Relações Métricas nos. Dimas Crescencio. Triângulos

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1 Relações Métricas nos Dimas Crescencio Triângulos

2 Trigonometria A palavra trigonometria é de origem grega, onde: Trigonos = Triângulo Metrein = Mensuração - Relação entre ângulos e distâncias; - Origem na resolução de problemas práticos relacionados principalmente à Navegação e à Astronomia. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 2

3 Triângulos A β σ α B Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto, formando três lados e três ângulos. Esses ângulos, tradicionalmente, são medidos numa unidade de medida, denominada grau e, cada um deles tem medida entre 0 e 180. Neste caso, com base no triângulo ao lado, afirma-se: C α + β + σ = 180 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Classificação dos Triângulos Quanto aos tamanhos dos lados: Equilátero Lados com mesmo comprimento Isósceles 2 lados iguais Escaleno Lados com comprimentos diferentes UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Classificação dos Triângulos Quanto a medida dos ângulos. Acutângulo ângulos < 90 Obtusângulo 1 ângulo obtuso (entre 90º e 180º) Retângulo 1 ângulo com 90 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Triângulo Retângulo Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo C BC é a hipotenusa AB e AC são os catetos A B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Triângulo Retângulo Teorema de Pitágoras: A hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Tangente de um ângulo A B C Considere a figura em que o ângulo α mede aproximadamente 26,5. As medidas dos segmentos assinalados, em centímetros, são: OA = 3; OB = 5; OC = 8; AA = 1,5; BB = 2,5 e CC = 4. Substituindo valores, podemos afirmar que as seguintes razões são iguais: O α A B C AA OA = BB OB = CC OC = k = 0, 5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Tangente de um ângulo B C Uma outra figura em que o ângulo β mede 63,5 e: OA = 3; OB = 4; OC = 5; AA = 6; BB = 8 e CC = 10. Pelo fato de os triângulo serem semelhantes: O β A A B C AA OA = BB OB = CC OC = c = 2 Com base no exposto, conclui-se que a medida da razão dos catetos não depende da escolha de um triângulo retângulo com lados maiores ou menores, mas sim da medida do ângulo (α ou β) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Seno, Cosseno e Tangente De maneira geral, temos: sen β = b (cateto oposto) a (hipotenusa) cos β = c (cateto adjacente) a (hipotenusa) tg β = b (cateto oposto) c (cateto adjacente) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10

11 Ângulos Notáveis Lembre-se!! Sen Cos Tg UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Ângulo Notáveis Música para decorar a fórmula do sen, cos e tg de 30, 45 e 60º: 1, 2,3 3, 2, 1 Tudo sobre 2, Você põe a raíz no 3 e no 2, hey! A tangente é diferente, Vejam só vocês, raiz de 3 sobre 3, 1, e raiz de 3. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 12

13 Praticando Para se calcular a altura de uma torre, utilizou-se o seguinte procedimento ilustrado na figura: Um aparelho (de altura desprezível) foi colocado no solo e emitiu um raio em direção ao ponto mais alto da torre. O ângulo determinado entre o raio e o solo foi de α=60. A seguir, o aparelho foi deslocado 4m em direção a torre, e o ângulo obtido foi de β radianos, com tg β=3 3. A altura da torre é: a) 4 3 b) 5 3 c) 6 3 d) 7 3 e) 8 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Praticando Trabalhando com o triângulo menor: tgβ = y x = y = 3x 3 Agora, vamos trabalhar com o triangulo maior: tg60 = y 4 + x = 3x x 3 1 = 3x x = 3x x = 4 x = 2 y = 3x 3 = 6 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 14

15 Praticando (Enem 2008) O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15

16 Praticando Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2cm, então a área da figura 3, que representa uma casinha, é igual a: a) 4cm 2. b) 8cm 2. c) 12cm 2. d) 14cm 2. e) 16cm 2. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Praticando Solução: Ao construirmos qualquer figura com as peças do Tangram todas as áreas serão iguais, portanto para descobrir a área da casa basta saber a área do hexágono ou a do quadrado. 2cm Perceba que o lado AB do hexágono é igual a metade da diagonal do quadrado, pois ambos são formados por um quadrado e um triângulo equilátero. Logo, a diagonal inteira do quadrado vale o dobro, ou seja, 4cm. Assim, sabendo-se o valor da diagonal do quadrado, pode-se obter o valor de seus lados a partir do teorema de Pitágoras: a² + a² = 4² 2a² = 16 a a Lembrando que: áreado quadrado = a² a² = 8cm² UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Trigonometria Identidade Trigonométrica sen β = c a c = sen β. a cos β = b a b = cos β. a 1) a 2 = b 2 + c 2 cos 2 β + sen 2 β = 1 2) cotg β = b c cotg β = cosβ) sen(β) = 1 tg(β) 3) sec β = a b sec β = 1 cos(β) 4) cosec β = a c sec β = 1 sen(β) UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Lei do Seno Relação matemática de proporção sobre a medida de triângulos arbitrários em um plano. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Lei do Cosseno Corresponde a uma extensão do Teorema de Pitágoras. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 20

21 Praticando (Unb DF) Um observador, situado no ponto A, distante 30m do ponto B, vê um edifício sob um ângulo de 30 conforme a figura abaixo. Baseado nos dados da figura, determine a altura do edifício em metros e divida o resultado por 2. h UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 21

22 Praticando Solução: DC=? α= ( ) = 45 De acordo com a lei do seno: x = 30 sen60 sen45 x. x. sen45 = 30. sen60 2 = x = x = = 15 6 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 22

23 Praticando De acordo com as informações obtidas, Calculamos a tangente de 30 : D tg 30 = h = h 3h = h = = 15. 2m h C A Dividindo o resultado por 2: Solução = 15m. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 23

24 Praticando Exercício: Um engenheiro deseja construir um túnel que passará por uma montanha. Como pode ser verificado na figura abaixo, a distância do ponto onde ele está, até o local onde será a entrada do túnel é de 80m e até a saída do túnel é de 100m. Descubra o comprimento do túnel. Dado, cos 55 = 0,573 80m Entrada Engenheiro 55 Montanha 100m Saída UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 24

25 Praticando Solução: De acordo com o dados fornecidos, nota-se que a questão pode ser resolvida aplicando a lei dos cosseno: x = comprimento do túnel x² = 80² + 100² cos 55 x² = 7232 x = 85,05m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 25

26 Praticando (UEM - PR) Considere um paralelogramo cujos os lados medem 3cm e 5cm e um dos ângulos mede π/4 radiano. Se d e D são as medidas das diagonais do paralelogramo, então D² + d², em centímetros quadrados, é igual a: UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 26

27 Praticando Solução: π/4 = 45 Para calcular o comprimento da diagonal menor, aplicaremos a lei dos cossenos: d² = 3² + 5² cos 45 d² = d² = UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 27

28 Praticando O cos 135 = - cos 45 Para calcular o comprimento da diagonal maior, usamos os mesmos procedimentos: D² = 3² + 5² cos 45 D² = D² = D² + d² = = 68 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 28

29 Referência Bibliográfica DANTE, L. R. Matemática Volume único. Editora Ática UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 29