UFPR_VESTIBULAR _2004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA

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1 UFR_VESTIBULAR _004 COMENTÁRIO E RESOLUÇÃO OR ROFA. MARIA ANTONIA GOUVEIA QUESTÃO Um grupo de estudantes decidiu viajar de ônibus para participar de um encontro nacional. Ao fazerem uma pesquisa de preços, os estudantes receberam de uma empresa a seguinte proposta, na qual o preço de cada passagem depende do total de passageiros: cada passageiro pagará R$ 90,00 mais o valor de R$ 5,00 por lugar que eventualmente ficar vago no ônibus. Sabendo que o ônibus tem 5 lugares, é correto afirmar: a) Se viajarem 30 passageiros, cada um deles pagará R$ 0,00. b) Se o total de passageiros for x, o preço (em reais) de cada passagem será calculado pela expressão 90 5(5 x). c) Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber um total de R$ 6.000,00, referente ao pagamento das passagens. d) Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber, referente ao pagamento das passagens, é calculado pela expressão 300x 5x. e) O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das passagens ocorrerá quando o total de passageiros for igual a 35. Considerando que o número de passageiros é x, o número de lugares vagos é 5-x o que implica que cada passageiro pagará [905(5-x)] reais. a) FALSO Se viajarem 30 passageiros, cada um pagará em reais: 90 5(5-30) = 90 5 = 90 0= 00. b) VERDADEIRO c) VERDADEIRO Se viajarem 40 pessoas, a empresa deverá receber, em reais, um total de 40 [90 5(5-40)] = 40 (90 60) = d) FALSO. Se viajarem x pessoas, o valor total (em reais) que a empresa deverá receber: x[905(5-x)] = 90x60x-5x = 350x-5x. e) VERDADEIRO O valor total máximo que a empresa poderá receber pelo pagamento das - b 350 passagens ocorrerá quando o total de passageiros for: x = = = 35. a 0

2 QUESTÃO O mapa ao lado representa as regiões em que está dividido o Brasil. Cada região do mapa deve ser colorida de modo que regiões com uma fronteira comum tenham cores distintas (por exemplo, as regiões Sul e Sudeste devem ter cores diferentes, enquanto as regiões Sul e Nordeste podem ter a mesma cor). Tendo como base essa condição, é correto afirmar: a) Três cores diferentes são suficientes para colorir o mapa. b) Estando disponíveis cinco cores, existem modos diferentes de colorir o mapa se, em cada um desses modos, forem aplicadas as 5 cores. c) Estando disponíveis cinco cores, e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul com a mesma cor, existem somente modos diferentes de colorir o mapa. d) Estando disponíveis cinco cores, e colorindo-se as regiões Nordeste e Sul com a mesma cor, assim como as regiões Norte e Sudeste, existem modos diferentes de colorir o mapa. a) VERDADEIRO Como a Região Nordeste faz fronteira com as regiões Sudeste, Centro- Oeste e Norte, mas a Região Norte não faz fronteira com a Sudeste, podemos pintar estas duas últimas da mesma cor. Então teremos 3 cores diferentes para pintar essas quatro regiões. A Região Sul poderá ser pintada com a cor da Região Nordeste ou com a cor da Região Norte. b) VERDADEIRO. Vamos supor que eu disponha das seguintes cores: NORTE NORDESTE CENTRO-OESTE SUDESTE SUL intando em primeiro lugar a região Norte disponho de 5 cores para a minha opção. Escolhida a azul, por exemplo, para a região Nordeste restam 4 cores.escolhida a amarela, restam 3 cores para a Centro- Oeste. Escolhida a verde, para a região Sudeste restam as cores: azul ou rosa, cores. Escolhida a laranja, por exemplo, para a Região Sul resta cores: a rosa, a amarela ou a azul. Logo, um total de =0 possib ilidades. c) FALSO. NORTE NORDESTE CENTRO-OESTE SUDESTE SUL intando em primeiro lugar a região Norte disponho de 5 cores para a minha opção. Escolhida a azul, por exemplo, para as regiões Nordeste

3 e Sul restam 4 cores.escolhida a amarela, restam para a Centro-Oeste 3 cores ( verde, laranja ou magenta). Escolhida a verde, restam para a região Sudeste 3 cores (a azul, a laranja ou a magenta). Logo são = 80 possibilidades. d) VERDADEIRO NORTE NORDESTE CENTRO-OESTE SUDESTE SUL Questão 3 intando em primeiro lugar as regiões Norte e Sudeste disponho de 5 cores para a minha opção. Escolhida a azul, por exemplo, para as regiões Nordeste e Sul restam 4 cores.escolhida a amarela, restam 3 cores para a Centro-Oeste ( verde, laranja ou magenta). b Então são = 60. A respeito do sistema de equações correto afirmar: x 3y 4z = 0 3x y = a 4x bz = 0 onde a e b são números reais, é a) Se a = 0, existe algum valor de b para o qual o sistema é impossível. b) Se o valor de b for tal que o determinante da matriz não seja nulo, o sistema terá uma única solução, qualquer que seja o valor de a. c) Se a = e b =, o sistema tem mais de uma solução. d) Se a = b = 0, o sistema possui somente a solução nula. a) FALSO Se a = 0 o sistema é homogêneo e sempre admite a solução (0,0,0). b) VERDADEIRO. O sistema será possível e determinado. c) FALSO. ara que o sistema tenha mais de uma solução é preciso que = 0 b 6-9b = 0 8b = 6 b = e 4 0 b a = 0 a = 0 a = 0 e não a = d) VERDADEIRO. Se a = 0, o sistema terá sempre a solução nula independente do valor de b, pois o sistema será homogêneo.

4 Questão 4 O nível sonoro de um som de intensidade I, medido em decibéis, é calculado pela fórmula 0 log, onde log representa logaritmo na base 0, e I 0 é um valor de referência que corresponde aproximadamente à menor intensidade de som audível ao ouvido humano. Com base nessas informações, é correto afirmar: a) Se um som tem intensidade I 0, então o seu nível sonoro é igual a zero. b) Um som de decibel tem intensidade igual a 0 I 0. c) Um som de 40 decibéis tem intensidade igual a 0000 I 0. d) Se um som tem nível sonoro de 0 decibéis, então outro som que é dez vezes mais intenso que aquele tem nível sonoro igual a 00 decibéis. e) Se três sons têm níveis sonoros de 50, 60 e 70 decibéis, e suas intensidades são, respectivamente, I, I, e I 3, então esses números formam, nessa ordem, uma progressão geométrica. a) VERDADEIRO I 0 N s = 0 log = 0 log = 0 I 0 b) FALSO. I = 0 log I 0 I log I 0 = I = 0 0 I = 0 0 I 0 I 0 0 I 40 = 0 log I 0 I 4 = log I 0 I I 0 = 0 4 I = 0000 I 0 d) FALSO. I I 0 = 0 log = log I 0 I 0 00 I 0 0 log = 0 log00 = 00. I0 I I 0 = 0 I = 0 I 0 N s = e) VERDADEIRO. I I I 50 = 0 log 5 = log I 0 I = 0 5 I = 0 5 I 0 0 I 0 I I I 60 = 0 log 6 = log I 0 I = 0 6 I = 0 6 I 0 0 I 0 I I I 70 = 0 log 7 = log I 0 I = 0 7 I 3 = 0 7 I 0. 0 I 0 Logo I, I e I 3 formam uma G de razão 0.

5 Questão 5 Em um triângulo ABE, a medida do lado é 3, a do ângulo E é 75º, e a do ângulo A é 45º. Dois pontos, C e D, pertencem ao lado. Sabe-se que a distância AC é e que o segmento ED é perpendicular a. Nessas condições, é correto afirmar: a) A medida do ângulo B é igual a 60º. b) AD > ED c) EB = 6 d) EC = 5 % ƒ ' ƒ ƒ ( $ a) VERDADEIRO.  Bˆ Ĉ = 80 Bˆ = 80 Bˆ = 60 b) FALSO. Como ED AB e  = 45, o triângulo ADE é retângulo isósceles e ED = AD. ED² = 9 ED = ED AB = sen60 AB 9 3 =. 3 = 3 3 AB = 3 = 6 d) VERDADEIRO. Aplicando a lei dos cossenos no triângulo ACE: Questão 6 EC = 3 3 EC = - 6 EC = 5. A obtenção de lâminas de madeira para a fabricação de compensados consiste em se colocar uma tora em um torno e cortá-la, ao mesmo tempo em que é girada, com Tora Faca Lâmina de madeira

6 uma faca disposta paralelamente ao eixo da tora. O miolo da tora não é utilizável para a produção de lâminas. Uma tora em forma de cilindro circular reto de 40 cm de diâmetro e m de comprimento será utilizada para obter lâminas de 0, cm de espessura e m de largura. Considere que: a parte utilizada da tora seja transformada em lâmina, sem perda de madeira; o miolo não utilizado da tora seja um cilindro circular reto com 0 cm de diâmetro; a lâmina obtida, quando estendida sobre uma superfície plana, seja um paralelepípedo retângulo de 0, cm de altura. Nessas condições, é correto afirmar: a) O volume da tora é 0,08Œ b) O volume da lâmina obtida é 0,075Œ c) Quando se tiver utilizado 0,0 m3 da tora, o comprimento da lâmina obtida será 0 m. d) De uma lâmina de 5 m de comprimento poderão ser recortadas 6 chapas retangulares de base 30 cm, altura m e espessura 0, cm. e) Durante o processo de obtenção da lâmina, a cada giro completo da tora corresponde um comprimento de lâmina, em centímetros, e a seqüência desses comprimentos é uma progressão aritmética de razão íœ a) VERDADEIRO. Como a tora tem a forma de um cilindro circular, então V = π (0,)² m³ = 0,08π m³. b) VERDADEIRO. 0,08π m³.- 0,05²π m³ = 0,08 π m³ - 0,005π m³ = 0,075π m³. 0,0 0.0,00x =0,0 x = = = 0 m 0,00 [ d) VERDADEIRO. (5 0,00 ) ( 0,3 0,00 ) = 5 0,3 = 6,666...placas e) FALSO. A cada giro completo o raio diminui de 0,cm, então o diâmetro diminui de 0,cm. O comprimento de um giro completo é C = rπ = dπ. Os comprimentos dos giros serão sucessivamente: 40πcm; (40-0,) πcm; (40-0,4) πcm;...(40-0) πcm, portanto uma.a. de razão 0,πcm.

7 Questão 7 A figura ao lado representa um paralelepípedo de dimensões cm, cm e cm. A respeito desse paralelepípedo, é correto afirmar: F E D G H C A B a) A área do triângulo de vértices A, F e C é cm. b) O número de caminhos com distância 4 cm entre os vértices B e E é. c) A menor distância entre os vértices A e H écm. d) O volume da pirâmide de vértices A, B, C, D e E é igual a cm 3. e) O perímetro do retângulo de vértices A,C, F e H é igual a cm. a) VERDADEIRO. No triângulo retângulo ABC: AC² = AC = 5. 5 A área do triângulo retângulo AFC é, em cm²: = 5 ) & $ % b) FALSO. Temos opções de percursos a tomar: L, L, L 3, L 4, H, H, H 3, H 4, C, C, C 3 e C 4. Qualquer caminho ligando A a E, na condição exigida de medir, 4cm é composto de uma largura (L), um comprimento (C) e de uma altura (H). ara sair de B só temos 3 opções : C ; H ou L. O total de caminhos será então: 3 =6 C H L 4 ; C L 4 H 4 ; H C L 3 ; H L C 3 ; L H 3 C 3 ; L C 4 H 4 ( & / & / & / / % O menor caminho entre dois pontos é a medida do segmento de reta que determinam, no caso a medida da diagonal do paralelepípedo: AH = FC = AC = 5 = 6. d) FALSO. O volume da pirâmide ABCDE é, em cm³: 3 3 ( ' & $ %

8 e) FALSO. O perímetro do retângulo ACHF é: ( 5 ) cm ) & $ Questão 8 Sobre o polinômio p(x) = x 4 5x 3 0x 5x d, onde d é número real, é correto afirmar: a) Se d = 6, então p(x) é o desenvolvimento de (x )4. b) Se 4 e 3 i forem raízes de p(x), então 5 também é raiz de p(x). c) Se d = 0, então zero é uma raiz de p(x). d) Se for raiz de p(x), então d = 5. e) Se d =, então p(x) é divisível por x. a) FALSO. (x-) 4 = x 4-4.x³.6.x².²-4.x.³ 4 (x-) 4 = x 4-8x³ 4x² - 3x 6, então (x-) 4 x 4 5x 3 0x 5x 6 Triângulo de ascal b) ANULADA Se d = 0 (x) = x 4 5x 3 0x 5x (x) = x(x 3 5x 0x 5) x = 0 ou x 3 5x 0x 5=0 d) FALSO. Se for raiz de p(x), p() = 0 p() = -50-5d=0 d = - e) VERDADEIRO. Se p(x) é divisível por x, p(-) = 0 p(-) = 505d=0 d = -. Questão 9 Uma loja tem um lote de 0 aparelhos de rádio/cd e sabe-se que nesse lote existem aparelhos com defeito, perceptível somente após uso continuado. Um consumidor compra dois aparelhos do lote, escolhidos aleatoriamente. Então, é correto afirmar: a) A probabilidade de o consumidor comprar somente aparelhos sem defeito é.

9 b) A probabilidade de o consumidor comprar pelo menos um aparelho defeituoso é 0,70. c) A probabilidade de o consumidor comprar os dois aparelhos defeituosos é. d) A probabilidade de o primeiro aparelho escolhido ser defeituoso é 0,0. e) A probabilidade de o segundo aparelho escolhido ser defeituoso, sendo que o primeiro já está escolhido, é. a) VERDADEIRO. C p = = = C b) FALSO = = = 37,77% = d) VERDADEIRO. 8 8 = = e) FALSO. 9 9 Questão 0 = 3 Considere as seguintes informações: C é uma circunferência de raio igual a e centro na origem de um sistema de coordenadas cartesianas retangulares; um ponto estará no interior da circunferência C se a distância do ponto à origem do sistema for menor do que. Assim, é correto afirmar: a) A equação da circunferência C é x² y² = 0. E SRQWR 3FRV & VHQ & SHUWHQFH à circunferência C, qualquer que seja o número real & c) A reta y = x intercepta a circunferência C em dois pontos. d) A reta y = 0 é tangente à circunferência C. e) O ponto (, ) está no interior da circunferência C. f) O gráfico da função y = sen x intercepta o eixo x apenas uma vez no interior da circunferência C.

10 $ 3FRVωVHQω ω a) FALSO. (x-0)²(y-0)² = x² y² =. b) VERDADEIRO. (cos ω, sen ω) existe um número complexo Z de módulo ; Z = cos ω isen ω. x² (x)² = = x² x = 0 x²x =0 = a reta y = x é secante à circunferência x² y² =. d) VERDADEIRO. y = 0 y = - x² = x² = 0 = 0 a reta y = 0 é tangente à circunferência x² y² =. e) FALSO. O centro da circunferência é o ponto (0,0) cuja distância ao ponto (,) é: = > raio = O ponto (,) é exterior à circunferência. f) FALSO. - - Vemos que o gráfico de y = senx intercepta o eixo dos x no ponto (0,0) que é o centro da circunferência.