FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ O Colégio que ensina o aluno a estudar PROVA DE MATEMÁTICA IV SIMULADO ITA. ALUNO(A): N o : TURMA:

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1 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela FUNDADOR PROF. EDILSON BRASIL SOÁREZ O Colégio que ensina o aluno a estudar Central de Atendimento: o Ensino Médio PROVA DE MATEMÁTICA IV SIMULADO ITA ALUNO(: N o : TURMA: TURNO: MANHÃ DATA: 0/08/007 N o QUESTÕES: 0 PROFESSORES: MAX e ONOFRE ETAPA: a INSTITUTO TECNOLÓGICO DE AERONÁUTICA VESTIBULAR SIMULADO / Esta prova tem duração de quatro horas. PROVA DE LÍNGUA PORTUGUESA INSTRUÇÕES. Não é permitido deixar o local de exame antes de decorridas duas horas do início da prova.. Você poderá usar apenas lápis (ou lapiseira), caneta, borracha e régua. É proibido portar qualquer outro material escolar. 4. Esta prova é composta de 0 questões de múltipla escolha (numeradas de 01 a 0). 5. As 0 questões de múltipla escolha correspondem a 50% do valor da prova e as questões dissertativas aos 50% restantes. 6. Você recebeu este caderno de questões e um caderno de soluções com duas folhas de rascunho. Verifique se o caderno de questões está completo. 7. Numere seqüencialmente de 1 a 0, a partir do verso da capa, cada página do caderno de soluções. número atribuído a cada página corresponde ao da questão a ser resolvida. Não escreva no verso da parte superior da capa (região sombreada) do caderno de soluções. As folhas centrais coloridas deverão ser utilizadas apenas como rascunho e, portanto, não devem ser numeradas e nem destacadas pelo candidato. 8. Cada questão de múltipla escolha admite uma única resposta.. As resoluções das questões dissertativas, numeradas de 1 a 0, podem ser feitas a lápis e de ser apresentadas de forma clara, concisa e completa. Respeite a ordem e o espaço disponível no caderno de soluções. Sempre que possível, use desenhos e gráficos. 10. Antes do final da prova, você receberá uma folha de leitura óptica, destinada à transcrição das respostas das questões numeradas de 01 a 0. Usando caneta preta, assinale a opção correspondente à resposta de cada uma das questões de múltipla escolha. Você deve preencher todo o campo disponível para a resposta, sem extrapolar-lhe os limites. 11. Cuidado para não errar no preenchimento da folha de leitura óptica. Se isso ocorrer, avise o fiscal, que lhe fornecerá uma folha extra com o cabeçalho devidamente preenchido. 1. Não haverá tempo suplementar para o preenchimento da folha de leitura óptica. 1. Na última página do caderno de soluções, existe uma reprodução da folha de leitura óptica, que deverá ser preenchida com um simples traço a lápis, durante a realização da prova. 14. A não devolução do caderno de soluções e/ou da folha de leitura óptica implicará a desclassificação do candidato. 15. Aguarde o aviso para iniciar a prova. Ao terminá-la, avise o fiscal e aguarde-o no seu lugar. SEDE NILA GOMES DE SOÁREZ Av. do Imperador, 10 SEDE EDILSON BRASIL SOÁREZ Rua Henriqueta Galeno, 1011 SEDE EDNILDO GOMES DE SOÁREZ Av. do Imperador, 1055

2 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio QUESTÕES OBJETIVAS QUESTÃO 01 Considere o subconjunto P, do conjunto dos números complexos C, dado por: P = {z C; z = x + i y, com y = x + 4}. Se exatamente três das raízes da equação x 5 7x + 0x 44x + 80 = 0 estão em P, duas das quais são números imaginários puros (parte real nula), o produto das raízes desta equação que NÃO pertencem a P é: 1 C) i 5 4 i QUESTÃO 0 Sabendo-se que as abscissas r 1 e r dos focos da hipérbole x y = 1 são as raízes do polinômio P(t) = t + at + bt + c com a, b e c R e que a terceira raiz r do polinômio verifica a igualdade r = Pode-se concluir que a + b + c é: + + C) + r 1 r. QUESTÃO 0 Sabendo-se que no desenvolvimento do binômio mx x o termo independente de x é igual a distância focal relativa à hipérbole y x = 1, pode-se concluir que a equação da reta que passa pelo ponto 16 1, m e com coeficiente angular m é: y 4 x + 4 = 0 y 4 4 x + 4 = 0 C) y x + ( 4 1) = 0 y x + ( 4 ) = 0 y 4x + ( 4 4) = 0

3 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio QUESTÃO 04 Um corpo se movimenta obedecendo à função horária S(t) = t 4 λ λ t, λ > 0, onde S é dado em metros e t em segundos. Sabendo-se que o corpo passa pela origem das posições exatamente em dois instantes distintos t 1 e t, o valor do parâmetro λ para o qual t = t 1 é: 4 5 C) QUESTÃO 05 A equação de uma determinada elipse pode ser obtida usando as seguintes informações: I. Seu centro é o foco da parábola x = y. II. Seu eixo menor tem comprimento igual à distância entre as retas y x = 1 e x y = 1. III. Seu eixo maior está sob o eixo das abscissas e tem comprimento igual ao perímetro do quadrilátero formado pelas raízes do polinômio P(z) = z 4 + z + z : 50z + 58, o qual tem z = 1 + i como uma de suas raízes. Com bases nessas informações, pode-se concluir que a equação da elipse é: 7(x 4) + 180y = 40 1 x 4 + 4y = 11 C) x + 16y = 80 x + 1y = 1 4 (x 1) + (y 1) = 1 QUESTÃO 06 O número de raízes reais da equação 4 x 4 (x ) 1 + (x 5) (x 7) = é igual a: 0 1 C) 4 5x 6 x

4 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio 4 QUESTÃO 07 Considere o polinômio P(x) = (1 + x) x (1 + x) + x (1 + x) x 1000 Determine o coeficiente de x 50 no polinômio P(x). C) QUESTÃO 08 Determine o valor da expressão E = sec 40 o + sec 80 o + sec 160 o. 0 1 C) 6 QUESTÃO 0 1 Seja x um número complexo, tal que x + = 1. x Calculando x x 008, obtemos: 0 1 C) 1 i i QUESTÃO 10 O produto de duas das quatro raízes da equação x 4 18x + k x + 00x 184 = 0 é. Determine o valor de k C)

5 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio 5 QUESTÃO 11 Considere as seguintes afirmações sobre os conjuntos A = {0, 1,, 4} e B = {1,, 5}: I. A\B = {0,, 4}. II. n(a x é um número primo. III. B\A é um conjunto unitário. Pode-se dizer, então, que é(são) verdadeira(s): Apenas I. Apenas II. C) Apenas II e III. Apenas I e III. Todas as armações. QUESTÃO 1 Sejam f, g : R R funções definidas por ƒ(x) = x e g(x) = 10 cos5x. Podemos afirmar que: ƒ é injetora e par e g é ímpar. g é sobrejetora e g o ƒ é par. C) ƒ é bijetora e g o ƒ é ímpar. g é par e g o ƒ é ímpar. ƒ é ímpar e g o ƒ é par. QUESTÃO 1 Seja A um conjunto finito de números reais cujo número de elementos é igual a k. Seja S = {(x; y) A x A; x > y}. O número de elementos de S é igual a: k k (k k) C) k(k 1) (k ) k(k 1) k + k QUESTÃO 14 Seja ƒ uma função real que satisfaz ƒ(x). x + [ƒ(x)]. x + = 0. A imagem de ƒ está contida no conjunto: R {y R; y 0 ou y } C) {y R; y } {y R; y } {y R; 0 y } QUESTÃO 15 + log x log x (x + ) Se x é um número real positivo, com x 1/, 1, satisfazendo = log x (x + ), log x 1+ log x onde: I = (0, 1/) I = (0, 1/) C) I = (1/, 1) I = (1, /) I = (/, ) x+ então x pertence ao intervalo I,

6 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio 6 QUESTÃO 16 No triângulo ABC, temos AC = 10 cm e BC = 6 cm. Seja D um ponto sobre o lado BC tal que CD = cm. A circunferência circunscrita ao triângulo ABD corta o lado AC em um ponto interior E. Se a área do triângulo CDE é igual 4 cm, a área do quadrilátero ABDE é igual a: 54 C) QUESTÃO 17 Sejam D, E e F pontos sobre os lados AB, BC e AC, respectivamente, do triângulo ABC tais que AD/AB = α, BE/BC = β e CF/CA =λ. Sabendo que α + β + λ = / e α + β + λ = /5, determine [DEF]. [ABC] Obs: [ ] denota área C) QUESTÃO 18 No paralelogramo ABCD, AB < AD. A bissetriz interna do ângulo ABC intersecta AD em P. Se PD = 5 e BP = CP = 6, quanto mede o lado AB? 5 17/ C) 18/5 1/7 4 QUESTÃO 1 Seja α = 1 log. O conjunto solução da desigualdade sen x log log5 5 [0, π/] [π/, π) [0, 7π/6] [11π/6, π) C) [0, 4π/] [5π/, π) [0, π/6] [5π/6, π) [π/6, 5π/6] [7π/6, 11π/6] α no intervalo [0, π) é:

7 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio 7 QUESTÃO 0 Se a e b são números reais positivos tais que as equações x + ax + b = 0 e x + bx + a = 0 possuem soluções reais, então o menor valor possível de a + b é: C) QUESTÕES SUBJETIVAS QUESTÃO 1 Se tg a = tg b = tg c. Determine o valor de M = (tg a + tg g + tg c) (cot ga + cot gb + cot gc) QUESTÃO Determine o valor da expressão E = sec π sec π sec π

8 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio 8 QUESTÃO Considere os seguintes conjuntos de números complexos: A = {z C z = 1, Im(z) > 0} e B = {z C Re(z) = 1, Im(z) > 0}, onde Re(z) e Im(z) são as partes real e imaginária do número complexo z, respectivamente. Mostre que para cada z A, o número z z + 1 Mostre que cada ω B pode ser escrito da forma pertence a B. z z + 1 para algum z A. QUESTÃO 4 Sobre os lados AB, AC e BC de um triângulo ABC consideram-se, respectivamente, pontos, 4 pontos e 5 pontos, distintos e não coincidentes com os vértices. Quantos segmentos podem ser traçados cujas extremidades sejam os centros das circunferências determinadas pelos 1 pontos? QUESTÃO 5 A soma das idades atuais de Maria e Ana é 44 anos. Atualmente a idade de Maria é o dobro da idade que Ana tinha quando Maria tinha a metade da idade que Ana terá quando a idade desta for o triplo da idade que Maria tinha quando Maria tinha o triplo da idade de Ana. Com base nessas informações calcule a idade de Ana.

9 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio QUESTÃO 6 Mostre que não existe função ƒ: Z Z tal que ƒ(ƒ(x)) = x + 1, para todo x Z. QUESTÃO 7 No trapézio ABCD, as bases medem AB = a e CD = b. As diagonais encontram-se em O. Ache a razão entre a área do triângulo ABO e a área do trapézio. QUESTÃO 8 x x Resolva a equação ( 7 48) + ( ) = 14.

10 D: º EM MATEMÁTICA ITA IME SIMUL Rosângela PROVA DE MATEMÁTICA - IV SIMULADO ITA/007 Professores: Max e Onofre - o Ensino Médio 10 QUESTÃO x 1 Seja ƒ uma função real definida por ƒ(x) = ln e. x e Ache o domínio da função ƒ. Ache a imagem da função ƒ. QUESTÃO 0 Seja ABCDE um pentágono convexo tal que AB = BC, CD = DE, ABC = 150 o, CDE = 0 o e BD =. Determine a área do pentágono ABCDE.