MATEMÁTICA NÚMEROS COMPLEXOS. d) 2 e) 3

Transcrição

1 MATEMÁTICA NÚMEROS COMPLEXOS 1. U. Católica Dom Bosco-MS O valor do número real x para que o conjugado do número complexo (x + i)(1 + xi) seja igual a i é: a) b) 1 c) 1 d) e) 1. UFCE Considere o número complexo z = (1 + i). ( i). Assinale a opção na qual consta o menor inteiro positivo n, tal que z n seja um número real positivo. a) 6 b) 1 c) 18 d) e) 0. U. Uberaba-MG Coloque V ou F, conforme sejam verdadeiras ou falsas as afirmações abaixo: I. Se i é raiz da equação x + ax + bx + c = 0 (a, b e c reais) podemos afirmar que + i também é raiz ( ) II. A equação x + ax + bx 1 = 0 (a, b R) admite duas raízes reais. ( ) III. Um polinômio de coeficientes reais tem como raízes simples e i, e como raiz tripla i. Neste caso o grau do polinômio é maior ou igual a 5. ( ) IV. A equação x 5 x + x + r = 0 (r R) tem um número ímpar de raízes reais. ( ) V. Dado o número complexo z = + i, podemos afirmar que seu módulo é. ( ) Marque a alternativa que corresponde às proposições verdadeiras: a) somente I, III, V b) somente I, III, IV c) somente II, IV, V d) somente I, II, IV. UFSC Determine a soma dos números associados à(s) proposição(ões) verdadeira(s). 01. Se z é um número complexo, então z. z 1 = A parte imaginária de (z + z) é o dobro da parte imaginária de z. 0. O número complexo z = i tem módulo e argumento. 08. Se z = i, então z 6 = ITA-SP Se z = 1 + i, z.w = 1 e α [0, ] é um argumento de z. w, então a é igual a: a) b) c) d) 5 e)

2 6. UFMS Sobre o número complexo z que satisfaz a equação z + iz + 1 i = 0, onde i = 1, e z é o conjugado do número complexo z, é correto afirmar que: 01. z = z, onde z é o módulo do número complexo z; 0. a soma da parte real com a parte imaginária vale 0 (zero); 0. z = 1 + i; 08. z é um número real; 16. z = i 7. UFBA Sendo z = a + bi o número complexo tal que a, b e z são números naturais consecutivos, pode-se afirmar: 01. Uma forma trigonométrica de z é 5 cos + i sen. 0. z. z = z + z = (z z ) 1 = i 16. z 5 z = 7 + i z. Os afixos dos números complexos z, z, z, z são os vértices de um retângulo cuja diagonal mede 5 u.c. 6. A equação da circunferência que passa pelos afixos de z e de z e tem centro na origem dos eixos coordenados é x + y = UFR-RJ Sendo a = + i e b = 1 i, o valor de a b é: a) b) c) 5 d) e) U.E. Ponta Grossa-PR Sobre o complexo z = 1 i, assinale o que for correto. 5 i 01. z = i 0. z é uma das raízes da equação x + x = z = 08. Seu conjugado é 1 + i 1 1 i 16. = z

3 10. Fatec-SP Sejam os números complexos z 1 = 1 + i e z = 1 1 i. O argumento principal de z 1 z é: a) b) 5 c) 7 d) e) F.I. Anápolis-GO Sendo a um número real e sabendo que a parte imaginária do complexo + i é zero, então a vale: a+ i a) 1 b) c) d) e) 1 1. UFSE Seja a equação x x + mx + n = 0 com m e n reais. Se o número complexo 1 i é uma das raízes dessa equação, então: a) m n = d) m + n = b) m + n = 0 e) m n = 1 c) m n = 0 1. Cefet-RJ A equação de º grau, com coeficientes reais, que tem uma das raízes igual a + i é: a) x + x + = 0 b) x x + = 0 c) x + x 9 = 0 d) x + x + 1 = 0 e) x x + 1 = 0 1. U.E. Ponta Grossa-PR Sabendo que i = 1, assinale as proposições corretas i + i + i i 00 = Se i é uma raiz da equação x + bx = 0, então b =. + ai 0. Para que z = seja um número real, a =. l i 08. O termo médio do desenvolvimento do binômio (i + 1) vale. 16. O argumento do complexo z = 1 i é 7 rad. 15. PUC-SP Sabe-se que o polinômio f = x + x + 5x + k admite três raízes reais tais que uma delas é a soma das outras duas. Nessas condições, se k é a parte real do número complexo z = k + i, então z: a) é um imaginário puro. b) tem módulo igual a. c) é o conjugado de i. d) é tal que z = i. e) tem argumento principal igual a 5.

4 16. UFMT Calcule a soma dos quadrados dos coeficientes real e imaginário do número x. sen5+ y.cos5= 1 complexo z = 5(y + xi) a partir do sistema. x.cos 5 y. sen5= Unifor-CE O número complexo i é raiz do polinômio p = x mx + m x m, no qual m +. Uma outra raiz desse polinômio é: a) b) 1 c) 1 d) 0 e) i 18. UFR-RJ Para que a equação x + px + q = 0, com p e q reais, admita o número complexo z = i como raiz, o valor de q deverá ser: a) 10 b) 1 c) 1 d) 6 e) PUC-PR Sabendo-se que o complexo z = a + bi satisfaz à expressão iz + z = i 11, então z é igual a: a) 16 9i b) 17 i c) 5 i d) 5 + i e) 7 i 0. ITA-SP O número complexo z = 1 cos a + i 1 cos a + sen a, a ]0, /[ sen a cos a sen a tem argumento /. Neste caso, a é igual a: a) b) c) d) e) 6 5 9

5 1. UFMS Considere a equação no campo complexo z = i z, onde i é a constante imaginária, isto é, i = 1 e z é o conjugado de z. É correto afirmar que: 01. o número complexo i é uma solução da equação dada; 0. se z 0 e z é uma solução da equação dada, então z = 1, onde z denota o módulo de z; 0. o número complexo w, representado no plano complexo abaixo, é solução da equação dada; o número 0 não é uma solução da equação dada; 16. a equação dada possui exatamente soluções.. UFSE Seja o número complexo z = 1 + i. O argumento principal de z é: a) 0 d) 90 b) 5 e) 10 c) 60. U.F. Uberlândia-MG Seja o número complexo z = cos15º + i sen15º, onde i = 1. Se w é um outro número complexo tal que w = z = z w, então pode-se afirmar que um valor possível para w nessas condições é: a) w = cos15º + i sen15º b) w = cos60º + i sen60º c) w = cos165º + i sen165º d) w = cos5º + i sen5º. PUC-PR O complexo 1 i é raiz da equação x x x + 8x 8 = 0. As outras raízes são: a), e i b), e 1 + i c), e 1 + i d) 0, e 1 + i e) i, i e 1 + i 5. FEI-SP Uma das raízes da equação x x + c = 0, onde c é um número real, é o número complexo z 0 = 1 + i. É válido afirmar-se que: a) c = 0 b) c = 1 c) c = d) c = 5 e) c = 7

6 6. UFMT Na figura o ponto P é o afixo de um número complexo z, no plano de Argand- Gauss. 6 A partir das informações dadas, julgue os itens. ( ) A forma trigonométrica de z é 5 5 cos + i sen. ( ) Se Q é o afixo do número complexo w = z.i, sendo i a unidade imaginária, então o ângulo PÔQ é reto. ( ) Sendo z o conjugado de z, z z = ( z ). 7. UESC-BA O número complexo z = 6i 5 + (i) 6 + (i) é igual a: a) 65 6i d) 6 + 7i b) 5 6i e) i c) 6 + 5i 8. U.F. Juiz de Fora-MG O número complexo z de módulo está representado abaixo no plano complexo. Podemos afirmar que z é igual a: a) i b) i c) i d) i 9. PUC-PR Se as imagens geométricas dos números complexos 0, z e z no plano de Argand-Gauss são os vértices de um triângulo eqüilátero, então a medida do segmento que une as imagens de z e z é: a) b) z z d) Re (z) e) Im (z) c) z

7 0. ITA-SP Sendo 1 e 1 + i raízes da equaçao x + ax + bx + c = 0, em que a, b e c são números reais, então: a) b + c = b) b + c = c) b + c = d) b + c = 1 e) b + c = 0 1. UFCE Sejam x, y, z e w números complexos tais que suas representações geométricas coincidem com os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência com centro na origem. Se x = + i, determine y, z e w. 7. FATEC-SP Uma equação do º grau que tem por raízes os números complexos + i 109 e i 5 é: a) x + x + 5 = 0 b) x + x 5 = 0 c) x + 5x + = 0 d) x x 5 = 0 e) x x + 5 = 0. Cefet-PR Considere os seguintes dados: C é o conjunto dos números complexos. R C, de forma que R = {z C : Re(z) + Im(z) 1}. Com base nesses dados, indique a alternativa que apresenta a região do plano complexo que melhor representa graficamente o conjunto R. a) b) c) d) e)

8 . ITA-SP A parte imaginária de ((1 + cos x) + i sen x) k, k inteiro positivo, x real, é a) sen k x cos k x b) sen k x cos k x c) k senkx cos k x d) k sen k x cos k x e) senk x cos k x 5. UFPR Considerando o número complexo z = a + bi, em que a e b são números reais e i = 1, define-se z = a bi e z = a + b. Assim, é correto afirmar: ( ) Se z é número real, então z = z. ( ) Se z = i, então ( z) 6 = z. ( ) Se z = 1 + i, então z = (1 + i) 1. ( ) Se z = cos α + i sen α, então z. z = 1, qualquer que seja o número real α. ( ) Se z + z = 9 i, então z = Vunesp Considere os números complexos z 1 = ( + i) e z = (x + i), onde i é a unidade imaginária e x é um número real. Determine: a) o número complexo z 1 z em função de x; b) os valores de x tais que Re (z 1 z ) Im (z 1 z ), onde Re denota a parte real e Im denota a parte imaginária do número complexo. 7. ITA-SP Seja z 0 o número complexo 1 + i. Sendo S o conjunto solução no plano complexo de z z 0 = z + z 0 =, então o produto dos elementos de S é igual a: a) (1 i) b) (1 + i) c) (i 1) d) i e) i

9 MATEMÁTICA NÚMEROS COMPLEXOS 1 1. B. D. B C = 8 8. B = A 11. E 1. D 1. E = E 1. Escrevendo os números na forma polar temos x = x (cosα 1 + i sen α 1 ); y = y (cosα + i sen α ); z = z (cosα + i sen α ) iw = w (cosα + i sen α ). Consideremos x, y, z e w como na figura abaixo.. E. C. C A 18. D 19. E 0. A =. D. A. C 5. D 6. F-V-V 7. D 8. B 9. C 0. C Como x = + i = x cosα 1 + i x senα 1 e x =, temos cosα 1 = e senα 1 = 1. Daí α 1 = 0º. Como as representações geométricas de x, y, z e w coincidem com os vértices de um quadrado inscrito em uma circunferência de centro na origem e α 1 = 0º, devemos ter y = z = w = x = 1 ( ) + = = ; α = 0º + 90º = 10º; α = 10º + 90º = 10º e α = 10º + 90º = 00º. Assim: y = (cos10º + i sen 10º) = 1 + i = 1 + i z = (cos10º + i sen 10º) = 1 i = i w = (cos00º + i sen 00º) = 1 i = 1 i 5. V-F-F-V-V 6. a) (x ) + (x + )i b) x 6 7. E