Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano

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1 Geometria Espacial Elementos de Geometria Espacial Prof. Fabiano

2 A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies.

3 Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto e reta como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

4 O Plano Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto pode ser ligado por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto. Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

5 Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta); Um ponto e uma reta que não contem o ponto; Um ponto e um segmento de reta que não contem o ponto; Duas retas paralelas que não se sobrepõe; Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe; Duas retas concorrentes; Dois segmentos de reta concorrentes.

6 Poliedros São sólidos do espaço de 3 dimensões cuja fronteira é a reunião de partes de planos. Tetraedro Pentaedro Hexaedro Heptaedro 4 faces 5 faces 6 faces 7 faces

7 Poliedros de Platão O filósofo Platão nasceu em Atenas (Grécia), em 428 / 427 a.c. A primeira paixão de Platão foi a política. Mais tarde, a filosofia se tornou a finalidade de sua vida. Há cerca de 2400 anos, os poliedros regulares foram estudados na escola de Platão, por isso recebem o nome de Poliedros de Platão.

8 Esse filósofo professou que o mundo foi criado a partir de 4 elementos básicos: a terra, o ar e a água. Platão associou cada um dos elementos a um dos poliedros regulares. O último poliedro que Platão estudou foi o dodecaedro. Platão associou este sólido ao cosmos (Universo) Tetraedro: fogo Cubo ou Hexaedro: terra Octaedro: ar Dodecaedro: cosmos Icosaedro: água

9 OS CINCO SÓLIDOS PLATÔNICOS

10 Faces Arestas Vértices Tetraedo Hexaedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro

11 Relação de Euler V A + F = 2 Em qualquer poliedro convexo é válida a relação: Onde: V = nº de vértices; A = nº de arestas; F = nº de faces. S = (V-2).360 Soma dos ângulos das faces :

12 Cubo ou Hexaedro Regular Características Vértices: 8 Arestas: 12 Faces: 6 Um Cubo é uma figura formada por 6 quadrados iguais, como mostra a figura ao lado.

13 Área da Base: A B = (lado) 2 Área Lateral: A L = 4(lado) 2 Área total: A T = 6(lado) 2 Volume: V = (lado).(lado).(lado)

14 CUBO d a d = a 2 d = a 3 A t = 6a 2 d a a V = a 3

15 Paralelepípedo Reto-Retângulo Estrutura de um paralelepípedo: Características Vértices: 8 Arestas: 12 Faces: 6 É o sólido construído com seis retângulos, congruentes dois a dois, conforme ilustra a figura ao lado. A B = ab A L = 2(ac + bc)

16 PARALELEPÍPEDO d c a d 2 = a 2 +b 2 +c 2 b V = abc S t = 2(ab+ac+bc)

17 Prismas Estrutura dos primas: Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

18 Prisma reto As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são perpendiculares ao plano da base. As faces laterais são retangulares.

19 Prisma oblíquo As arestas laterais têm o mesmo comprimento. As arestas laterais são oblíquas ao plano da base. As faces laterais não são retangulares.

20 Os prismas podem ser quadrangulares, triangulares, hexagonais, pentagonais, etc... dependendo da forma de suas bases. Seção transversal de um prisma É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases. Prisma regular É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

21 PRISMAS V = A B.h A T = SOMA DAS ÁREAS DAS A T = FACES LATERAIS A L + 2 A B Prisma reto de Prisma Regular = bases regulares

22 Área da Base: A B = (área da fig da base) Área Lateral: A L = n (face lateral) Área total: A T = 2A B + A L Volume: V = A B. h

23 Cilindro É o sólido como o representado na figura a seguir: Área da Base:A B = πr 2 Área Lateral: A L = 2πRh Área total: A T = 2(πR 2 ) + 2πRh Volume: V = πr 2 h

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25 CILINDRO A B = πr 2 R V = A B.h h g = h A L = A T = 2πRg A L + 2 A B R Cilindro equilátero: g = 2R

26 Cone Circular Reto É o sólido como o representado na figura abaixo: Área da Base: A B = πr 2 Área Lateral: A L = πrg Área total: A T = πr 2 + πrg Volume: V = 1 π R 3 2 h

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28 CONE h g R g 2 = h 2 + R 2 A B = πr 2 A V = B.h 3 A L = πrg A T = A L + A B Cone equilátero: g = 2R

29 Pirâmide São sólidos como o representado na figura acima. Se a base for um polígono regular, e a projeção ortogonal do vértice sobre a base coincidir com o seu centro, a pirâmide é denominada pirâmide regular. onde : (h) altura da pirâmide. (h) 2 = (ap) 2 + (a b ) 2 (a b ) apótema da base (raio da circunferência inscrita). (ap) apótema da pirâmide, ou apótema lateral.

30 Área da Base: A B = (área da fig da base) Área Lateral: A L = n (face lateral) Área total: A T = A B + A L Volume: A L = 1 3 A B h

31 Esfera Devido às características especiais da esfera, ela não pode ser planificada. Uma esfera é obtida fazendo-se a rotação completa de um semicírculo sobre seu diâmetro. Com esse movimento, cada ponto do semicírculo descreve uma circunferência que tem como centro um ponto qualquer do diâmetro e cujo raio se torna maior à medida que aumenta a sua distância ao eixo. Todos os pontos da superfície esférica estão à mesma distância de um ponto chamado centro.

32 Área do círculo máximo: A= πr 2 Área da esfera: AT = 4πR 2 Volume da esfera: V = 4 π R 3 3

33 SEÇÃO NA ESFERA. r. d O. R R 2 = d 2 + r 2

34 Cunha Área do fuso: A F 4π R 2 = α 360 Volume da cunha : 0 A α F = π R 3