1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA

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1 Matemática 2 Pedro Paulo GEOMETRIA ESPACIAL I 1 COMO ESTUDAR GEOMETRIA Só relembrando a primeira aula de Geometria Plana, aqui vão algumas dicas bem úteis para abordagem geral de uma questão de geometria: Faça o desenho GRANDE! Desenhos pequenos costumam ficar cheio de rabiscos e complicados de se entender. Então, nada de economizar espaço...nada de ficar aproveitando a figura da questão (principalmente, se ela for pequena). Capriche na figura. Não precisa ser completamente igual ao que se pede (por exemplo, não é necessário que se faça um triângulo equilátero muito fiel ou uma circunferência perfeita). Mas faça uma figura legível para você conseguir enxergar os dados da questão. Marque os ângulos da figura. Aprendemos como buscar o valor de ângulos desconhecidos. Use essas técnicas! 2.3 Entre ponto e plano Dados um ponto e um plano : O ponto pode pertencer ao plano ; O ponto pode não pertencer ào plano ; 2.4 Entre reta e reta Dadas duas retas e, elas podem ser: Coincidentes, se (a interseção entre elas é uma reta); Concorrentes, se a interseção entre elas é um ponto; Paralelas distintas, se elas são coplanares (pertencem ao mesmo plano) e a interseção entre elas é vazia; Reversas, se elas não são coplanares (não pertencem ao mesmo plano); 2.5 Entre reta e plano Sempre procure por triângulos equiláteros, isósceles, semelhantes, ou retângulos. Eles costumam facilitar a questão. Retas paralelas e perpendiculares também costumam ser úteis. Aprenda bem trigonometria com o Piti! Ela é uma ferramenta muito poderosa em várias questões de geometria. No caso de Geometria Espacial, não é necessário saber desenhar uma figura tridimensional para resolver alguma questão. É mais importante apenas enxergar a figura tridimensional e a partir daí, desenhar as figuras planas para resolver o problema. Dados uma reta e um plano : A reta está contida em, se a interseção entre eles é uma reta; A reta é o plano são concorrentes (ou secantes), se a interseção entre eles é um ponto; A reta é paralela ao plano, se a interseção entre eles é vazia; 2.6 Entre plano e plano Dadas dois planos e, eles podem ser: 2 POSIÇÕES RELATIVAS 2.1 Entre ponto e ponto Dados dois pontos e, eles podem ser: Coincidentes, se ; Distintos, se e são diferentes; Coincidentes, se (a interseção entre eles é um plano); Concorrentes, se a interseção entre eles é uma reta; Paralelos distintos, se a interseção entre eles é vazia; 2.2 Entre ponto e reta Dados um ponto e uma reta : O ponto pode pertencer à reta ; O ponto pode não pertencer à reta ; CASD Vestibulares Geometria 1

2 3 PROJEÇÃO ORTOGONAL (SOMBRA) A projeção ortogonal (sombra) de um ponto sobre um plano é a interseção do plano com a reta, onde é a reta perpendicular ao plano que passa por. Exercício Resolvido 1: No cubo abaixo, as retas formadas pelos arestas são,,,,,,,,,,,. Entre elas, identifique: a) As retas concorrentes com a reta b) As retas paralelas à reta c) As retas reversas com a reta d) A projeção ortogonal do ponto sobre o quadrado e) A projeção ortogonal da reta sobre o quadrado Figura 1: projeção ortogonal do ponto sobre o plano f) projeção ortogonal da reta sobre o quadrado A distância do ponto ao plano é o comprimento do segmento. A projeção ortogonal (sombra) de uma figura geométrica sobre um plano é a união das projeções de todos os pontos da figura sobre o plano. Isso está ilustrado nas figuras abaixo: No cilindro reto abaixo, a projeção do centro da base de cima é o centro da base de baixo. Resolução: As retas concorrentes com a reta são: Figura 2: projeção ortogonal do ponto sobre a base de baixo Na pirâmide reta abaixo, a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro da base. As retas paralelas à reta são: As retas reversas com a reta são: Figura 3: projeção ortogonal do vértice sobre a base No cone reto abaixo, a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro da base. A projeção ortogonal do ponto é sobre o quadrado A projeção ortogonal da reta sobre o quadrado A projeção ortogonal da reta sobre o quadrado Figura 4: projeção ortogonal do vértice sobre a base 2 Geometria CASD Vestibulares

3 EXERCÍCIOS PROPOSTOS Nível II Nível I 1. Atividade Proposta nº 6, Geometria Espacial I 2. (UNIFESP - 09) Considere o sólido geométrico exibido na figura, constituído de um paralelepípedo encimado por uma pirâmide. Seja a reta suporte de uma das arestas do sólido, conforme mostrado. 5. Atividade Proposta nº 2, Geometria Espacial I 6. (FUVEST - 09) O ângulo formado por dois planos e é tal que. O ponto pertence a e a distância de a vale. Então, a distância de à reta intersecção de e é igual a: a) b) c) d) e) 7. Atividade Proposta nº 3, Geometria Espacial I 8. (ESPCEX - 12) Considere um plano e os pontos,, e tais que Quantos pares de retas reversas é possível formar com as retas suportes das arestas do sólido, sendo r uma das retas do par? a) b) c) d) e) 3. (UNIFESP - 03) Dois segmentos dizem-se reversos quando não são coplanares. Neste caso, o número de pares de arestas reversas num tetraedro, como o da figura, é O segmento tem de comprimento e está contido em O segmento tem de comprimento, está contido em e é perpendicular a. O segmento tem de comprimento e é perpendicular a Nessas condições, a medida do segmento a) b) c) d) e) 9. (ESPCEX - 13) O sólido geométrico abaixo é formado pela justaposição de um bloco retangular e um prisma reto, com uma face em comum. Na figura estão indicados os vértices, tanto do bloco quanto do prisma. é a) b) c) d) e) 4. (ESPM - 12) Na figura plana abaixo, é um quadrado de área. Os segmentos e medem cada. Essa figura deverá ser dobrada nas linhas tracejadas, fazendo com que os pontos e coincidam com um ponto do espaço. Considere os seguintes pares de retas definidas por pontos dessa figura: as retas e as retas e e as retas e As posições relativas desses pares de retas são, respectivamente, A distância desse ponto ao ponto é igual a: a) concorrentes; reversas; reversas. b) reversas; reversas; paralelas. c) concorrentes, reversas; paralelas. d) reversas; concorrentes; reversas. e) concorrentes; concorrentes; reversas. a) b) c) d) e) CASD Vestibulares Geometria 3

4 10. (ENEM - 12) João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide. 11. (ENEM - 13) Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos e são equidistantes do pivô: O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto ao ponto, a seguir do ponto ao ponto, e depois de a. O desenho que Bruno deve fazer é A projeção ortogonal da trajetória dos pontos e, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: a) a) b) b) c) c) d) d) e) e) 12. (FATEC - 06) O ponto pertence à reta, contida no plano. A reta, perpendicular a, o intercepta no ponto. O ponto pertence a e dista de. Se a projeção ortogonal de em mede e o ponto dista de, então a distância de a, em centímetros, é igual a a) b) c) d) e) 13. Atividade Proposta nº 9, Geometria Espacial I 14. Atividade Proposta nº 1, Geometria Espacial I 15. Atividade para Sala nº 4, Geometria Espacial I 4 Geometria CASD Vestibulares

5 DICAS E FATOS QUE AJUDAM 5. Como dista do plano, 1. A figura do problema Seja a projeção ortogonal de sobre o plano. Então. Além disso, O ângulo entre a reta e o plano é o ângulo 2. A figura do problema Sejam a base de baixo do paralelepípedo, a base da pirâmide e o vértice da pirâmide. Note que as retas,,, são concorrentes com a reta e as retas,,, são paralelas à reta. Logo as retas reversas à reta são,,,,,,, 3. No tetraedro, não existem arestas paralelas. Note que cada aresta é concorrente com outras arestas e é reversa com a última aresta. Por exemplo, a aresta é concorrente com as arestas,,, e é reversa com a aresta. Como o tetraedro tem arestas, elas podem ser divididas nos seguintes pares de arestas reversas: e, e, e. 4. A figura do problema Como a área do quadrado é, o seu lado é. Assim, a diagonal é. Use Pitágoras no triângulo retângulo. CASD Vestibulares Geometria 5

6 6. A figura do problema 8. A figura do problema Seja a projeção ortogonal de sobre. Como a distância de a vale,. Sejam a reta interseção de e e o ponto de mais próximo de. Então a distância de à reta é 7. Considere que o plano de baixo é o plano, o plano de cima é o plano,,,,. Sejam e as projeções ortogonais de e sobre o plano, respectivamente. Então as projeções ortogonais de e sobre o plano são e. Sejam e. Então: Seja a distância entre os planos e. Então. A figura do problema 9. Note que o quadrilátero é um paralelogramo. As retas e são as retas suportes das diagonais e do paralelogramo, logo elas se encontram no centro do paralelogramo e são concorrentes. ( ) ( ) As retas e pertencem ao plano do pentágono (face direita do bloco), logo elas não são reversas. Além disso, elas também não são paralelas. Logo, as retas e são concorrentes. O ponto não pertence ao plano que contém os pontos,,, logo as retas e não são coplanares. Logo, as retas e são reversas. 10. Seja o centro do quadrado. Note que é a projeção ortogonal de sobre o quadrado. Como o primeiro trecho do caminho é o segmento, a projeção do primeiro trecho é o segmento. Como o segundo trecho do caminho é o segmento, a projeção do segundo trecho é o segmento Como o terceiroo trecho do caminho é o segmento, a projeção do trecho trecho é o segmento Logo Bruno deve desenhar o caminho 6 Geometria CASD Vestibulares

7 11. A figura do problema 13. Seja o triângulo isósceles de base. Seja a altura relativa à base. Seja a projeção ortogonal de sobre o plano do triângulo. Seja a distância entre e o plano do triângulo. Logo,, A figura dos triângulos e De acordo com a figura, segue que a projeção ortogonal da trajetória dos pontos e sobre o chão da gangorra, corresponde aos segmentos e 12. Seja a projeção ortogonal de sobre a reta. Então a projeção ortogonal de sobre a reta é, logo. Como o ponto dista de,. Seja. Como é a altura relativa à base, também é mediana. Logo. ( ) ( ) ( ) CASD Vestibulares Geometria 7

8 14. Seja o centro do triângulo equilátero. Então é o raio da circunferência circunscrita. Relembrando o arquivo Geomtria Plana X, tem-se: A figura do círculo Seja o raio do círculo. Como é ponto médio,. Fazendo Pitágoras no triângulo : A distância entre e é o valor de 15. Sejam o centro do círculo e o ponto médio de. Como a projeção ortogonal de sobre é, a distância entre e é. Além disso, como,. Logo o triângulo é isósceles de base. Logo a mediana em relação à base também é a altura. 1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. C 8. A 9. E 10. C GABARITO 11. B 12. B 13. C 14. C 15. E ( ) 8 Geometria CASD Vestibulares