Matemática 1 a QUESTÃO

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1 Matemática a QUESTÃO IME-007/008 Temos que: i) sen 3 x + cos 3 x = (senx + cosx) (sen x senxcosx + cos x) = (senx + cosx) ( senxcosx) ii) sen xcos x = ( + senxcosx) ( senxcosx) Então, a equação dada é equivalente a: (senx + cosx) ( senxcosx) = ( + senxcosx) ( senxcosx) (senx + cosx) ( senxcosx) ( + senxcosx) ( senxcosx) = 0 ( senxcosx) [(senx + cosx) ( + senxcosx)] = 0. Daí, iii) senxcosx = 0 senxcosx = senx = x R ou iv) senx + cosx senxcosx = 0 (sex ) + (cosx senxcosx) = 0 (senx ) cosx (senx ) = 0 (senx ) ( cosx) = 0 Isso nos dá: π v) senx = x = + kπ ou vi) cosx = x = kπ π Logo: S = x R/ x = + kπ ou x = kπ; k Z a QUESTÃO Como Q(x) + é múltiplo de x 4, temos que P(x). (x ) 3 = ax 6 + bx + cx 4 = M(x) Assim, o polinômio M(x) possui raiz tripla. Com isso, M() = M () = M () = 0. Cada uma dessas igualdades nos dá uma equação e com elas formamos o seguinte sistema: a+ b+ c = 6a+ b+ 4c = 0 30a+ 0b+ c = 0 cuja solução é (a, b, c) = (0, 4,). Logo, aplicando a divisão de polinômios, temos que: P(x) = 0x 3 + 6x + 3x +. 33

2 3 a QUESTÃO IME-007/008 Como CD = DC, devemos ter a c b x d z y x = w z y a w c b d ax + cy + bz + 0 = 0 bx + (a + d)y bw = 0 cx (a + d)z + cw = cy + bz + dw = 0 Para o último sistema admitir uma solução (x, y, z, w) (0, 0, 0, 0), devemos ter a c b 0 b a+ d 0 b = 0 c 0 a+ d c 0 c b d a a+ d 0 b b 0 b b a+ d b 0 a+ d c c c a+ d c + b c 0 c = 0 c b d 0 b d 0 c d 4( a+ d) ( ad bc) = 0 a= d ou ad = bc 4 a QUESTÃO Seja x, xq, xq, xq 3 a P.G. inicial. Então: x, xq, xq, xq 3 a seqüência é P. G. (I) x, xq, xq, xq 3 k a seqüência é P. A. (II) x, xq, xq, xq 3 k 3 a seqüência (III) x, xq, xq, xq 3 k 7 4 a seqüência é P. A. (IV) 34

3 De (II) e (IV) e sabendo que são PAs, temos: 3 xq + xq = x + xq k 7 () 3 xq + xq = x + xq k ( ) IME-007/008 Multiplicando a equação () por e subtraindo de (), obtemos k = 3. Usando que (IV) é P.A., temos: 3 xq 0 xq + = R xq xq = R xq x + = R (onde R é a razão da P.A.) xq ( q ) = R + 4 ( 3) xq( q ) = R + ( 4) xq ( ) = R ( ) De (4) em (3) obtemos q (R + ) = R + 4 De () em (4) obtemos q (R ) = R + o CASO: Suponha que R ±. Então: R = R + R + = R 4R R 4 R R + R + R = Se R = q = 3 que satisfazem o enunciado. e usando em (), obtemos x = 8. Então, temos as seqüências: 8,, 8, 7 6,, 8, 4 4, 4, 36, 4, 4, 34, 44 o CASO: R = Se R =, de () e (4), obtemos: x (q ) = 0 e 0 = q. 0 = xq (q ) = 0 ABSURDO! Logo, R. 3 o CASO: R =, de (4) e (3) obtemos: xq (q ) = 0 e 0 = q. 0 = xq (q ) = 3 0 ABSURDO! Logo R. 3

4 a QUESTÃO IME-007/008 O número total de maneiras de distribuirmos os 0 carros em duas filas é 0!. O número de distribuições em que pelo menos i linhas têm carros de mesma equipe é 0 i i i i! ( ). ( )!.!. Então: Configurações em que pelo menos uma linha tem carros de mesma equipe: Configurações em que pelo menos duas linhas têm carros de mesma equipe: 8000 Configurações em que pelo menos três linhas têm carros de mesma equipe: 3600 Configurações em que pelo menos quatro linhas têm carros de mesma equipe: 600 Configurações em que pelo menos cinco linhas têm carros de mesma equipe: 0 Pelo princípio da inclusão e exclusão, o total de maneiras de distribuirmos os carros de modo que não existam linhas com carros da mesma equipe é: 0! ( ) = 680. Observação: Não fica claro no enunciado se os carros são iguais ou diferentes. Caso eles sejam distintos, o resultado anterior deve ser multiplicado por. 6 a QUESTÃO Considere a série formal ƒ(x) = + x + x x n+ = x n + x Derivando, obtemos + x + 3x (n + )x n = ( ) n+ n x ( x ) ( n+ + x ) ( x ) 36

5 IME-007/008 Substituindo x por i, temos: + i + 3i (n + )i n = ( ) n+ n i ( i ) ( n+ + i ) ( i ) Como 4 divide n, i n =, então i + i + 3i (n + )i n = ( n ) i ( i ) ( i + ) n ( i = ) + i ª solução: Considerando S = + i + 3i (n + )i n, temos que is = i + i + 3i ni n + (n + ). i n. Daí, n S = + i+ 3i ( n+ ) i 3 n n+ is = i + i + 3i ni + ( n + ) i Subtraindo membro a membro essas duas igualdades, obtemos 3 n n+ S is = ( + i+ i + i i ) ( n+ ). i n i n S( i). + = n i i ( + ) + Como 4 divide n, i n =, o que nos dá: 7 a QUESTÃO Como a área de uma calota esférica (A) de altura h é dada por A = πrh, em que R é o raio da esfera, temos (veja figura ilustrativa): 37

6 IME-007/008 i) Área da calota =. (área do círculo base) πrh = πr Rh = r ii) Relação métrica no ΔABC, retângulo em C: (CD) = (AD). (BD) r = h (R h) r = Rh h Substituindo (i) em (ii), obtemos: r = r h h = r Daí, Rh = r Rr = r r = R Logo, o raio do círculo base da calota é o raio R da esfera. 8 a QUESTÃO Considere um sistema de coordenadas com origem em A, eixo x na reta AB e eixo y na reta AD de modo que A = (0,0), B = (,0), C = (, ) e D = (0, ) (Podemos supor que o lado do quadrado é pois basta aplicar uma homotetia conveniente para produzirmos as condições do enunciado). Se B é um ponto no interior do triângulo ABC que satisfaz o enunciado, seu simétrico em relação a AC também irá satisfazer o enunciado. Logo α = B ÂB 4. Claramente 38

7 IME-007/008 ( ) B = cos α, senα. Então ( ) + ( ) cos α senα BC = = 3 6. AB 9 a QUESTÃO Como Z = sen α+ cos α =e Z = cos α+ sen α =, temos: Z = ZZ = ZZ= Seja Z = A + Bi onde A = Re(Z) e B = Im(Z). Então A + B = A + B = e conseqüentemente A e B Daí Re( Z) = A e Im( Z) = B 0 a QUESTÃO y Seja k =. Substituindo y = kx na equação da circunferência, obtemos: x x + k x 6x 6kx + 4 = 0 x ( + k ) x( 6 + 6k) + 4 = 0 39

8 IME-007/008 Fixado k, como esta equação admite solução em, devemos ter Δ 0. Então: Δ= ( 6 + 6k) 4. 4 ( + k ) = 0 + 7k 0k 0 Como as raízes do polinômio 0k + 7k 0 são e 9 4, devemos ter k. Para k = k 3k+ 3k, o ponto (x, y) =, está na circunferência e satisfaz x + k + k y = k. Logo o valor máximo de k é ANOTAÇÕES 40