RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA 2 o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 16/06/12 PROFESSOR: MALTEZ

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1 RESOLUÇÃO DA AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA o ANO DO ENSINO MÉDIO DATA: 6/06/ PROFESSOR: MALTEZ Uma pirâmide quadrangular regular possui área da base igual a 6 e altura igual a. A área total da pirâmide é igual a: Se a área da base é 6, l = 6 l = 6. O apótema da base vale a =. Pelo Teorema de Pitágoras: m = + m = 5 Logo, a área total, ou seja, a soma das áreas das 5 faces é: 6. 5 S t =. + 6 = = 6 m l l = 6 A figura ao lado mostra uma pirâmide inscrita em um cubo, isto é, a base dessa pirâmide é uma face do cubo e o vértice está no centro da face oposta. Sabendo que a área total do cubo é igual a 50 m, o volume da pirâmide é igual a: Se a área total do cubo é 50 m, então 6a = 50 a = 5 a = 5 m. Então, a área da base é 5 = 5 (área do quadrado) e a altura da pirâmide é a própria aresta do cubo. Então: V =. a. a = = m. A base de uma pirâmide triangular regular está inscrita em um círculo de raio altura da pirâmide é igual a 5, então o volume da pirâmide, em, é igual a:. Sabendo que a A base é um triângulo equilátero. Logo, l = R ou l =. =. Então a área da base é = 6 Como a altura da pirâmide é igual a 5, então o volume é: V = = 80

2 Uma pirâmide quadrangular regular, cuja altura é igual a m, e cortada por um plano a da base, em relação à altura. A área da seção determinada é igual a 6 m. Então, a área da base da pirâmide é igual a: A altura da pirâmide menor é m. Então: b H = = h = m = 6 6 O volume de uma pirâmide hexagonal regular de altura h é igual a de um prisma quadrangular regular H cuja aresta da base vale e cuja altura é H. Sabendo que =, o valor da medida da aresta da h base do prisma, em, é: x = V PIRÂMIDE = V PRISMA x. 6. x = 6. x = 6. x =. h H h =. H São dadas as seguintes informações sobre o paralelepípedo reto-retângulo ao lado: i. A diagonal do paralelepípedo é igual a 70 u. c. ii. a = 5 u.c. b = 6 u.c. Então o volume do tetraedro ACD, em u.v. é igual a: O volume do tetraedro é da área da base pela altura da pirâmide. Teremos então que calcular a terceira dimensão (c): c = c = 70 c = c = 6. 5 V =.. = 5 u. v.

3 Um cilindro reto, cuja área da base é 6π, possui altura igual a. Então a área da seção meridiana é igual a: área da base: π r = 6 π r = 6 r = A seção meridiana é um retângulo cuja base é o diâmetro e cuja altura é a geratriz (cilindro reto) S = 8. = 80 8 Para fabricar a lata de óleo ao lado, quantos centímetros quadrados são usados? S L = π rh = π.. = 5π S = πr = π. = 6π S T = 5π +. 6π S T = 8π A figura ao lado mostra um cilindro inscrito num cubo. O volume do cilindro é 6π. Então o volume do cubo é: O volume do cilindro é: π. r. h = 6π a = r h = a a. a 6 = a = 6 a V CUO = 56 = 56 Uma ponte de concreto tem a forma da figura ao lado. Suas dimensões estão assinaladas na figura. Então o volume de concreto usado para construir a ponte, em m, é igual a: (Faça π =,) Volume do paralelepípedo: = 0. 5 = 0 m Volume do semi-cilindro π = π. 5. = 0 π = 0 V CONCRETO = 0 = 886 m., = m

4 Uma taça de vinho tem a forma de um cone circular reto com de altura e geratriz 5. Adotando π =,, a capacidade da taça é: r Pelo Teorema de Pitágoras 5 = + r r = 5 V = π. r h V = π.. = π = =., = 7,68 ml Lembre-se: = ml A altura de um cone circular reto mede o triplo do raio da base. Se o comprimento da circunferência dessa base é 8 π, então a área lateral desse cone é: h = g O comprimento da circunferência da base é π r, ou seja, π r = 8π então r =. A altura é o triplo, logo h =. Por Pitágoras: g = + g = 60 ou g = S L = π rg = π.. = 6 π L A altura de um cone circular reto mede, e o raio da sua base mede 6. Um plano α paralelo à base e distante 6 do vértice, intercepta o cone. O volume do tronco, assim determinado, em, é: r 6 R = r 6 6 = r = r 6 (maior) V =. π. 6. = 8π (menor) V =. π.. 6 = π Volume do tronco = 8π π = 76π R = 6 Uma superfície esférica de raio é cortado por um plano situado a uma distância de do centro da superfície esférica, determinando uma circunferência. O raio dessa circunferência, em, é: r Acharemos o raio da circunferência utilizando Pitágoras: = + r r = 5 r = 5

5 Uma lata, cuja capacidade é igual a 00 ml, contém água e 60 bolas de gude iguais e perfeitamente esféricas com diâmetro de cada. Sabendo que a lata está completamente cheia, o volume de água, em ml, considerando π =,, é: O volume de cada esfera é π. = π. (o diâmetro é logo, R = ) Como são 60 bolas: 60. π = 80 π = 80., = 5, = 5, ml Logo, o volume de água é 00 ml 5, ml = 8,8 ml QUESTÕES DISCURSIVAS A aresta da base de uma pirâmide quadrangular regular mede e a altura da pirâmide mede. Determine a área lateral e o volume dessa pirâmide. 5 m m = + 5 m = 6 m = SL =. V = 5.. =. 65 =. = Uma seção transversal é feita a do vértice de uma pirâmide. A área da seção transversal é igual a da área da base da pirâmide. Calcule a altura da pirâmide. b = H b H = h H = h H H = = H = 6 Um tanque cilíndrico tem m de profundidade. Sua base superior é aberta e tem m de diâmetro. Quantos galões de tinta são necessários para pintar o interior desse tanque se para cada metro quadrado se gasta do galão? (Faça π =,) b É uma superfície a ser pintada. Área lateral = π rh = π.. = π Área de uma base = π. = π Área total: S T = π + π = 6πm (lembre-se que é só uma base) S T = 6., = 50, m 50, : =,56 galões

6 Um bar da cidade, em seu réveillon, ofereceu a seus brincantes um barril de chope que foi servido em tulipas: O barril tinha formato de um cilindro circular reto com 0 de raio da base e 0 de altura. A tulipa tinha formato de um cone reto com de raio da base e de altura. Com base nesses dados, pergunta-se quantas tulipas foram servidas desse barril, admitindo-se que não houve perda? Volume do barril: V = π = 00π Volume da tulipa: V T = π.. = 0π Quantas tulipas foram servidas: 00 π = 0π 00 tulipas Determine o volume do sólido gerado pela rotação completa da figura ao lado em torno do seu eixo. A figura formada é: I) Semi-esfera de raio : V I =. π = 8π II) Cilindro de raio r = e altura h = V II = π.. = 8π III) Cone de raio r = e altura h = V III = π.. = π V TOTAL = 8π + 8π + π = 8π