FUVEST a Fase Matemática RESOLUÇÃO: Professora Maria Antônia Gouveia.

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Yan Cipriano Gonçalves
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1 FUVEST 008 a Fase Matemática Professora Maria Antônia Gouveia..0. Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma segundafeira será a) 0 b) 04 c) 06 d) 08 e) 00 O ano não bissexto tem 6 dias, que correspondem a semanas mais dia. O ano bissexto tem 66 dias, que correspondem a semanas mais dias. RESPOSTA: d Resolução Ano o de janeiro 007 Segunda feira + semanas mais dia 008 (múltiplo de 4) Terça-feira + semanas mais dias 009 Quinta-feira + semanas mais dia 00 Sexta-feira + semanas mais dia 0 Sábado + semanas mais dia 0 (múltiplo de 4) Domingo + semanas mais dias 0 Terça-feira + semanas mais dia 04 Quarta-feira + semanas mais dia 0 Quinta-feira + semanas mais dia 06 (múltiplo de 4) Sexta-feira + semanas mais dias 07 Domingo + semanas mais dia 08 Segunda-feira.. No próximo dia 08/, Maria, que vive em Portugal, terá um saldo de.00 euros em sua conta corrente, e uma prestação a pagar no valor de.00 euros, com vencimento nesse dia. O salário dela é suficiente para saldar tal prestação, mas será depositado nessa conta corrente apenas no dia 0/. Maria está considerando duas opções para pagar a prestação:. Pagar no dia 8. Nesse caso, o banco cobrará juros de % ao dia sobre o saldo negativo diário em sua conta corrente, por dois dias;. Pagar no dia 0. Nesse caso, ela deverá pagar uma multa de % sobre o valor total da prestação. Suponha que não haja outras movimentações em sua conta corrente. Se Maria escolher a opção, ela terá, em relação à opção, a) desvantagem de,0 euros. d) vantagem de, euros. b) vantagem de,0 euros. e) vantagem de 0,48 euros. c) desvantagem de, euros.

Sabendo que os anos bissextos são os múltiplos de 4 e que o primeiro dia de 007 foi segunda-feira, o próximo ano a começar também em uma segundafeira será a) 0 b) 04 c) 06 d) 08 e) 00 O ano não

2 OPÇÃO. Tendo no dia 08/ um saldo de.00 euros e se optar por pagar nesse dia os.00 euros, o seu saldo negativo será de (.00.00) =.00 euros. No dia 0/ ao entrar o seu salário, o banco cobrará, por dois dias, sobre o saldo devedor de 00 euros, juros de % ao dia, o que elevará o valor a ser pago para:.00,0 = 48,48. Total pago por Maria: ( ,48) =.48,48. OPÇÃO. Se Maria fizer o pagamento no dia 0, estará fazendo com um atraso de dois dias e pagando uma multa de % sobre o valor total da prestação:.00,0 =.70. Na opção dois pagará.70,00.48,48 =, a mais que na opção um Desvantagem de, euros. RESPOSTA: c.. Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo, a uma certa distância da torre, e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de α = π radianos. A seguir, o aparelho foi deslocado 4 metros em direção à torre e o ângulo então obtido foi de β radianos, com tg β = É correto afirmar que a altura da torre, em metros, é: a) 4 b) c) 6 d) 7 e) 8

3 No triângulo BCD: h tgβ = = x h = x (I). No triângulo ACD: h tgα = = x + 4 h = x + 4 (II). De (I) e (II): x + 4 = x x = 4 x = h = x = 6 RESPOSTA: c 4.. Sabe-se sobre a progressão geométrica a, a, a,... que a > 0 e a 6 = 9. Além disso, a progressão geométrica a, a, a 9,... tem razão igual a 9. Nessas condições, o produto a. a 7 vale a) 7 b) c) d) e) 7 i. Na progressão geométrica a, a, a,..., se a > 0, o termo a 6 = 9 (dado da questão), então a razão q < 0. ii. Representando os termos desta progressão em função de a e de q, temos: a, a q, a q, a q, a q 4, a q, a q 6, a q 7, a q 8,..., onde a 6 = a q = 9 (dado da questão). iii. Considerando que a progressão geométrica a, a, a 9,..., ou seja a, a q 4, a q 8,... tem razão igual a 9 (dado da questão), temos: 4 4 q = 9 q = 9 =, pois como está concluído no item i., acima, q < 0. iiii. Sendo a q = 9 (conclusão do item ii) e q = a 9 ( ) = 9 a ( ) = 9 a = = 9 Logo o produto pedido: a. a 7 = a q a q 6 = a q +6 =. ( ) 7 RESPOSTA: a = ( 7 ).

.., se a > 0, o termo a 6 = 9 (dado da questão), então a razão q < 0. ii. Representando os termos desta progressão em função de a e de q, temos: a, a q, a q, a q, a q 4, a q, a q 6, a q 7, a q 8,.

4 log x log(y ) =.4. Os números reais x e y são soluções do sistema log (x + 4) log y = Então ( y x) 7 vale a) -7 b) - c) 0 d) e) 7 x > 0 e x > - 4 x > 0 Domínio de validade: y > e y > 0 y > x x log = log = log = x log(y ) y y x = y log(x + 4) logy = ( x + 4) ( x + 4) ( x + 4) = 6y log = log6 = 6 y y x + = ( x + 4) y = 6 x ( x + 4) x + = 6 + 8x + 6 = 8(x 7x 8x = 0 x = 0 ou x = + ) y 8 49 Logo, 7 ( y x) = 7 = 7 = RESPOSTA: e como e y = x > x = y = = A soma dos valores de m para os quais x = é raiz da equação x + (+ m m )x + (m + ) = 0 é igual a 8 49 a) b) c) 0 d) e) Sendo x = raiz da equação x + (+ m m )x + (m + ) = 0, substituindo, nesta equação, x por : + (+ m m ) + (m + ) = 0 m m = 0 (como a soma das raízes de uma equação do o b grau é, sendo b e a, a respectivamente, os coeficientes de m e m ), temos: m + m =. RESPOSTA: a

5 7.6. No retângulo ABCD da figura tem-se CD = l e AD = l. Além disso, o ponto E pertence à diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF mede l l l l e) l a) 8 b) 4 c) d) 4 Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo BAD: BD = l + 4l = l Como os triângulos BEF e BAD são BF S BF semelhantes: = = BD S l Temos: BF = l BF = l. RESPOSTA: e 8.7. O triângulo ACD é isósceles de base CD e o segmento OA é perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD, conforme a figura: Sabendo-se que OA =, AC = e sen ( O ĈD) =, então a área do triângulo OCD vale a) 6 9 b) 9 c) 48 9 d) 64 9 e) 80 9

BD = l + 4l = l Como os triângulos BEF e BAD são BF S BF semelhantes: = = BD S l Temos: BF = l BF = l. RESPOSTA: e 8.7.

6 Sendo o segmento OA perpendicular ao plano que contém o triângulo OCD, então os triângulos AOC e AOD são retângulos. Como OA =, AC =, temos que OC = OD = 4. O triângulo OCD é isósceles. Se sen ( O ĈD) = (dado da questão), aplicando a relação fundamental: cos α + sen α =, temos: O = = que no triângulo retângulo 9 cos ( ĈD) x 8 6 COM : = x = CD = x = 4 6 S OCD = OC CD sen(oĉd) = 4 = 9 RESPOSTA: b 9.8. Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso,. a família Sousa quer ocupar um mesmo banco;. Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado. Nessas condições, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a a) 98 b) c) 88 d) 4 e) 46 O BANCO A Souza B Souza C Souza O BANCO Lúcia Mauro D O BANCO E F G A família Souza tem opções de bancos para sentar e em cada banco poderão sentar de! = 6 maneiras distintas; poderão então sentar de 6 = 8 modos diferentes. A família Sousa estando acomodada, para o casal Lúcia e Mauro, restam duas opções de bancos para se sentarem e em cada banco poderão fazê-lo de! = 4 modos diferentes. Para o casal Lúcia e Mauro existem então = 8 maneiras distintas de se acomodarem.

RESPOSTA: b 9.8. Uma lotação possui três bancos para passageiros, cada um com três lugares, e deve transportar os três membros da família Sousa, o casal Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas.

7 Acomodadas as cinco pessoas acima, para as quatro restantes somente existem 4! = 4 maneiras de se acomodarem. Desta forma, o número de maneiras distintas de dispor os nove passageiros no lotação é igual a =.46. RESPOSTA: e A circunferência dada pela equação x + y - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura. O segmento MN é paralelo ao segmento AB e contém o centro C da circunferência. É correto afirmar que a área da região hachurada vale a) π b) π + c) π + 4 d) π + 6 e) π + 8 Sendo a circunferência dada pela equação x + y - 4x - 4y + 4 = 0 tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, então OA = OB. Podemos escrever a equação x + y - 4x - 4y + 4 = 0, do seguinte modo: (x ) + (y ) = 0 (x ) + (y ) = 4 que o centro da circunferência é o ponto C (, ) e o raio é. O retângulo OABC é um quadrado de lado, então o arco AB mede 90 o. A área da parte hachurada é igual a área da semicircunferência menos a área do segmento de circunferência determinado pelo arco AB: πr πr BC. CA S = = ( ) = + 4 π π π RESPOSTA: b.

A circunferência dada pela equação x + y - 4x - 4y + 4 = 0 é tangente aos eixos coordenados x e y nos pontos A e B, conforme a figura.

8 QUESTÃO DA PROVA DE FÍSICA QUE PODE SER RESOLVIDA COM CONHECIMENTO MATEMÁTICO. QUESTÃO 0: Dirigindo-se a uma cidade próxima, por uma auto-estrada plana, um motorista estima seu tempo de viagem, considerando que consiga manter uma velocidade média de 90km/h. Ao ser surpreendido pela chuva, decide reduzir sua velocidade média para 60km/h, permanecendo assim até a chuva parar, quinze minutos mais tarde, quando retoma sua velocidade média inicial. Essa redução temporária aumenta seu tempo de viagem, com relação à estimativa inicial, em a) minutos. b) 7, minutos. c) 0 minutos. d) minutos. e) 0 minutos. A previsão do motorista era a de percorrer a distância d em t horas a uma velocidade de 90km/h. Com o imprevisto da chuva levou minutos, ou seja /4 da hora, para percorrer uma distância x km com velocidade de 60km/h. x Temos então: = 60 x = min 4 Percorreu durante o tempo que durou a chuva a distância de km. Se o motorista tivesse percorrido essa distância a uma velocidade de 90km/h, como havia planejado: = 90 90t = t = = h = 0min. t 90 6 RESPOSTA; O tempo de viagem foi aumentado em min.

Ao ser surpreendido pela chuva, decide reduzir sua velocidade média para 60km/h, permanecendo assim até a chuva parar, quinze minutos mais tarde, quando retoma sua velocidade média inicial.

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