QUESTÕES de 01 a 08 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas.

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1 Resolução por Maria Antônia Conceição Gouveia da Prova de Matemática _ Vestibular 5 da Ufba _ 1ª fase QUESTÕES de 1 a 8 INSTRUÇÃO: Assinale as proposições verdadeiras, some os números a elas associados e marque o resultado na Folha de Respostas. Questão 1 Sobre números reais, é correto afirmar: (1) Se x e y são positivos, então x < y se e somente se x < y, x >1 e y > 1. () Se x e y são números racionais que representam, respectivamente, a medida do raio da base e a altura de um cilindro circular reto, expressos em u.c., então o volume do cilindro, expresso em u.v., é um número irracional. (4) Se x e y são inteiros positivos ímpares consecutivos e x y 195, então x e y são números primos. (8) Para cada n N, n + 5 é um número primo. (16) Se a >, então a equação x 4 a possui, no máximo, duas soluções reais distintas. Resolução: 1) Contra-exemplo x > y > x < y x y x > 1 y > 1 V V,4 < 4 (V), F V Afirmativa Falsa. ) Se x e y são números racionais que representam, respectivamente, a medida do raio da base e a altura de um cilindro circular reto, então x e y são números racionais positivos e o produto é um numero racional positivo. Logo x²yπ, volume do cilindro em questão, é um número irracional, pois representa o produto de um número racional não nulo por um número irracional. Afirmativa Verdadeira.

2 4) x.y ( x e y são números inteiros positivos e consecutivos), então x 5 e y 7, mas 5 não é número primo. Afirmativa Falsa. 8) n n n é um contra exemplo pois 15 não é um número primo. Afirmativa Falsa. 16) x 4 - a (x² + a )(x² - a) x ± - a ou x ± a. Sendo a >, então - a não é um número real. Logo a equação x 4 - a tem como raízes os números - - a, - a, - a e a dos quais apenas os dois últimos são reais. Afirmativa Verdadeira. Questão n + 8 Considerando-se a seqüência de números reais dada por ao 1 e an a n -1 Para n N*, é correto afirmar: (1) Todos os termos da seqüência são positivos. () Para qualquer n N, an é um número racional. (4) (a1, a, a,...) é uma progressão geométrica. (8) Para, n N *, an > an 1 se e somente se n > 8. (16) Existe n N *, tal que an n an 1. RESOLUÇÃO: 1) Verdadeiro pois para qualquer n N * n + 8 a é um número positivo. n-1 n + 8 ) Verdadeiro pois para n, a 1 e para n >, o número a terá sempre o n-1 denominador diferente de zero. 4) Falso. n + 8 a o 1 e a n a para n N *, n-1

3 a o 1; a ; a ; a ; ) n + 8 n + 8 n + 8 a n -1 > a n -1 > 1 > 17 ± ± 15 1 n² - +8 n n ou n n. Verdadeiroporque pelo estudo dos sinais de valores positivos para n N * e n > 8. 16) Falso. n + 8 vemos que assume n + 8 n + 8 a n -1 n.a n -1 n -15n + 8 n ± 15 ± 15 Questão Considere um empréstimo de um capital de R$, a uma taxa mensal de 1%. Nessas condições, é correto afirmar: (1) Se for considerada a capitalização simples, o montante F(n), expresso em reais, ao final de n meses, será dado por F(n) (1+1n). () Ao final de dois meses, o valor dos juros na capitalização composta será igual a R$4,.

4 (4) Na capitalização composta, o montante G, expresso em reais e dado em função do número n de meses, pode ser representado pelo gráfico ao lado. (8) Se for considerada a capitalização composta, a seqüência dos montantes mensais será uma progressão geométrica de razão 1,1. log (16) Se a capitalização for composta, o capital dobrará de valor ao final de meses. log1,1 Resolução: (1) Falso porque: F(n) +,1 n F(n) ( 1 +,1n) () Verdadeiro. j M C j (1,1)² 4 4. (4) Falso porque: para n 1 G. 1,1 1 (8) Verdadeiro:. 1,1;. 1,1²;. 1,1³ ;... (16) Verdadeiro log. 1,1 n 4 1,1 n log (1,1 n ) log n. log 1,1 log n log1,1 meses Questão 4 Considerando-se as funções f, g : R R, tais que f(x) x + x + 5 e g(x) px + q, sendo p R* e q R, é correto afirmar: (1) A função f é crescente no intervalo,. 6 () Existe p R tal que o gráfico da função h : R R, dada por h(x) f(x) + g(x), é simétrico em relação ao eixo das ordenadas, qualquer que seja q R.

5 (4) Se a composta f o g for uma função quadrática, seu gráfico terá concavidade voltada para cima. (8) Existe p R* tal que a função composta f o g é inversível. (16) G1 g, G g o g, G g o g o g,... são funções afins, cujos coeficientes angulares formam uma progressão geométrica de razão p, e o coeficiente linear da função n p -1 Gn é igual a q p -1 Resolução: (1) Verdadeiro f(x) é uma função do º grau com a > e x v intervalo,. 6 b a 6 f é crescente no () Verdadeiro. Sendo h(x) x + x px + q - x + ( +p)x q, para que seu gráfico seja simétrico em relação ao eixo das ordenadas é preciso que +p. p - (4) Falso. Sendo f o g - (px + q)² + (px + q) +5 px² + (-6pq+p )x q² + q+5, seu gráfico terá concavidade voltada para cima se p² > o que nunca acontecerá para qualquer valor real de p. (8) Falso. Para a função composta f o g p²x² + (-6pq+p )x q² + q+5 ser inversível, -p p. (16) Verdadeiro.

6 G1 px + q, G p(px + q ) + q p²x + q(p+1); G p[p²x + q(p+1)]+q p³x + q(p²+p+1);... são funções afins, cujos coeficientes angulares formam a PG: p, p², p³,...de razão p, n p -1 e cujo coeficiente linear são da forma q p -1 Questão 5 Considerando-se, no plano cartesiano com origem O, os pontos A(5,), B(5, C(, ), é correto afirmar: ) e (1) O coeficiente angular da reta que passa por A e C é igual a. () A área do quadrilátero OABC é igual a 6 u.a. (4) Existe uma única função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos O, B e C. (8) O segmento obtido a partir do segmento OC, aplicando-se a rotação de no sentido anti-horário em torno da origem, está contido no eixo das ordenadas. (16) Os triângulos OCD e ABC são semelhantes, sendo D o ponto de interseção do segmento BC com o eixo das ordenadas. Resolução: 1) Falso. O coeficiente angular da reta que passa por A(5,) e C(, + a ) é dado por )

7 As bases do trapézio OABC medem AO 5 e BC 5 (-) 7 e a altura ( ) área é S 1.. Logo sua 4) Verdadeiro. Determinação da função quadrática cujo gráfico passa pelos pontos O(,), B(5,Ÿ H &Ÿ } Ÿ 5a + 5b + c 4a b + c c 6 a 5a + 1b b a 1b 1 c 8) Verdadeiro. CD//OC' DĈO CÔC' (ângulos alternos internos formados por duas paralelas e uma transversal). tg(d ĈO) DĈO CÔC' 5 5 y 6 x x 16) Falso. Os dois triângulos são retângulos. No triângulo ODC a tangente do menor ângulo agudo ( CÔD ) é que é diferente da tangente do menor ângulo agudo ( A ĈD ) do triângulo CBA que é. Os triângulos não são 7 semelhantes.

8 Questão 6 Uma empresa fabrica apenas dois modelos de sapato, sendo um feminino e o outro masculino. Os modelos femininos são fabricados nos números 5, 6, 7 e 8, e cada par é vendido por R$8,. Os modelos masculinos são fabricados nos números 8, 9, 4 e 41, e o preço de venda de cada par é R$1,. Os gráficos abaixo mostram as quantidades (em milhares de pares) produzidas e vendidas por mês pela fábrica. Com base nessas informações, é correto afirmar: (1) O preço de venda médio dos sapatos é igual a R$88,. () O preço de venda mediano dos sapatos é igual a R$8,. (4) A receita obtida com a venda de sapatos masculinos representa menos que 8% da receita correspondente ao modelo feminino. (8) Se a venda do modelo feminino for reduzida em %, os dois modelos passarão a contribuir com o mesmo montante para a receita da empresa. (16) Escolhendo-se ao acaso um par de sapatos, entre todos os produzidos em um mês, 16 a probabilidade de que ele seja de número 8 ou do modelo feminino é igual a 5 () Escolhendo-se ao acaso um par de sapatos de número 8, a probabilidade de que ele seja do modelo masculino é igual a 1 1. RESOLUÇÃO: 1) Verdadeiro. [( ).8 + ( ).1 ].1 P ) Verdadeiro. ( ) São 15 modelos ao valor de R$8, e 1 modelos ao preço de R$1,

9 O elemento mediano é do de número 15,5 P15 + P Logo o preço mediano é 8. 4) Falso. M 1 / / / / / ], 8. F 1 / / / / / 8) Falso., ) Verdadeiro. Quantidade de modelos femininos ou de número 8: A probabilidade pedida é: ) Falso Questão 7 u Considerando-se a matriz B u é correto afirmar: + logv - logv w u u - logv, sendo u, w R e v R *, + + logv (1) A matriz B é simétrica, para quaisquer u,w R, v R *. + () O determinante de B é negativo se e somente se u e v >1. (4) Se u 6, e v,1, então existe um único w R tal que os elementos da diagonal principal de B são medidas de um triângulo eqüilátero. (8) Se u, existem v R * + e w R tais que B é uma matriz nula.

10 (16) Para qualquer w R, o sistema de equações BX tem uma infinidade de soluções x X y se e somente se v 1. z RESOLUÇÃO: 1) Verdadeiro porque uma matriz quadrada é simétrica quando qualquer que seja a i,j a j,i. ) Falso. det B u u + logv logv w u u logv + logv w [( u + logv) ( u logv) ] w w w+ [ ( u + logv + u logv)( u + logv - u + logv) ] ( u )( logv) u logv. Sendo u e v >1, o valor numérico de w+ detb u logv será sempre positivo. 4) Verdadeiro log1 6 log1 4 w w log1 6 + log1 4 Se w 5 então todos os termos da diagonal principal são iguais a. 8) Falso logv B logv w logv logv logv logv w logv log v logv log v w log log v v 16) Falso. Sendo B uma matriz não nula então para BX X B. X. Questão 8

11 Na figura, os quadrados ABCD e A B C D, cujos lados medem 1 u.c., são as bases de um prisma reto de altura igual a 5 u.c., e o ponto O é, ao mesmo tempo, o centro do quadrado ABCD e o vértice da pirâmide com base A B C D. A partir dessas informações, pode-se afirmar: (1) Qualquer plano que contenha uma face lateral da pirâmide faz um ângulo de 6º com o plano da base A B C D. () Qualquer aresta lateral da pirâmide faz um ângulo de 6º com o plano da base A B C D. (4) Existem uma aresta da pirâmide que é coplanar ao segmento DD e uma aresta da pirâmide que está contida numa reta reversa à reta que contém DD. (8) A área do triângulo OC D é igual a 5 u.a. 5 (16) O volume do sólido compreendido entre o prisma e a pirâmide é igual a u.v. RESOLUÇÃO: 1) Verdadeiro. OÔ E é o ângulo formado por uma face lateral da pirâmide e a face A B C D do prisma. Sendo o segmento O E o apótema da base A B C D então a sua medida é 5u.c. No triângulo retângulo OO E temos que 5 tg(oô' E) m(oô E) 6 ) Falso. OÔ C é o ângulo formado por uma aresta lateral da pirâmide e a face A B C D do prisma. Sendo o segmento O C o raio da base A B C D ( metade de sua diagonal) então a sua medida é 5 u.c. No triângulo retângulo OO C temos que 5 6 tg(o Ĉ' E) m( O Ĉ' E ) 6 5

12 4) Verdadeiro. As arestas OD e OB são coplanares com o segmento DD ( estão contidos no plano BDB ) e a aresta A O está contida na reta A O reversa à reta que contém DD. 8) Verdadeiro. No triângulo retângulo OO F temos: OF OF 1. Logo a área do triângulo OD C 1.1 é: S 5 16) Falso. Volume do paralelepípedo menos o volume da pirâmide: QUESTÕES 9 e 1 INSTRUÇÃO: Efetue os cálculos necessários e marque o resultado na Folha Questão 9 Durante uma reunião, ocorreu uma divergência quanto à formação de uma comissão gestora, a ser escolhida entre os presentes. Um grupo defendia uma comissão com três membros, sendo um presidente, um vice-presidente e um secretário. Outro grupo queria uma comissão com três membros sem cargos definidos. A primeira alternativa oferece 8 possibilidades de escolha a mais que a segunda. Determine o número de pessoas presentes à reunião, sabendo-se que esse número é maior que 5. RESOLUÇÃO:

13 Consideremos que na reunião estavam n pessoas. O número de possibilidades que o primeiro grupo defendia é A n, n(n-1)(n-) devido às funções que estavam sendo disputadas. n(n - 1)(n - ) O número de possibilidades que o segundo grupo defendia é C c,.! Assim: n(n - 1)(n - ) n(n-1)(n-) - 8.! n n + n n n + n 8 5n 15n + 1n n n + n 6 n(n -1)(n - ) (..).(.) n 8 RESPOSTA: O número de pessoas presentes à reunião é 8. Questão 1 Considere um triângulo eqüilátero cujos lados medem ( 1) e três circunferências com raios medindo ( 1) u.c. u.c., cada uma delas com centro em um vértice do triângulo, conforme a figura. Considere então um segundo triângulo T satisfazendo as seguintes condições: as três circunferências estão contidas no interior do triângulo T; cada lado do triângulo T tangencia duas dessas circunferências; cada vértice do triângulo T pertence à mediatriz de um dos lados do triângulo inicial. Com base nesses dados, determine, em u.c., o perímetro do triângulo T. RESOLUÇÃO:

14 O triângulo ABC foi construído segundo as condições estabelecidas para o triângulo T. A B e C são pontos das mediatrizes e cada um dos seus lados tangenciam duas das circunferências ( figura 1). Na figura destacamos o triângulo eqüilátero PAQ circunscrito ao círculo de centro O 1. então o segmento AO r ( ) l ( / 1) No triângulo ORS a altura OM. / MN r ( 1). No triângulo ABC, a altura AN AO + OM + MN ( 1) BC AN. AN BC BC 4. RESPOSTA: O perímetro do triângulo T é 1u.c. + +( 1).