 6R6r=6 Rr=6, R Rrr = 6 R r Rr=6 B Rr = 6 Rr =8 b Logo V= Questão ( 0 8) V =. O polinômio P(x) = x bx 80x c possui três raízes inteiras positivas distintas. Sabe-se que duas das raízes do polinômio são divisoras de 80 e que o produto dos divisores positivos de c menores do que c é c. Qual é o valor de b? (A) (B) (C) 7 (D) (E) 9 r y R x h =

13 GABARITO IME MATEMÁTICA Gabarito: Letra E. Temos que se d = < d <... < d k = c são os divisores de c, então d d... d k = c. Se c não for quadrado perfeito, temos que os divisores formam pares cujo produto é c. Logo: d dk = c d dk = c t produtos Então: d d k = c t = c t = dt dk t = c t Se for quadrado perfeito, se temos t pares, c não possui par c c = c t, absurdo! Portanto, temos pares apenas e então c possui apenas 6 divisores: = d < d < d < d < d < d 6 = c Então, sendo p,q primos, como c tem 6 divisores, c = p q ou c= p. Se c = p q, sendo x, x, x as raízes: x x x = c = p q Como x, x e x são distintos, temos os seguintes casos: {x, x, x } = {, pq, p} ou {x, x, x } = {, p, q} Se c = p, temos {x, x, x } = {, p, p } ou {, p, p } Logo, sempre é raiz. Supondo, sem perda de generalidade, que x < x < x, temos x = : x x x x x x = 80 x x x x = 80 (x )(x ) = 8 = Como x, x são positivos, x e x. Então, só podemos ter x = e x = 7 x = e x = 6. (Veja que e dividem 80.) Portanto, b = 6 = 9 Obs.: Não era necessário saber que duas das raízes são divisores de 80. Comentários A prova de Matemática deste ano teve nível médio. Os conteúdos abordados foram bem equilibrados, o que favoreceu os alunos bem preparados. Professores: Daniel Fadel Daniel Santanelli Hugo Leonardo Jordan Piva Jorge Henrique Lucas Herlin Marcio Cohen Orlando Onofre Rafael Filipe Raphael Mendes Roberto Tadeu Rodrigo Villard