PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE. VESTIBULAR a Fase. RESOLUÇÃO: Profa. Maria Antônia Gouveia.

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1 PROVA DE MATEMÁTICA DA UFPE VESTIBULAR 0 a Fase Profa. Maria Antônia Gouveia. 0. A ilustração a seguir é de um cubo com aresta medindo 6cm. A, B, C e D são os vértices indicados do cubo, E é o centro da face contendo C e D, e F é o pé da perpendicular a BD traçada a partir de E. Com base nas informações acima, analise as proposições a seguir. 0-0) A distância entre A e B mede 6 cm. -) A distância entre B e D mede 6 cm. -) Os triângulos CDB e FDE são semelhantes. -) O seno do ângulo FDE é /. 4-4) A distância entre E e F mede 6 cm. 0-0) VERDADEIRA. No triângulo retângulo ABG tem-se: g = g = 7 6 -) VERDADEIRA. No triângulo retângulo ABD tem-se: a = d = 08 6.

2 -) VERDADEIRA. O ângulo agudo α é ângulo dos dois triângulos retângulos CDB e FDE, logo eles são semelhantes. -) VERDADEIRA. sen(f Dˆ E) ) FALSA. Sendo semelhantes os triângulos CDB e FDE, tem-se: DE DB 6 d 6. EF BC d 6 0. Sobre o sistema de equações lineares apresentado abaixo, analise as proposições a seguir, sendo um parâmetro real. x y z x ay z x y z 0-0) Se a =, então o sistema admite infinitas soluções. -) O sistema sempre admite solução. -) Quando o sistema admite solução, temos que x =. -) Se a, então o sistema admite uma única solução. 4-4) Se a =, então o sistema admite a solução (,, ). 0-0) FALSA. a 0 a 4 a 0 a 0 Logo, para o sistema possuir infinitas soluções, deve-se ter x y z 0. x 0 (duas colunas iguais). y 8 6 y y 0 (não 0 existe) (Para a =, o sistema não tem solução, ou seja, é impossível). -) FALSA O sistema somente admite solução para a. -) VERDADEIRA. Quando o sistema admite solução, temos que x =. O sistema admite solução para a. x y z x y z x ay z x ay z x y z x y z y z ay z 0 L L x

3 (a )y z y z a a S,,. ay z 0 y,a a a a a a z a a -) VERDADEIRA. a Se a, então o sistema admite uma única solução que é S,,. a a 4-4) VERDADEIRA. Substituindo, na solução acima, a por, tem-se S,,. 0. Considere a função f : x R;x esboçada abaixo. R, dada por 5x f(x), que tem parte do seu gráfico x Analise as proposições a seguir, referentes a f. 0-0) A imagem de f é o conjunto dos reais diferentes de. -) f admite inversa. y -) Se y é um número real diferente de, então f y y 5. -) O gráfico de f intercepta o eixo das abscissas no ponto com coordenadas, ) Se x é real e x >, então f(x) > ) FALSA. 5x f(x) x f x (x) a imagem de f é o conjunto dos reais diferentes de 5. x 5 -) FALSA. 5x Se f : x R;x R, dada por f(x) e o seu conjunto imagem é x x R;x 5 R (contradomínio de f, então f não admite inversa. ) -) VERDADEIRA. y 5 y 5 y 0y 5 y 5 y f y y 5. y y y 0 y 5

4 -) VERDADEIRA. 5 5 f ) VERDADEIRA. Se x é real e x > 0, então f(x) > 5. 5x 5x 5x x x 0 como x 0, x 0 x 04. Para cada número real a, analise as proposições a seguir, referentes à representação geométrica da equação x + ay + x ay = 0 em um sistema de coordenadas cartesianas xoy. 0-0) Se a =, a equação representa uma circunferência. -) Se a = 0, a equação representa uma reta. -) Se a =, a equação representa uma hipérbole. -) Se a =, a equação representa uma elipse. 4-4) Se a =, a equação representa a união de duas retas. 0-0) VERDADEIRA. Se a =, a equação x + ay + x ay = 0 assume a seguinte forma x + y + x y = 0 (x + ) + (y ) = 0 (x + ) + (y ) = que é a equação de uma circunferência de centro (, ) e raio. -) FALSA. Se a = 0, a equação x + ay + x ay = 0 assume a seguinte forma x + x = 0 que é equação de uma parábola. -) FALSA. Se a =, a equação x + ay + x ay = 0 assume a seguinte forma x + y + x 6y = 0 x x x x (x ) y y 0 y y 0 y 0 (x ) 4 (x ) y y (Equação de uma elipse). 4 4/ -) FALSA. Se a =, a equação x + ay + x ay = 0 assume a seguinte forma: x y + x + 4y = 0 x x x (x ) y x y 0 y y 0 y 0 (x ) y 0 y y / (x ) (x ) é equação de uma hipérbole. y / (x ) 4

5 4-4) VERDADEIRA. Se a =, a equação x + ay + x ay = 0 assume a seguinte forma: x y + x + y = 0 x + x (y y) = 0 (x + ) [(y ) ] = 0 (x + ) (y ) + = 0 (y ) = (x + ) (y ) = (x + ) y = (x + ) ou y = (x + ) y = x ou y = x A seguir, estão ilustradas partes dos gráficos das parábolas A e B, com equações respectivas y = x + 8x e y = x 4x. Analise as proposições abaixo, acerca dessa configuração. 0-0) Um dos pontos de interseção das parábolas A e B tem coordenadas(, 6). -) O vértice da parábola A é o ponto (4, ). -) A reta que passa pelos pontos de interseção das parábolas A e B tem equação y = x 6. -) A distância entre os vértices das parábolas A e B é ) A parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, ). 0-0) VERDADEIRA. Para determinar os pontos de interseção das parábolas A e B resolve-se o sistema: y x 8x x 4x x 8x x 6x 5 0 S {(, 6);(5, y x 4x x x 0 0 x ou x 5 -) FALSA. Vértice da parábola A: y = x + 8x. 8 x v(a) 4 e y v(a) 6 V A = (4, ). -) FALSA. A reta que passa pelos pontos (, 6) e (5, ) tem equação: y + 6 = a(x ); )}. Substituindo x e y pelos valores das coordenadas (5, ) determina-se o valor de a: 8 = 4a a =, logo y = x é a equação da reta procurada. -) FALSA. A distância entre os vértices das parábolas A e B é 0. Vértice da parábola B: y = x 4x 4 x v(b) e y v(b) V B = (, 7). Sendo V A = (4, ) e V B = (, 7), a distância entre esses pontos é: d (4 ) ( 7) ) VERDADEIRA. Na equação y = x 4x, fazendo x = 0: y =0 0 =, logo a parábola B intercepta o eixo das ordenadas no ponto com coordenadas (0, ). 5

6 06. Uma compra em uma loja da Internet custa 50 libras esterlinas, incluindo os custos de envio. Para o pagamento no Brasil, o valor deve ser inicialmente convertido em dólares e, em seguida, o valor em dólares é convertido para reais. Além disso, paga-se 60% de imposto de importação à Receita Federal e 6,8% de IOF para pagamento no cartão de crédito. Se uma libra esterlina custa,6 dólares e um dólar custa reais, calcule o valor a ser pago, em reais, e indique a soma de seus dígitos. Se uma libra esterlina custa,6 dólares, 50 libras esterlinas custam (50,6) = 000 dólares. Se um dólar custa reais, 000 dólares custam 4000 reais, que é o valor da compra em reais. O valor a ser pago, em reais, pela compra acrescida do imposto de importação à Receita Federal é: 4000,6 = Com o pagamento do IOF, o valor a ser pago passa a ser: 6400,068 = 6808,. RESPOSTA: O valor a ser pago é R$6.808, e a soma dos dígitos deste número é A, B e C são sócios de uma pequena empresa. Quando os três trabalham o mesmo número de horas em um projeto, o pagamento recebido pelo projeto é dividido da seguinte maneira: A recebe 45% do total, B recebe 0% e C recebe os 5% restantes. Em determinado projeto, A trabalhou 5 horas, B trabalhou 0 horas e C trabalhou 5 horas. Se o pagamento foi de R$.900,00, quanto caberá a C, em reais? Indique a soma dos dígitos do valor recebido por C. O valor R$.900,00 deve ser repartido ao mesmo tempo em partes diretamente proporcionais a 0,45; 0,0 e 0,5 e a 5h, 0h e 5h. A B C ,455 0,0 0 0,5 5 9 A 6,75 00; B 00 e 6 C 6,5 00 A 675; B 600 e C 65 RESPOSTA: A C cabe R$65,00 e a soma dos dígitos é. 08. Um cilindro reto de ferro é derretido, e o ferro obtido, que tem o mesmo volume do cilindro, é moldado em esferas com raio igual à metade do raio da base do cilindro. Se a altura do cilindro é quatro vezes o diâmetro de sua base, quantas são as esferas obtidas? Volume do cilindro: R h R (8R) 8 R. R 4 4 r R Volume de uma esfera:. 6 8 R 6 Número de esferas que serão moldadas: 8 R 48 R R 6 RESPOSTA: 48. 6

7 09. Determine o polinômio com coeficientes reais p(x) = ax + bx + cx, tal que p(x + ) p(x) = 6x e indique a + b + c. p(x + ) p(x) = a(x + ) + b(x + ) + c(x + ) (ax + bx + cx) = ax + ax + ax + a + bx + bx + b + + cx +c ax bx cx = (a + b b)x + (a + b + c c)x + a + b + c ax + (a + b)x + a + b + c = 6x a 6 a a a b 0 6 b 0 b a a b c 0 a b c 0 c b c RESPOSTA: Uma expedição tinha alimento suficiente para 0 dias. Passados 0 dias do seu início, outras 8 pessoas se juntaram às primeiras e o alimento durou mais 6 dias. Quantas eram as pessoas no início da expedição? Considere-se como x o número de pessoas da expedição e que cada uma consome por dia uma quantidade y de alimentação. Nos 0 primeiros dias foi consumida uma quantidade de alimentos igual a 0xy. Como passados 0 dias do início da expedição, mais 8 pessoas se juntaram às primeiras, o consumo de alimentos por dia passou a ser (8 + x)y. Nos 6 dias se consumiu uma quantidade igual a 6(8 + x)y. A quantidade total de alimentos no início da expedição era 0xy. Logo, 0xy +6(8 + x)y = 0xy 0x + 6(8 + x) = 0x 0x = x 4x = 88 x =7. RESPOSTA: 7.. Um capital é aplicado a uma taxa anual de juros compostos e rende um montante de R$ 5.00,00 em anos, e um montante de R$ 7.490,00 em 4 anos. Indique o valor inteiro mais próximo da taxa percentual e anual de juros. C i C i RESPOSTA: i i 50 9 i 50 i 0,5065 L : L i 0,5 5%. Encontre o menor inteiro positivo tal que a potência i n seja um número real. Representando o número z = O módulo de z é: z O argumento de z é θ e cos i. 6 7

8 Representando z na forma polar: z cos isen 6 6 z n = i n n n n = cos isen 6 6 n n n n n cos isen será um número real se sen 0 k n n Para determinar o menor inteiro positivo faça-se k = : n RESPOSTA: 6.. Seja uma função que tem como domínio o conjunto dos números reais e é dada por f x a.sen(.x, com a, e b constantes reais. A figura abaixo ilustra o gráfico de f, restrito ao b) intervalo fechado 5, 6 6. A função f tem período π e seu conjunto imagem é o intervalo fechado 5, 5. Determine as constantes a e e o menor valor positivo de b. Indique a + + b/π. Como a função f tem período π, f x a.sen(x b). f a.sen b a.sen b 0 b b. f x a.sen x. Como os valores de sen x pertencem ao intervalo [, ] e o conjunto imagem o intervalo [ 5, 5] sendo f x a.sen x 5, então a = 5. Logo f x 5.sen x a + + b/π = RESPOSTA: a = 5; = ; o menor valor de b é π ; e a + + b/π = 6. 8

9 a b 4. Seja c d a inversa da matriz 4. Indique a + b + c + d. 4 Considerando A =, tem-se A 4 deta 4 4 a b A a b c d 9 c d RESPOSTA: Um jornal inclui em sua edição de domingo um CD de brinde. O CD pode ser de rock ou de música sertaneja, mas, como está em uma embalagem não identificada, o comprador do jornal não sabe qual o gênero musical do CD, antes de adquirir o jornal. 40% dos jornais circulam com o CD de rock e 60% com o CD de música sertaneja. A probabilidade de um leitor do jornal gostar de rock é de 45%, e de gostar de música sertaneja é de 80%. Se um comprador do jornal é escolhido ao acaso, qual a probabilidade percentual de ele gostar do CD encartado em seu jornal? A probabilidade de um leitor do jornal gostar do CD de rock é de 0,400,45 0, 8 e a probabilidade de gostar do CD de música sertaneja é de 0,80 0,60 0, 48. A probabilidade pedida é 0,8 + 0,48 = 0,66. RESPOSTA: 66%. 6. Uma circunferência tem centro no primeiro quadrante, passa pelos pontos com coordenadas (0, 0) e (4, 0) e é tangente, internamente, à circunferência com equação x + y = 64. Abaixo, estão ilustradas as duas circunferências. Indique o inteiro mais próximo da soma das coordenadas do ponto de interseção das duas circunferência 9

10 A circunferência de equação x + y = 64 tem centro no ponto (0, 0) e raio 8. A circunferência interna passa pelos pontos (0, 0) e (4, 0), tem diâmetro AB = 8 e o seu centro num ponto de abscissa. A sua equação pode ser representada como (x ) + (y n) = 6. Nesta equação substituindo x e y pelas coordenadas de (0, 0): 4 + n = 6, donde n =. Então a equação da circunferência interna é: x y 6 x Resolvendo o sistema x y y 6 x y 4x 4 y 0 4x 64 4 y 64 x y 64 x y 64 y 8 y 48 0 x 6 y 6 y y 64 y 4 x x y 64 4y y 9 0 y x y 4 B = (4, 4 ) S = 4 + 6,8 =0,8 RESPOSTA:. 0