Matemática. Resolução das atividades complementares. M1 Geometria Métrica Plana

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1 Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Métrica Plana p. 0 Na figura a seguir tem-se r // s // t e y. diferença y é igual a: a) c) 6 e) b) d) 0 8 ( I) y 6 y (II) plicando a propriedade da proporção, temos: y 8 6? Substituindo em (I), temos: 8y y 8 Portanto, y 6. Na figura abaio, as medidas são dadas em centímetros. Sabendo que m // n // t, determine o valor de. 9 plicando a propriedade da proporção, temos: 9 9

2 Um feie de quatro paralelas determina, sobre uma transversal, três segmentos consecutivos que medem cm, 7 cm e 8 cm. alcule os comprimentos dos segmentos determinados pelo feie em outra transversal, sabendo que o segmento compreendido entre a primeira e a quarta paralela mede 76 cm. 6 cm, 8 cm, cm 7 y 76 8 z Pelo teorema de Tales, temos: y z 7 8 plicando a propriedade da proporção, temos: y z ? y z 7 8 y y 76 9y 76? 7 y y z z z 9z 76? 8 z 8 Portanto, os comprimentos são: 6 cm, 8 cm e cm. O trecho do mapa de uma cidade apresenta os quarteirões I e II. Os lados que dão para a rua medem, respectivamente, 0 m e 00 m, e o lado do quarteirão I voltado para a rua mede 0 m a mais do que o do quarteirão II para a mesma rua. medida, em metros, do lado do maior dos dois quarteirões para a rua é: a) 60 c) 00 e) 0 b) 80 d) 0 Observação: onsidere que as laterais dos quarteirões são paralelas. Fazendo um esquema da situação, temos: 0 m 00 m I II O lado maior dos dois quarteirões para a rua é 0; portanto, m.

3 p. No teto a seguir todas as distâncias são em metros. s avenidas M e N se cruzam na praça P, por onde também passa a rua. s ruas, e são paralelas à rua conforme a figura. distância da rua à rua é igual a d. Uma pessoa que sai da praça e caminha pela avenida M percorre uma distância igual a d 0 para chegar à rua e uma distância d 8 para chegar à rua. Se ela sair da praça caminhando pela avenida N, as distâncias percorridas para chegar às ruas e serão, respectivamente, d 0 e d 6. alcule a distância percorrida por uma pessoa que saia do ponto de encontro da avenida N com a rua e, caminhando pela avenida N, vá até o encontro dessa avenida com a rua. m epressão que determina a distância pedida é: d 6 d 0 d plicando o teorema de Tales, temos: d 0 d 6 (d 0)? (d 6) (d 0)? ( d 8) d 0 d 8 d 6d 60 d d 60 d m Portanto,? m. 6 eseja-se construir uma ponte sobre um rio, no entanto os engenheiros não têm acesso para medir a largura do rio nesse local. Eles então usaram um pequeno truque efetuando, com aparelhos apropriados, as medidas que se vêem na figura a seguir. Pode-se afirmar, então, que a largura do rio no local onde a ponte deverá ser construída é: a) m c) m e) m b) 8 m d) 8 m hamando de a largura do rio no local da ponte, temos o esquema: r s m t 0 m m m rio Pelo teorema de Tales, temos: m 0

4 7 Um desenhista fez a seguinte construção: E, cm; EF 7,8 cm; FG cm desenhou o segmento e dividiu-o em três partes: cm, 6 cm e 0 cm; desenhou o segmento G, que mede 6 cm; uniu a G e traçou os segmentos E e F paralelos a G. etermine os comprimentos dos segmentos E, EF e FG. Esquematizando o enunciado, temos: cm 6 cm 0 cm E y F z 6 cm plicando o teorema de Tales e a propriedade da proporção, temos: y z 6 0 6?, y z y 6 y 0y 6? 6 y 7, y z z 6 z 0z 6? 0 z Portanto, E, cm; EF 7,8 cm; FG cm. G 8 O tem lados e. bissetriz do ângulo  intercepta o lado no ponto tal que,. alcule a medida do segmento.,, Pelo teorema da bissetriz interna, devemos ter:,?,, Então,,.

5 9 Na figura a seguir, é um retângulo e PQ é a bissetriz interna do ângulo Pˆ do P. Sabe-se que Q e que as medidas estão indicadas em centímetros. Qual é o perímetro do retângulo?, cm P,, Q,6 plicando o teorema da bissetriz interna no triângulo P, temos:,,,(, 6 ),,,,6 O perímetro do retângulo é med med med med. Ou seja, perímetro, 6,6, cm. 0 No, MN // e é a bissetriz interna do ângulo Â. etermine: a) as medidas a, e c indicadas na figura a 8, b 6, c b) o perímetro do MN c) o perímetro do 60 a M 9 P b N 6 c 8 a) Se MN //, e são transversais; pelo teorema de Tales, temos: a a 8 6 é a bissetriz interna do ângulo Â, que determina os pontos P, em MN, e, em. ssim, pelo teorema da bissetriz interna nos triângulos MN e, temos: a 9 8 b 6 e a c b 9 b c 8 c 8 b) Perímetro do triângulo MN p MN a 9 b p MN c) Perímetro do triângulo p a 6 c p 60

6 p. 9 Os heágonos H e H das figuras são semelhantes. Qual é a razão de semelhança entre H e H? ou, Sendo os polígonos semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais., r 6,,6 6 Logo, r ou,. Os quadriláteros e EFGH abaio são semelhantes: ˆ Eˆ, ˆ Fˆ, ˆ Gˆ e ˆ Hˆ. Nessas condições, determine: a) razão de semelhança entre e EFGH b) as medidas de, y, z ; y,; z 6 Sendo os quadriláteros semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais. a) r 6 razão de semelhança entre os quadriláteros é. b),,6 9 y z,,?,6 y,6? y, y 9 z 9? z 6 z Logo, ; y,; z 6.

7 Os quadriláteros e MNPQ das figuras são semelhantes. O lado do primeiro corresponde ao lado MN do segundo. Se a razão de semelhança entre os quadriláteros e MNPQ é, determine a medida do lado MN do quadrilátero MNPQ. 0 Os quadriláteros são semelhantes de razão r ; então, seus lados correspondentes são proporcionais, ou seja: MN Logo, MN 0. Os trapézios e PQRS das figuras ao lado são semelhantes. Sabe-se que o perímetro do trapézio PQRS é 0 unidades de comprimento e ˆ Rˆ e ˆ Qˆ. alcule as medidas de a, b, c e d dos lados do trapézio PQRS. a, b 0, c, d 0 omo os trapézios são semelhantes, então seus lados correspondentes são proporcionais: a b c d Sabendo que a b c d 0, e aplicando a propriedade da proporção, temos: a a b c d a 0 a b 0 a b c d b 0 b c a b c d c 0 c d 0 a b c d d 0 d Portanto, a ; b 0; c ; d 0. Um aluno deseja representar no papel a planta de sua sala de aula, que tem a forma retangular. sala tem 8 m de comprimento por, m de largura. No desenho feito pelo aluno, ficou com 6 cm de comprimento e 9 cm de largura. a) Qual a escala (razão de semelhança) utilizada? 0 b) Se o aluno quiser construir uma maquete da sala usando a mesma escala, qual deverá ser a altura da maquete se a altura real da sala é,8 m?,6 cm a) Lembrando que, m 0 cm e 8 m 800 cm, temos: 8 m, m 6 cm 9 cm r razão de semelhança utilizada foi 0. b) plicando a propriedade da proporção, temos: h h 0h 80 h,6 cm H Logo, a altura da maquete será, 6 cm.

8 p. 0 6 Os retângulos R e R das figuras seguintes são semelhantes. Mostre que a razão entre as áreas desses retângulos é igual ao quadrado da razão de semelhança entre eles. Razão entre os retângulos: ; razão entre as áreas: r área de R 0? cm área de R 60? 0 00 cm área R 600 área R 00 r razão entre as áreas desses retângulos é igual ao quadrado da razão de semelhança entre eles, ou seja: R r e área área R 7 Na figura, 8 cm, 9 cm e os ângulos ˆ e ˆ são congruentes. etermine a medida, em centímetros, do segmento. 7 cm Os triângulos e são semelhantes, pois possuem três ângulos congruentes. Representando os triângulos separadamente, temos: ˆ ˆ ; ˆ ˆ ; ˆ ˆ Os lados correspondentes são proporcionais. Seja ( 9 ) 8? Logo, 7 cm.

9 8 Para calcular a largura de um rio, em um trecho em que as margens são paralelas, um agrimensor marcou em uma delas um ponto e na outra os pontos e alinhados com. onsidere os pontos e E marcados na margem do rio, conforme a figura. Usando as medidas indicadas, calcule a largura do rio. 8, m Os triângulos E e são semelhantes, pois possuem os três ângulos congruentes: ˆ ˆ ( o.p.v.) E ˆ ˆ (90 ) ˆ ˆ (soma dos ângulos internos de um triângulo) Logo, os lados correspondentes são proporcionais. 8 E 8? E 8, m E 9 s bases de dois triângulos isósceles semelhantes medem, respectivamente, 8 cm e cm. s medidas de cada lado congruente do primeiro triângulo são 7 cm e do segundo triângulo, 0 cm. etermine o perímetro do segundo triângulo. 80 cm Os triângulos são semelhantes; logo, os lados correspondentes são proporcionais. 7 cm 7 cm 0 cm 0 cm 8 cm cm ? 0 0 cm 0 Sendo 0, o perímetro do segundo triângulo é: cm.

10 0 Em determinada hora do dia, um prédio projeta uma sombra de m no solo, enquanto um bastão de madeira de m de comprimento, colocado perpendicularmente ao solo, projeta uma sombra de,0 m. a) Qual é a altura do prédio? 0 m b) Quantos andares tem esse prédio, se o térreo tem m de altura e cada um dos outros pavimentos, m de altura? andares Esquematizando o problema, temos: h m m E F,0 m a) Os raios solares podem ser considerados retas paralelas, determinando ângulos congruentes com o prédio e com o bastão. ssim, ˆ ˆ, ˆ E (retos) e Fˆ ˆ (soma dos ângulos internos de um triângulo). Os triângulos são semelhantes e os lados correspondentes, proporcionais: h,0h? h 0,0 Então, a altura do prédio é 0 m. b) Se o térreo tem m, temos m para dividirmos de em metros, ou seja:. Logo, o prédio tem andares. Na figura, r cm, r cm e O 6 cm. Qual é a distância, em centímetros, entre os centros O e O das circunferências? cm Os triângulos O E O são semelhantes, pois possuem um ângulo em comum e ângulos retos. Os lados correspondentes, entretanto, são proporcionais: 6 O 8 0 cm 6 O 6 cm cm cm 0

11 Na figura, P é o ponto de intersecção de e, e a área do P é 0 cm. Qual é o valor da área do P?, cm Os triângulos P e P são semelhantes, pois possuem os três ângulos congruentes; logo, os lados correspondentes são proporcionais. razão entre os lados dos triângulos é: r. razão entre as áreas de dois polígonos é igual ao quadrado da razão entre os lados, então: S S P P 0 SP, cm S 9 P ( ) 9 No o ângulo  é reto, cm e 8 cm. mediatriz de (reta perpendicular a passando pelo seu ponto médio) intersecta no ponto E. etermine E., cm E é mediatriz de ; portanto, med med 9 cm. Separando os dois triângulos, temos: E 9 8 omo os triângulos são retângulos e possuem um ângulo em comum, são semelhantes e os lados correspondentes, proporcionais. 8, E, cm 9

12 Na figura ao lado, temos que E //. alcule os valores de e y. 0 e 8 Se E //, os triângulos são semelhantes, pois os ângulos são congruentes. Os lados correspondentes, então, são proporcionais: E y 6 y 6 60 y y 6 y y 8 y 8 y Então, 0 e 8. O losango está inscrito no EF cujos lados E e F medem, respectivamente, 9 cm e 8 cm. etermine o lado do losango. 6 cm Seja o lado do losango. 8 9 E F Se E 9 e F 8, então: E 9 e F 8. omo um losango é um paralelogramo, //, e os triângulos F e EF são semelhantes com os lados correspondentes proporcionais: Portanto, o lado do losango é 6 cm.

13 p. 6 6 Para medir a altura de um muro, Paulinho apoiou uma das etremidades de uma escada de m ao muro e mediu a distância da outra etremidade à base do muro, obtendo,0 m. Qual é a altura do muro?,0 m plicando o teorema de Pitágoras, temos: (,) h h 6,76 0, h,0 m 7 Em qualquer triângulo retângulo, a medida da mediana relativa à hipotenusa é igual à metade da medida da hipotenusa. alcule a medida da mediana relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo que tem catetos medindo 0 cm e cm. 9 cm cm 0 cm M é a medida da hipotenusa. plicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos: () 0 med 9 cm medida da mediana é med 9 cm. 8 onsiderando a figura a seguir, determine o valor de e y. cm, y cm plicando o teorema de Pitágoras no triângulo, temos: ( ) cm plicando o teorema de Pitágoras no triângulo, temos: y y 69 y cm

14 p. 7 9 Pedrinho pegou uma folha de papel quadrada, de 0 cm de lado, denominou os cantos da folha,, e e marcou um ponto P eatamente no meio do lado. Em seguida ele dobrou a folha de modo que o vértice coincidisse com o ponto P. alcule o comprimento de Q. 7, cm 0 P 0 Q 0 Se Q, Q 0 e P 0, temos, aplicando o teorema de Pitágoras: (0 ) , Logo, Q 7, cm. 0 O n é retângulo em. Uma reta paralela ao lado intercepta e nos pontos P e Q tais que P 6 cm, P cm e Q cm. Qual é a medida do lado? 6 cm Seja y med PQ. r 6 cm cm P Q y cm Se PQ //, o triângulo PQ é retângulo e semelhante ao triângulo. plicando o teorema de Pitágoras no triângulo PQ, temos: 6 y y cm Se os triângulos PQ e são semelhantes, os lados correspondentes são proporcionais, ou seja: 6 y Portanto, 6 cm.

15 Um triângulo isósceles de base 6 cm tem lados 0 cm. alcule a altura relativa ao lado. 6 cm Esquematizando o problema, temos: 0 cm 0 cm h Se 6 cm, 8 cm. Num triângulo isósceles, a altura e a mediana relativas à base coincidem. Portanto, o triângulo é retângulo. plicando o teorema de Pitágoras, temos: 0 8 h h 6 cm O lado maior de um retângulo mede cm a mais que o lado menor, e a diagonal tem cm. etermine o perímetro desse retângulo. 0 cm Esquematizando o problema, temos: cm plicando o teorema de Pitágoras no triângulo retângulo, temos: ( ) ( ) 0 ( 6)? ( ) 0 6 (não convém) e Sendo, os lados do retângulo são cm e 6 cm. Portanto, perímetro cm.

16 O perímetro de um triângulo retângulo é 0 cm e sua hipotenusa mede cm. alcule as medidas dos catetos. cm, cm Se o perímetro do triângulo é 0 cm e a hipotenusa mede cm, a soma das medidas dos catetos é igual a 0 7 cm. Se um dos catetos medir, o outro medirá 7. ssim, esquematizando o problema, temos: cm 7 plicando o teorema de Pitágoras, temos: (7 ) e Portanto, as medidas dos catetos são cm e cm. No triângulo retângulo da figura, determine as medidas m, n, h e c indicadas. m, n 6, h e c Pelas relações no triângulo retângulo, temos: 8 c c 8m m ( ) c 8n 8n n 6 8h c 8h? h Portanto, m ; n 6; h e c. Os catetos de um triângulo retângulo medem cm e 9 cm. Nessas condições, determine a(s) medida(s): a) a da hipotenusa; a cm b) h da altura relativa à hipotenusa; h 7,0 cm c) m e n das projeções dos catetos sobre a hipotenusa. m 9,60 cm e n,0 cm 9 cm h cm n m a a) a 9 a cm b) ah 9? h 9? h 7,0 cm c) am m m 9,60 cm 9 an 8 n n,0 cm 6

17 p. 6 Qual é o comprimento da circunferência da figura? (Use π,.) πr π? 8,8 8,8 cm 8,8 cm 7 alcule o comprimento de um arco equivalente à metade de uma circunferência de raio cm.,6 cm πr πr,?,6,6 cm 8 Uma circunferência está inscrita em um quadrado cuja diagonal mede 0 cm. O comprimento da circunferência é: a) π cm c) 0π cm e) 0π cm b) π cm d) 0π cm 0 cm O diagonal de um quadrado é dada pela fórmula d,. Então: 0,, 0 cm Se o lado do quadrado mede 0 cm, o raio da circunferência é r cm. πr 0π cm 7

18 9 Na figura, O é centro de uma circunferência. Os pontos, O e estão alinhados, e H é perpendicular a. Sabe-se ainda que H 6 cm e H cm. alcule o raio da circunferência. 6, cm 6 cm cm H O n O triângulo possui um dos lados coincidindo com um diâmetro; portanto, é um triângulo retângulo. Usando as relações no triângulo retângulo, temos: h mn 6 n n 9 cm O diâmetro da circunferência é d 9 cm. Portanto, r 6, cm. 0 Uma família deseja irrigar um terreno circular de 0 m de raio. Quantos metros cúbicos de água são necessários se ela usar em média,/m?,p m O terreno é um círculo de raio 0 m. S pr S p0 00p m omo litro dm, vem: V 0,00? 00p V,p m Serão necessários,p m de água. 8

19 figura mostra um viveiro, de forma circular e raio r m, que apresenta em seu interior uma região coberta na forma de um quadrilátero. O ponto O é o centro do viveiro, o arco é igual ao arco e a medida do segmento é 8 m. etermine a área da região do viveiro não coberta. onsidere π,. 0, m 8 m O m Os triângulos e possuem um dos lados coincidentes a um diâmetro; portanto, são retângulos de hipotenusa 0 cm. plicando o teorema de Pitágoras no triângulo, temos: m omo o arco é igual ao arco, os dois triângulos são congruentes. S 6? 8 m área da região não coberta é a área do círculo menos a área dos dois triângulos de hipotenusa 0 m, e catetos 8 m e 6 m. S πr?,? 8 78, 8 0, S 0, m crescentando m ao raio r de uma circunferência, o aumento, em metros, no comprimento será de: a) π c) (π ) e) π b) π d) π πr π? (r ) πr π π O aumento no comprimento será de π. 9

20 Na figura ao lado temos um retângulo inscrito em uma circunferência com centro O e raio igual a cm. Se OP vale do raio da circunferência, determine a área, em centímetros quadrados, do retângulo. 8 cm OP r e r cm, portanto: OP cm. cm O P O triângulo OP é retângulo em P. Então, aplicando o teorema de Pitágoras, temos: (O) (OP) ( P) (P) P cm O lado menor do retângulo é? OP 6 cm, e o lado maior é? 8 cm. área do retângulo é S 8? 6 8 cm. Um automóvel cujos pneus têm 0, m de diâmetro percorreu uma distância de,6 km. alcule o número de voltas dadas por um pneu. aproimadamente voltas pr Se o diâmetro do pneu é 0, m, seu raio é 0, m. =?,? 0,,7 m,6 km 600 m 600 n o de voltas voltas,7 0

21 Um trapézio inscrito numa circunferência de centro O pode ser dividido em três triângulos eqüiláteros congruentes, como mostra a figura ao lado. alcule a área do círculo limitado por essa circunferência sabendo que a área do trapézio é 7 cm. 6π cm r r O r Relacionando os elementos do trapézio com os elementos da circunferência, temos: base maior r base menor r r altura altura de um triângulo eqüilátero de lado r h S tra pézio S círculo (r r) r ( b) h r 7 r 6 cm πr π6 6π cm